第13讲 三角形的认识(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第13讲 三角形的认识 考点目录 1、三角形的特性 2 2、三角形的内角和 5 3、三角形的分类 7 4、等腰三角形与等边三角形 10 5、作三角形的高 12 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 三角形的特性 ★★ ★★ 三角形的分类 ★★★ ★★ 三角形的内角和 ★★★★ ★★★ 等腰三角形与等边三角形 ★★★★ ★★★★ 作三角形的高 ★★★ ★★ 【考情分析】三角形是小学几何的核心内容，也是小升初数学考试的重点考查对象。本专题在试卷中占比约15%-20%，主要考查学生对三角形基本性质、分类、等腰三角形与等边三角形以及简单证明的理解和应用能力。 热点突破1 关键知识 三角形的特性 三角形具有稳定性． 三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 典型例题 例1： 例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　） A、   B、    C、 【分析】紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案． 【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形， B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形， C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形， 故选：C． 【点评】此题是考查了三角形三边关系的应用． 例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　） A、     B、     C、 【分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可． 【解答】根据三角形的特性：三角形具有稳定性； 故选：C． 【点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•八步区期中）一把椅子有些摇晃，你认为选项（　　）的加固方式最科学。 A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2025春•顺德区期中）一个三角形其中的两条边的长度分别是3厘米、5厘米，那么第三条边的长度可能是（　　） A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米 【跟踪训练3】（2025春•崂山区期中）苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有 ______。 【跟踪训练4】（2024春•齐河县期中）用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是______厘米，最短是______厘米． 【跟踪训练5】（2023•朝阳区模拟）要用一根1m长的木条制作一个三角形，小明是这样想的： ​ ①你同意小明的想法吗？说明你的理由。 ②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。 【跟踪训练6】（2024春•无棣县期末）笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。 ① 5cm ② 7cm ③ 12cm （1）如果选①，围成的是一个 ______三角形； （2）如果选②，围成的是一个 ______三角形； （3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。 热点突破2 关键知识 三角形的内角和 三角形内角和为180°． 直角三角形的两个锐角互余． 典型例题 例1： 例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　） A、90°           B、180°          C、60° 【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答． 【解答】因为三角形的内角和等于180°， 所以每个小三角形的内角和也是180°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度． 例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形． A、锐角         B、直角         C、钝角         D、不能确定 【分析】根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状． 【解答】因为∠1=∠2+∠3， 所以∠1=180°÷2=90°， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•薛城区期中）在一个等腰三角形中，有一个角是70度，另外两个角可能是（　　） A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60° 【跟踪训练2】（2024秋•密云区期末）在一个直角三角形的三个内角中，最小的角的度数是最大角度数的，这个最小的角是（　　）度。 A．30 B．60 C．45 D．18 【跟踪训练3】（2024秋•金牛区期末）直角三角形两个锐角的度数之比是3：2，这两个锐角分别是（　　） A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30° 【跟踪训练4】（2025春•城阳区期中）神奇的金字塔：金字塔的每个侧面都是顶角约为52°的等腰三角形，每个侧面的底角约为 ______°。 【跟踪训练6】（2025春•碑林区期中）把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。 【跟踪训练6】（2025春•番禺区期中）列式计算出下列角的度数。 （1）求出下面三角形中，∠1的度数。 ∠1= ______ ∠1= ______ ∠1= ______ （2）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1=45°，求顶角∠3=？ 热点突破3 关键知识 三角形的分类 1．按角分 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于90°． 直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°． 钝角三角形：有一个角大于90°． 判定法二： 锐角三角形：最大角小于90°． 直角三角形：最大角等于90°． 钝角三角形：最大角大于90°． 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形． 2．按边分 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 典型例题 例1： 例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（　　） A、锐角三角形        B、直角三角形        C、钝角三角形        D、不能确定 【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可． 【解答】最大角：180×=80（度）， 因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形； 故选：A． 【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•福田区期中）观察如图，扑克牌遮住的是一个三角形，它一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【跟踪训练2】（2025春•崂山区期中）三角形从边的特点研究，可以用如图（　　）表示它们之间的关系． A． B． C． 【跟踪训练3】（2025春•龙华区期中）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是 ______°，原来这张纸片的形状按边分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。 【跟踪训练4】（2025春•昌邑市期中）下面被纸盖住的三角形是什么三角形？（按角分） （1）______三角形 （2）______三角形 （3）______三角形 【跟踪训练5】（2025春•南安市期中）如图是三角形的纸撕去了一个角后留下的部分，请求出撕去角的度数和写出原来是什么三角形。（按角分） 【跟踪训练6】（2025春•八步区期中）如图的三角形被挡住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余两个角的度数。 （1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是 ______°和 ______°。 （2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 （3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 热点突破4 关键知识 等腰三角形与等边三角形 1．等腰三角形的定义和性质： 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． 2．等边三角形定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形： （1）三边长度相等； （2）三个内角度数均为60度； （3）一个内角为60度的等腰三角形． 典型例题 例1： 例1：等边三角形是（　　） A、钝角三角形         B、锐角三角形          C、直角三角形 【分析】等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 【解答】因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 故选：B． 【点评】解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可． 例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（　　） A、锐角三角形           B、直角三角形           C、等腰三角形 【分析】根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断． 【解答】因为一个三角形中有两个角相等， 所以这个三角形中有两条边相等； 那么这个三角形一定是等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•鄠邑区期末）一个等腰三角形的周长是60cm,其中两条边的长度比是1：2，这个等腰三角形的腰长是（　　）cm。 A．12 B．20 C．15 D．24 【跟踪训练2】（2025春•宝安区期中）一个等腰三角形，其中一个内角的度数是68°，顶角是（　　） A．68° B．44° C．112° D．68°或44° 【跟踪训练3】（2024春•茂名期中）等边三角形的每个内角都是 ______度。 【跟踪训练4】（2025春•顺德区期中）有一个等腰三角形的风筝，其中两条边分别是1.8米和2米，这个等腰三角形风筝的周长是 ______米或 ______米。 【跟踪训练5】（2024春•南充期末）小李准备把一根长10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管围成一个等腰三角形。他已经剪了一次，请在图中剪一剪，并标注出三根吸管的长。 【答案】 【跟踪训练6】（2024秋•石狮市期末）周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是56cm,有两条边的比是2：3，那么这个等腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。 热点突破5 关键知识 作三角形的高 1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高 2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长． 3．方法： （1）找到顶点和对应的边 （2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点． 典型例题 例1： 例：画出下列三角形指定底的高． 【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可． 【解答】作图如下： 【点评】此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宁津县期末）下面图示中，（　　）画的是△ABC中BC底上的高。 A． B． C． 【跟踪训练2】（2024•奈曼旗）图中阴影三角形AB边上的高是（　　） A．DA B．AC C．CE D．AB 【跟踪训练3】（2023秋•栾城区期末）如图三角形ABC中，AB边上的高是______，BC边上的高是______。（填序号） 【跟踪训练4】（2024春•江夏区期末）如图是由两个边长为6cm、4cm的正方形组成，△ABC中，若以BC为底，高是 ______cm。 【跟踪训练5】（2024春•商河县期末）画出下面各三角形指定底边上的高。 【跟踪训练6】（2024春•罗山县期末）画出指定底边上的高，并求出∠1的度数。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 第 13 讲 三角形的认识 1、三角形的特性 ................................................................2 2、三角形的内角和 ..............................................................5 3、三角形的分类 ................................................................7 4、等腰三角形与等边三角形 .....................................................10 5、作三角形的高 ...............................................................12 热点考点 考查频率 考点难度 三角形的特性 ★★ ★★ 三角形的分类 ★★★ ★★ 三角形的内角和 ★★★★ ★★★ 等腰三角形与等边三角形 ★★★★ ★★★★ 作三角形的高 ★★★ ★★ 【考情分析】三角形是小学几何的核心内容，也是小升初数学考试的重点考查对象。本专题在试卷中占 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 14 页 比约 15%-20%，主要考查学生对三角形基本性质、分类、等腰三角形与等边三角形以及简单证明的理 解和应用能力。 三角形的特性 三角形具有稳定性． 三内角之和等于 180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于 90°），直角三角形（有 一个角等于 90°），钝角三角形（有一个角大于 90°）． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 例 1： 例 1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　） A、 B、 C、 【分析】紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案． 【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形， B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形， C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形， 故选：C． 【点评】此题是考查了三角形三边关系的应用． 例 2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　） A、 B、 C、 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 14 页 【分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可． 【解答】根据三角形的特性：三角形具有稳定性； 故选：C． 【点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用． 【跟踪训练 1】（2025春•八步区期中）一把椅子有些摇晃，你认为选项（　　）的加固方式 最科学。 A． B． C． D． 【跟踪训练 2】（2025春•顺德区期中）一个三角形其中的两条边的长度分别是 3厘米、5厘 米，那么第三条边的长度可能是（　　） A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米 【跟踪训练 3】（2025春•崂山区期中）苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜 拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有 ______。 【跟踪训练 4】（2024春•齐河县期中）用 3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为 10厘米和 5厘米，那么第三根小棒的长度最长是______厘米，最短是______厘米． 【跟踪训练 5】（2023•朝阳区模拟）要用一根 1m长的木条制作一个三角形，小明是这样想 的： ①你同意小明的想法吗？说明你的理由。 ②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。 跟踪训练 第 4 页 共 14 页 【跟踪训练 6】（2024春•无棣县期末）笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根 5厘米的小 棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。 ① 5cm ② 7cm ③ 12cm （1）如果选①，围成的是一个 ______三角形； （2）如果选②，围成的是一个 ______三角形； （3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。 热点突破 2 关键知识 第 5 页 共 14 页 三角形的内角和 三角形内角和为 180°． 直角三角形的两个锐角互余． 例 1： 例 1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　） A、90° B、180° C、60° 【分析】根据三角形的内角和是 180°，三角形的内角和永远是 180度，你把一个三角形分 成两个小三角形，每个的内角和还是 180度，据此解答． 【解答】因为三角形的内角和等于 180°， 所以每个小三角形的内角和也是 180°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为 180 度． 例 2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形． A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能 确定 【分析】根据三角形的内角和为 180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状． 【解答】因为∠1=∠2+∠3， 所以∠1=180°÷2=90°， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角 形、直角三角形、钝角三角形． 【跟踪训练 1】（2024春•薛城区期中）在一个等腰三角形中，有一个角是 70度，另外两个 角可能是（　　） 跟踪训练 典型例题 第 6 页 共 14 页 A．35°和 60° B．55°和 55° C．15°和 85° D．40°和 60° 【跟踪训练 2】（2024秋•密云区期末）在一个直角三角形的三个内角中，最小的角的度数是 最大角度数的 1 3 ，这个最小的角是（　　）度。 A．30 B．60 C．45 D．18 【跟踪训练 3】（2024秋•金牛区期末）直角三角形两个锐角的度数之比是 3：2，这两个锐角 分别是（　　） A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30° 【跟踪训练 4】（2025春•城阳区期中）神奇的金字塔：金字塔的每个侧面都是顶角约为 52° 的等腰三角形，每个侧面的底角约为 ______°。 【跟踪训练 6】（2025春•碑林区期中）把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的 内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是 45°，它的顶角是 ______°。 【跟踪训练 6】（2025春•番禺区期中）列式计算出下列角的度数。 （1）求出下面三角形中，∠1的度数。 ∠1= ______ ∠1= ______ ∠1= ______ （2）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1=45°，求顶角∠3=？ 第 7 页 共 14 页 三角形的分类 1．按角分 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于 90°． 直角三角形：可记作 Rt△．其中一个角必须等于 90°． 钝角三角形：有一个角大于 90°． 判定法二： 锐角三角形：最大角小于 90°． 直角三角形：最大角等于 90°． 钝角三角形：最大角大于 90°． 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形． 2．按边分 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 热点突破 3 关键知识 第 8 页 共 14 页 例 1： 例：一个三角形，三个内角的度数比是 2：3：4，这个三角形为（　　） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意 知：把这个三角形的内角和 180°平均分了（2+3+4）=9 份，最大角占总和的 4 9 ，根据一个 数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可． 【解答】最大角：180× 4 2 + 3 + 4 =80（度）， 因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形； 故选：A． 【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三 角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形． 【跟踪训练 1】（2025春•福田区期中）观察如图，扑克牌遮住的是一个三角形，它一定是 （　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【跟踪训练 2】（2025春•崂山区期中）三角形从边的特点研究，可以用如图（　　）表示它 们之间的关系． A． B． C． 【跟踪训练 3】（2025春•龙华区期中）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是 ______°，原来这张纸片的形状按边分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。 跟踪训练 典型例题 第 9 页 共 14 页 【跟踪训练 4】（2025春•昌邑市期中）下面被纸盖住的三角形是什么三角形？（按角分） （1）______三角形 （2）______三角形 （3）______三角形 【跟踪训练 5】（2025春•南安市期中）如图是三角形的纸撕去了一个角后留下的部分，请求 出撕去角的度数和写出原来是什么三角形。（按角分） 【跟踪训练 6】（2025春•八步区期中）如图的三角形被挡住了一部分，猜一猜它可能是什么 三角形？并算一算其余两个角的度数。 （1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是 ______°和 ______°。 （2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 （3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 热点突破 4 第 10 页 共 14 页 等腰三角形与等边三角形 1．等腰三角形的定义和性质： 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． 2．等边三角形定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的 等腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做 等边三角形： （1）三边长度相等； （2）三个内角度数均为 60度； （3）一个内角为 60度的等腰三角形． 例 1： 例 1：等边三角形是（　　） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 【分析】等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180° ÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 【解答】因为等边三角形的每一个角都是 60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 故选：B． 【点评】解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、 钝角、直角三角形的特征进行判断即可． 例 2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（　　） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角 形 【分析】根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断． 关键知识 典型例题 第 11 页 共 14 页 【解答】因为一个三角形中有两个角相等， 所以这个三角形中有两条边相等； 那么这个三角形一定是等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质． 【跟踪训练 1】（2024秋•鄠邑区期末）一个等腰三角形的周长是 60cm,其中两条边的长度比 是 1：2，这个等腰三角形的腰长是（　　）cm。 A．12 B．20 C．15 D．24 【跟踪训练 2】（2025春•宝安区期中）一个等腰三角形，其中一个内角的度数是 68°，顶角 是（　　） A．68° B．44° C．112° D．68°或 44° 【跟踪训练 3】（2024春•茂名期中）等边三角形的每个内角都是 ______度。 【跟踪训练 4】（2025春•顺德区期中）有一个等腰三角形的风筝，其中两条边分别是 1.8米 和 2米，这个等腰三角形风筝的周长是 ______米或 ______米。 【跟踪训练 5】（2024春•南充期末）小李准备把一根长 10厘米的吸管剪成 3段，再用所剪 的 3根吸管围成一个等腰三角形。他已经剪了一次，请在图中剪一剪，并标注出三根吸管的 长。 【答案】 跟踪训练 第 12 页 共 14 页 【跟踪训练 6】（2024秋•石狮市期末）周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景 照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地 面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是 56cm,有两条边的比是 2：3，那么这个等 腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。 作三角形的高 1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形 的高 热点突破 5 关键知识 第 13 页 共 14 页 2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂 线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长． 3．方法： （1）找到顶点和对应的边 （2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一 边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点． 例 1： 例：画出下列三角形指定底的高． 【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线， 顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法， 由此作图即可． 【解答】作图如下： 【点评】此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂 线的方法，画出已知底边上的高即可． 【跟踪训练 1】（2024春•宁津县期末）下面图示中，（　　）画的是△ABC中 BC底上的高。 A． B． C． 【跟踪训练 2】（2024•奈曼旗）图中阴影三角形 AB边上的高是（　　） 跟踪训练 典型例题 第 14 页 共 14 页 A．DA B．AC C．CE D．AB 【跟踪训练 3】（2023秋•栾城区期末）如图三角形 ABC中，AB边上的高是______，BC边上 的高是______。（填序号） 【跟踪训练 4】（2024春•江夏区期末）如图是由两个边长为 6cm、4cm的正方形组成，△ABC 中，若以 BC为底，高是 ______cm。 【跟踪训练 5】（2024春•商河县期末）画出下面各三角形指定底边上的高。 【跟踪训练 6】（2024春•罗山县期末）画出指定底边上的高，并求出∠1的度数。 第 13 讲 三角形的认识 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 2．等腰三角形的一个底角是 28°，那么这个等腰三角形的顶角是（　　） A．62° B．124° C．76° D．72° 3．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图的线段表示 0°到 180°一个三角形中两个内角度数之和在点 P处，这个三 角形是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 5．一个三角形的两条边长分别是 5cm和 8cm,那么第三条边的长度可能是（　　） A．14cm B．13cm C．12cm D．15cm 6．观察图形，下面说法正确的有（　　）个。 （1）只有两个直角三角形。 （2）在三角形 ADC中，DE是 AC边上的高。 （3）三角形 ABD和三角形 ABC内角和相等。 （4）线段 AB既是三角形 ABD的高，又是三角形 ADC的高。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三 角形的两个锐角分别是（　　） A．45°和 45° B．30°和 60° C．30°和 30° D．30°和 45° 8．用两块完全一样的三角形拼出了一个大三角形，大三角形的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 9．如图中每个扇形的半径都是 1厘米，两个三角形中的阴影部分面积相比 （　　） A．甲＞乙 B．甲=乙 C．甲＜乙 D．无法比较 10．在三角形的三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角 形。 A．等腰 B．钝角 C．锐角 D．直角 二．填空题（共 4 小题） 11．三角形 ABC中，∠A=35°，∠B=56°，∠C=______，这是一个______三角形． 12．在一个三角形中，一条边长 5厘米，另一条边长 8厘米，则第三条边最长是 ______厘米（填整厘米数）。 13．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个 等腰三角形的一个底角是 45°，它的顶角是 ______°。 14．在一个三角形中，有两个内角分别是 35°和 40°，则第三个内角是 ______°，这是一个 ______三角形。 三．判断题（共 4 小题） 15．一个三角形中最多有两个锐角。 ______ 16．一个三角形最小的内角是 55°，这个三角形一定锐角三角形。 ______ 17．两把相同的三角尺拼成大三角形的内角和是 180°。 ______ 18．等腰三角形可能是锐角三角形，也可以是钝角三角形，不可能是直角三角形。 ______ 四．操作题（共 1 小题） 19．画出如图三角形指定底边上的高。 五．解答题（共 4 小题） 20．已知∠1=120°，三角形 ABC是直角三角形，三角形 ABD是等腰三角形，求∠ 2和∠3的度数。 21．下面是两块三角形的玻璃打碎后留下的部分，它们原来是什么三角形？ 22．（1）等腰三角形的顶角是 x°，用式子表示它的底角的度数。当 x=50时，求 底角的度数。 （2）等腰三角形的底角是 y°，用式子表示它的顶角的度数。当 y=50时，求顶角 的度数。 23．我们都知道三角形的内角和是 180度，其实三角形除了有内角还有外角，那么 三角形的外角和是多少度呢？让我们来探究一下吧! 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三角形的外角，如图 1的∠4， ∠5，∠6。此时，“∠4+∠5+∠6”的结果就是三角形的外角和。 如图 2是小红和小刚两位同学对三角形外角和的猜想。 （1）我赞同 ______的想法。 （2）我的理由：______。 （3）根据三角形外角和的推理方法，我认为四边形的外角和是 ______。 第13讲 三角形的认识 考点目录 1、三角形的特性 2 2、三角形的内角和 6 3、三角形的分类 10 4、等腰三角形与等边三角形 15 5、作三角形的高 19 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 三角形的特性 ★★ ★★ 三角形的分类 ★★★ ★★ 三角形的内角和 ★★★★ ★★★ 等腰三角形与等边三角形 ★★★★ ★★★★ 作三角形的高 ★★★ ★★ 【考情分析】三角形是小学几何的核心内容，也是小升初数学考试的重点考查对象。本专题在试卷中占比约15%-20%，主要考查学生对三角形基本性质、分类、等腰三角形与等边三角形以及简单证明的理解和应用能力。 热点突破1 关键知识 三角形的特性 三角形具有稳定性． 三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 典型例题 例1： 例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　） A、   B、    C、 【分析】紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案． 【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形， B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形， C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形， 故选：C． 【点评】此题是考查了三角形三边关系的应用． 例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　） A、     B、     C、 【分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可． 【解答】根据三角形的特性：三角形具有稳定性； 故选：C． 【点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•八步区期中）一把椅子有些摇晃，你认为选项（　　）的加固方式最科学。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在生活中，三角形的稳定性有着非常广泛的应用，如：自行车的车架是三角形的，篮球架上的支架是三角形的，电线杆的支架是三角形的。而四边形具有不稳定性。根据生活经验可知：上述物体中的三角形都是能使物体更加稳固。 【解答】解：A． 这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固； B． 这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固； C． 这种加固方式运用了四边形的不稳定性，不牢固； D． 这种加固方式运用了三角形的稳定性，比较牢固； 一把椅子有所摇晃，我认为选项 的加固方式最好。 故选：D。 【跟踪训练2】（2025春•顺德区期中）一个三角形其中的两条边的长度分别是3厘米、5厘米，那么第三条边的长度可能是（　　） A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米 【答案】B 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析、解答即可． 【解答】解：由三角形的特性得：5-3＜第三边＜5+3， 即：2＜第三边＜8，所以只能选4厘米符合题意； 故选：B． 【跟踪训练3】（2025春•崂山区期中）苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有 ______。 【答案】稳定性。 【分析】三角形三条边长度一定时，它的形状大小就不会发生变化了，这是三角形具有稳定性的特征。 【解答】解：苏通大桥是当时世界跨径最大的斜拉桥，其桥梁的斜拉钢索运用了三角形的知识，这是因为三角形具有稳定性。 故答案为：稳定性。 【跟踪训练4】（2024春•齐河县期中）用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最长是______厘米，最短是______厘米． 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可． 【解答】解：10-5＜第三边＜10+5， 所以：5＜第三边＜15， 即第三边的取值在5～15厘米（不包括5厘米和15厘米）， 因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：15-1=14（厘米）， 所以第三根小棒最短为：5+1=6（厘米）， 故答案为：14；6． 【跟踪训练5】（2023•朝阳区模拟）要用一根1m长的木条制作一个三角形，小明是这样想的： ​ ①你同意小明的想法吗？说明你的理由。 ②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。 【答案】①不同意，因为三角形的两边之和大于第三条边。②把木条锯成三段，分别为4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一） 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【解答】解：①不同意，因为三角形的两边之和大于第三条边。 ②1米=10分米 10÷2=5（分米） 则最长的边只能是5分米， 10=4+4+2 4+2＞4 4-2＜4 所以把木条锯成三段，分别为4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一） 【跟踪训练6】（2024春•无棣县期末）笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。 ① 5cm ② 7cm ③ 12cm （1）如果选①，围成的是一个 ______三角形； （2）如果选②，围成的是一个 ______三角形； （3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。 【答案】（1）等边；（2）等腰；（3）如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。 【分析】（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）至少有两条边相等的三角形叫等腰三角形； （3）三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此解答。 【解答】解：（1）如果选①，三条边都是5厘米，则围成的是一个等边三角形； （2）如果选②，两条边相等，都是5厘米，则围成的是一个等腰三角形； （3）5+5＜12，12-5＞5； 答：如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。 故答案为：等边；等腰； 热点突破2 关键知识 三角形的内角和 三角形内角和为180°． 直角三角形的两个锐角互余． 典型例题 例1： 例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　） A、90°           B、180°          C、60° 【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答． 【解答】因为三角形的内角和等于180°， 所以每个小三角形的内角和也是180°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度． 例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形． A、锐角         B、直角         C、钝角         D、不能确定 【分析】根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状． 【解答】因为∠1=∠2+∠3， 所以∠1=180°÷2=90°， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•薛城区期中）在一个等腰三角形中，有一个角是70度，另外两个角可能是（　　） A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60° 【答案】B 【分析】如果这个角是顶角，用180度减它的度数再除以2，可得两个底角度数；如果这个角是底角，用180度减它的2倍，可得顶角的度数，据此筛选并找到正确选项即可。 【解答】解：令70度的角为顶角，则底角度数为（180°-70°）÷2=55°， 令70度的角为底角，则顶角度数为180°-70°×2=40°， 故选：B。 【跟踪训练2】（2024秋•密云区期末）在一个直角三角形的三个内角中，最小的角的度数是最大角度数的，这个最小的角是（　　）度。 A．30 B．60 C．45 D．18 【答案】A 【分析】直角三角形中最大的角是90°，最小的角的度数是最大角度数的，则最小的角读数为（90×），据此解答。 【解答】解：90×=30（度） 答：这个最小的角是30度。 故选：A。 【跟踪训练3】（2024秋•金牛区期末）直角三角形两个锐角的度数之比是3：2，这两个锐角分别是（　　） A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30° 【答案】A 【分析】直角三角形两个锐角的和是90°，把90°平均分成5份，求出1份是多少，再求两个锐角即可。 【解答】解：90÷（2+3） =90÷5 =18（度） 18°×3=54° 18×2=36° 答：这两个锐角分别是54°、36°。 故选：A。 【跟踪训练4】（2025春•城阳区期中）神奇的金字塔：金字塔的每个侧面都是顶角约为52°的等腰三角形，每个侧面的底角约为 ______°。 【答案】64。 【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【解答】解：（180°-52°）÷2 =128°÷2 =64° 答：每个侧面的底角约为64°。 故答案为：64。 【跟踪训练6】（2025春•碑林区期中）把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。 【答案】180°；90。 【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【解答】解：180°-45°-45°=90° 答：每个小三角形的内角和是180°，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是90°。 故答案为：180°；90。 【跟踪训练6】（2025春•番禺区期中）列式计算出下列角的度数。 （1）求出下面三角形中，∠1的度数。 ∠1= ______ ∠1= ______ ∠1= ______ （2）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1=45°，求顶角∠3=？ 【答案】（1）110°；62°；90°；（2）90°。 【分析】（1）第一个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去35°，再减去35°即可求出∠1的度数； 第二个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去90°，再减去28°即可求出∠1的度数； 第三个三角形：三角形的内角和是180°，用180°减去22°，再减去68°即可求出∠1的度数。 （2）等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去45°×2就是顶角的度数。 【解答】解：（1）180°-35°-35° =145°-35° =110° 180°-90°-28° =90°-28° =62° 180°-22°-68° =158°-68° =90° （2）∠3180°-45°×2 =180°-90° =90° 故答案为：110°；62°；90°。 热点突破3 关键知识 三角形的分类 1．按角分 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于90°． 直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°． 钝角三角形：有一个角大于90°． 判定法二： 锐角三角形：最大角小于90°． 直角三角形：最大角等于90°． 钝角三角形：最大角大于90°． 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形． 2．按边分 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 典型例题 例1： 例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（　　） A、锐角三角形        B、直角三角形        C、钝角三角形        D、不能确定 【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可． 【解答】最大角：180×=80（度）， 因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形； 故选：A． 【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•福田区期中）观察如图，扑克牌遮住的是一个三角形，它一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】露出来的三角形的一个角是一个钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形。 【解答】解：露出来的三角形的一个角是一个钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形。 故选：A。 【跟踪训练2】（2025春•崂山区期中）三角形从边的特点研究，可以用如图（　　）表示它们之间的关系． A． B． C． 【答案】C 【分析】从边的特点研究，三角形包括等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形，所以三角形、等腰三角形和等边三角形是依次包含的关系，据此解答即可． 【解答】解：三角形从边的特点研究，可以用如图 表示它们之间的关系． 故选：C。 【跟踪训练3】（2025春•龙华区期中）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是 ______°，原来这张纸片的形状按边分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。 【答案】70，等腰，锐角。 【分析】根据三角形的内角和是180度，求出撕去的角的度数，然后结合等腰三角形、锐角三角形的特征解答即可。 【解答】解：180°-40°-70°=70° 答：这个角是70°，原来这张纸片的形状按边分是等腰三角形，按角分是锐角三角形。 故答案为：70，等腰，锐角。 【跟踪训练4】（2025春•昌邑市期中）下面被纸盖住的三角形是什么三角形？（按角分） （1）______三角形 （2）______三角形 （3）______三角形 【答案】（1）直角；（2）钝角；（3）锐角。 【分析】锐角三角形和钝角三角形及直角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角为直角的三角形为直角三角形；据此判断。 【解答】解：图（1）中，因为露在外面的角是一个直角，一个锐角，所以被遮住的是直角三角形； 图（2）中露在外面的角是两个锐角，因此被遮住的是钝角三角形； 图（3）中露在外面的是两个锐角，因此被遮住的是锐角三角形。如下图所示： （1）直角三角形 （2）钝角三角形 （3）锐角三角形 故答案为：直角；钝角；锐角。 【跟踪训练5】（2025春•南安市期中）如图是三角形的纸撕去了一个角后留下的部分，请求出撕去角的度数和写出原来是什么三角形。（按角分） 【答案】 【分析】根据三角形的内角和是180°，分别计算出撕去角的度数，然后根据三角形分类知识判断三角形的类型即可。 【解答】解：180°-36°-54°=90°，是直角三角形； 180°-65°-60°=55°，是锐角三角形； 120°-30°-30°=120°，是钝角三角形。 【跟踪训练6】（2025春•八步区期中）如图的三角形被挡住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余两个角的度数。 （1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是 ______°和 ______°。 （2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 （3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是 ______°和 ______°。 【答案】（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。 【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可。 【解答】解：（1）若它是一个直角三角形，其余两个角分别是30°和90°。 （2）若它是一个锐角三角形，其余两个角可能是60°和60°。 （3）若它是一个钝角三角形，其余两个角可能是20°和100°。 故答案为：（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。 热点突破4 关键知识 等腰三角形与等边三角形 1．等腰三角形的定义和性质： 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． 2．等边三角形定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形： （1）三边长度相等； （2）三个内角度数均为60度； （3）一个内角为60度的等腰三角形． 典型例题 例1： 例1：等边三角形是（　　） A、钝角三角形         B、锐角三角形          C、直角三角形 【分析】等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 【解答】因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形． 故选：B． 【点评】解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可． 例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（　　） A、锐角三角形           B、直角三角形           C、等腰三角形 【分析】根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断． 【解答】因为一个三角形中有两个角相等， 所以这个三角形中有两条边相等； 那么这个三角形一定是等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024秋•鄠邑区期末）一个等腰三角形的周长是60cm,其中两条边的长度比是1：2，这个等腰三角形的腰长是（　　）cm。 A．12 B．20 C．15 D．24 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，三角形的三边之比为1：2：2，再根据周长即可求出腰长。 【解答】解：60×=24（厘米） 答：这个三角形的一条腰长24厘米。 故选：D。 【跟踪训练2】（2025春•宝安区期中）一个等腰三角形，其中一个内角的度数是68°，顶角是（　　） A．68° B．44° C．112° D．68°或44° 【答案】D 【分析】等腰三角形两底角度数相等，其中一个角是68°，没有说明是顶角还是底角，需要分两种情况。 1、顶角是68°。 2、底角是68°，根据两底角度数相等，两底角度数之和就是68°×2=136°，根据三角形内角和是180°，顶角的度数就是180°-136°=44° 据此解答即可。 【解答】解：底角是68°时， 底角度数之和：68°×2=136°， 底角度数：180°-136°=44° 还有顶角是68°的情况， 所以顶角是68°或44°。 故选：D。 【跟踪训练3】（2024春•茂名期中）等边三角形的每个内角都是 ______度。 【答案】60。 【分析】根据等边三角形的性质可知，等边三角形三个内角相等，再结合三角形内角和180度即可解答。 【解答】解：180°÷3=60° 答：等边三角形的每个内角都是60度。 故答案为：60。 【跟踪训练4】（2025春•顺德区期中）有一个等腰三角形的风筝，其中两条边分别是1.8米和2米，这个等腰三角形风筝的周长是 ______米或 ______米。 【答案】5.6；5.8。 【分析】根据等腰三角形的特征及三角形任意两边之和大于第三条边的关系解答。 【解答】解：2+1.8+1.8=5.6（米） 1.8+2+2=5.8（米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是5.6米或5.8米。 故答案为：5.6；5.8。 【跟踪训练5】（2024春•南充期末）小李准备把一根长10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管围成一个等腰三角形。他已经剪了一次，请在图中剪一剪，并标注出三根吸管的长。 【答案】 【分析】由图可知，10-6=4厘米，即第三段的长是4厘米，则另外两根的长度和是6厘米。已知6可以分为1和5、2和4、3和3，根据三角形三边之间的关系确定两条边的长度，再根据等腰三角形的特征得出结果。 【解答】解：10-4=6（厘米） 6=1+5=2+4=3+3 根据三角形三边之间的关系可知，1+4=5，不符合三角形三边的关系； 2+4=6，6＞4，符合三角形三边的关系，且有两条边长度相等，符合等腰三角形的特征； 3+3=6，6＞4，符合三角形三边的关系，且有两条边长度相等，符合等腰三角形的特征； 所以三根吸管的长可以是2厘米、4厘米、4厘米；也可以是3厘米、3厘米和4厘米。 【跟踪训练6】（2024秋•石狮市期末）周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是56cm,有两条边的比是2：3，那么这个等腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。 【答案】24厘米或14厘米。 【分析】分三条边的比是2：2：3或2：3：3分别计算即可。把边长看作份数，用周长除以份数和求出1份数，用1份数乘底边长的份数即可解答。 【解答】解：第一种情况： 三条边的比是2：2：3 56÷（2+2+3）=8（cm） 8×3=24（cm） 第二种情况： 三条边的比是2：3：3 56÷（2+3+3）=7（cm） 7×2=14（cm） 答：这个等腰三角形的底边长可能会是24厘米或14厘米。 热点突破5 关键知识 作三角形的高 1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高 2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长． 3．方法： （1）找到顶点和对应的边 （2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点． 典型例题 例1： 例：画出下列三角形指定底的高． 【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可． 【解答】作图如下： 【点评】此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宁津县期末）下面图示中，（　　）画的是△ABC中BC底上的高。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，据此解答即可。 【解答】解：分析可知， 画的是△ABC中BC底上的高。 故选：B。 【跟踪训练2】（2024•奈曼旗）图中阴影三角形AB边上的高是（　　） A．DA B．AC C．CE D．AB 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，即可求出答案。 【解答】解：根据分析知，阴影三角形AB边上的高是CE。 故选：C。 【跟踪训练3】（2023秋•栾城区期末）如图三角形ABC中，AB边上的高是______，BC边上的高是______。（填序号） 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）。 【解答】解：如图 三角形ABC中，AB边上的高是①，BC边上的高是③。 故答案为：①，③。 【跟踪训练4】（2024春•江夏区期末）如图是由两个边长为6cm、4cm的正方形组成，△ABC中，若以BC为底，高是 ______cm。 【答案】2。 【分析】因为钝角三角形以钝角的一边为底，它的高在底边的延长线上，所以在三角形ABC中以BC为底边的高等于大正方形与小正方形边长的差，据此解答。 【解答】解： 6-4=2（厘米） 故答案为：2。 【跟踪训练5】（2024春•商河县期末）画出下面各三角形指定底边上的高。 【答案】 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点与垂足之间的线段，就是三角形的高，据此解答即可。 【解答】解：如图： 【跟踪训练6】（2024春•罗山县期末）画出指定底边上的高，并求出∠1的度数。 【答案】 30°。 【分析】（1）从钝角的顶点利用直角三角板向对边做垂线段即可； （2）55°与三角形的钝角形成180度的角，利用180度减去55度即可求出三角形的钝角，再利用三角形的内角和180度减去已知的两个角的度数即可求出∠1。 【解答】解：如图： 180°-55°=125° 180°-125°-25°=30° 因此∠1等于30°。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 三角形的认识 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 2．等腰三角形的一个底角是28°，那么这个等腰三角形的顶角是（　　） A．62° B．124° C．76° D．72° 3．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图的线段表示0°到180°一个三角形中两个内角度数之和在点P处，这个三角形是（　　）三角形。 ​ A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 5．一个三角形的两条边长分别是5cm和8cm,那么第三条边的长度可能是（　　） A．14cm B．13cm C．12cm D．15cm 6．观察图形，下面说法正确的有（　　）个。 （1）只有两个直角三角形。 （2）在三角形ADC中，DE是AC边上的高。 （3）三角形ABD和三角形ABC内角和相等。 （4）线段AB既是三角形ABD的高，又是三角形ADC的高。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（　　） A．45°和45° B．30°和60° C．30°和30° D．30°和45° 8．用两块完全一样的三角形拼出了一个大三角形，大三角形的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 9．如图中每个扇形的半径都是1厘米，两个三角形中的阴影部分面积相比（　　） A．甲＞乙 B．甲=乙 C．甲＜乙 D．无法比较 10．在三角形的三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形。 A．等腰 B．钝角 C．锐角 D．直角 二．填空题（共4小题） 11．三角形ABC中，∠A=35°，∠B=56°，∠C=______，这是一个______三角形． 12．在一个三角形中，一条边长5厘米，另一条边长8厘米，则第三条边最长是 ______厘米（填整厘米数）。 13．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。 14．在一个三角形中，有两个内角分别是35°和40°，则第三个内角是 ______°，这是一个 ______三角形。 三．判断题（共4小题） 15．​一个三角形中最多有两个锐角。 ______ 16．一个三角形最小的内角是55°，这个三角形一定锐角三角形。 ______ 17．两把相同的三角尺拼成大三角形的内角和是180°。 ______ 18．等腰三角形可能是锐角三角形，也可以是钝角三角形，不可能是直角三角形。 ______ 四．操作题（共1小题） 19．画出如图三角形指定底边上的高。 五．解答题（共4小题） 20．已知∠1=120°，三角形ABC是直角三角形，三角形ABD是等腰三角形，求∠2和∠3的度数。 21． 下面是两块三角形的玻璃打碎后留下的部分，它们原来是什么三角形？ 22． （1）等腰三角形的顶角是x°，用式子表示它的底角的度数。当x=50时，求底角的度数。 （2）等腰三角形的底角是y°，用式子表示它的顶角的度数。当y=50时，求顶角的度数。 23．我们都知道三角形的内角和是180度，其实三角形除了有内角还有外角，那么三角形的外角和是多少度呢？让我们来探究一下吧! 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三角形的外角，如图1的∠4，∠5，∠6。此时，“∠4+∠5+∠6”的结果就是三角形的外角和。 如图2是小红和小刚两位同学对三角形外角和的猜想。 （1）我赞同 ______的想法。 （2）我的理由：______。 （3）根据三角形外角和的推理方法，我认为四边形的外角和是 ______。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 三角形的认识 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 【答案】C 【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据图中的两个内角度数可求打碎的一个角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断。 【解答】解：180°-30°-40°=110° 答：它原来是钝角三角形。 故选：C。 2．等腰三角形的一个底角是28°，那么这个等腰三角形的顶角是（　　） A．62° B．124° C．76° D．72° 【答案】B 【分析】根据三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去两个底角，即可求出顶角的度数。 【解答】解：180°-28°×2 =180°-56° =124° 答：这个等腰三角形的顶角是124°。 故选：B。 3．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的分类、四边形的分类进行判断即可。 【解答】解：正方形属于特殊的长方形，所以不正确的是B选项。 故选：B。 4．如图的线段表示0°到180°一个三角形中两个内角度数之和在点P处，这个三角形是（　　）三角形。 ​ A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据题图可知，0度和180度中间是90度，点P在0度和90度之间，则这个三角形两个内角的度数和小于90度。根据三角形的内角和为180度可知，第三个角的度数应大于90度，是一个钝角，则该三角形就是钝角三角形。 【解答】解：180-90=90（度） 则两个内角度数之和小于90度，第三个角的度数大于90度。这个三角形是钝角三角形。 故选：C。 5．一个三角形的两条边长分别是5cm和8cm,那么第三条边的长度可能是（　　） A．14cm B．13cm C．12cm D．15cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 第三边应大于8-5=3（厘米），而小于8+5=13（厘米）， 3厘米＜第三边＜13厘米，结合选项可知：可以是12厘米； 故选：C． 6．观察图形，下面说法正确的有（　　）个。 （1）只有两个直角三角形。 （2）在三角形ADC中，DE是AC边上的高。 （3）三角形ABD和三角形ABC内角和相等。 （4）线段AB既是三角形ABD的高，又是三角形ADC的高。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】图中有三个直角三角形，所以（1）说法错误； 在三角形ADC中，DE不是AC边上的高，所以（2）说法错误。 任何一个三角形的内角和度数都是180度，所以（3）说法正确。 线段AB既是三角形ABD的高，又是三角形ADC的高。所以（4）说法正确。 【解答】解：由分析可得：（3）和（4）的水费正确。 故选：B。 7．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（　　） A．45°和45° B．30°和60° C．30°和30° D．30°和45° 【答案】B 【分析】等边三角形的三个角都相等，所以三个角都是60°，把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是30°，由此即可解答。 【解答】解：等边三角形的三个角都相等，都是60°，把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是30°。 故选：B。 8．用两块完全一样的三角形拼出了一个大三角形，大三角形的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】A 【分析】三角形不论大小，内角和都是1801度。据此判断。 【解答】解：三角形的内角和是180度，与三角形的大小无关；所以用两块完全一样的三角形拼出了一个大三角形，大三角形的内角和是180度。 故选：A。 9．如图中每个扇形的半径都是1厘米，两个三角形中的阴影部分面积相比（　　） A．甲＞乙 B．甲=乙 C．甲＜乙 D．无法比较 【答案】B 【分析】由题意可知，三角形的三个角的度数的和是180°，两个三角形中的扇形都可以组成一个半径1厘米的半圆，所以它们的面积相等 【解答】解：①3.14×12÷2=1.57（平方厘米） ②3.14×12÷2=1.57（平方厘米） 所以两个三角形的面积相等。 故选：B。 10．在三角形的三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形。 A．等腰 B．钝角 C．锐角 D．直角 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和是180度，如果在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，也就是180÷2=90度，90÷2=45度，那么这个三角形一定是直角三角形．据此解答。 【解答】解：由分析得：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，也就是180÷2=90（度），90÷2=45（度），那么这个三角形一定是直角三角形． 故选：D。 二．填空题（共4小题） 11．三角形ABC中，∠A=35°，∠B=56°，∠C=______，这是一个______三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和等于180°，用180°减去∠A的度数，再减去∠B的度数，即可求出∠C的度数；然后根据三角形的分类进行判断即可． 【解答】解：180°-35°-56° =145°-56° =89° 所以这个三角形是锐角三角形． 故答案为：89°，锐角． 12．在一个三角形中，一条边长5厘米，另一条边长8厘米，则第三条边最长是 ______厘米（填整厘米数）。 【答案】12。 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【解答】解：8-5＜第三边＜8+5，所以：3＜第三边＜13，即第三边的取值在3～13厘米（不包括3厘米和13厘米）。 因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：13-1=12（厘米）。 故答案为：12。 13．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ______，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是 ______°。 【答案】180°；90。 【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【解答】解：180°-45°-45°=90° 答：每个小三角形的内角和是180°，一个等腰三角形的一个底角是45°，它的顶角是90°。 故答案为：180°；90。 14．在一个三角形中，有两个内角分别是35°和40°，则第三个内角是 ______°，这是一个 ______三角形。 【答案】105，钝角。 【分析】根据三角形的内角和是180°，用内角和减去另外两个角的度数，即可求出第三个内角是多少；然后再判断三个内角中的最大角是多少，最大角小于90°是锐角三角形，最大角等于90°是直角三角形，最大角大于90°是钝角三角形。由此判断即可。 【解答】解：180°-（35°+40°） =180°-75° =105° 105°＞90° 所以这是一个钝角三角形。 答：第三个内角是105°，这是一个钝角三角形。 三．判断题（共4小题） 15．​一个三角形中最多有两个锐角。 ______ 【答案】× 【分析】根据三角形的内角和是180度举例即可解答。 【解答】解：等边三角形的三个角都是60度，60度是锐角，所以​一个三角形中最多有三个锐角。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 16．一个三角形最小的内角是55°，这个三角形一定锐角三角形。 ______ 【答案】√。 【分析】根据三角形的内角和是180°，已知这个三角形的最小的内角是55°，假设另一个内角也是55°，那么第三个内角是就是70°，这样三个内角都是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形；据此解答。 【解答】解：55°+55°=110°  180°-110°=70° 这个三角形的内角最大是 70°，所以这个三角形一定是锐角三角形，题干说法正确。 故答案为：√。 17．两把相同的三角尺拼成大三角形的内角和是180°。 ______ 【答案】√。 【分析】利用三角形内角和定理判断即可。 【解答】解：两把相同的三角尺拼成大三角形的内角和是180°，原题说法正确。 故答案为：√。 18．等腰三角形可能是锐角三角形，也可以是钝角三角形，不可能是直角三角形。 ______ 【答案】×。 【分析】等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰；等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或者钝角三角形，据此解答。 【解答】解：当等腰三角形的底角为45°时，顶角为：180°-45°-45°=90°，此时这个等腰三角形是直角三角形； 当等腰三角形的底角为70°时，顶角为：180°-70°-70°=40°，此时这个等腰三角形是锐角三角形； 当等腰三角形的底角为30°时，顶角为：180°-30°-30°=120°，此时这个等腰三角形是钝角三角形； 答：等腰三角形可能是锐角三角形，也可以是钝角三角形，还有可能是直角三角形。所以原题说法错误。 故答案为：×。 四．操作题（共1小题） 19．画出如图三角形指定底边上的高。 【答案】 【分析】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可。 【解答】解： 五．解答题（共4小题） 20．已知∠1=120°，三角形ABC是直角三角形，三角形ABD是等腰三角形，求∠2和∠3的度数。 【答案】30°，60°。 【分析】根据等腰三角形的底角相等以及三角形的内角和是180度解答即可。 【解答】解：∠2=（ 180°-120°）÷2 =60°÷2 =30° ∠3=180°-90°-30° =90°-30° =60° 答：∠2是30°，∠3是60°。 21．下面是两块三角形的玻璃打碎后留下的部分，它们原来是什么三角形？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形；根据三角形的内角和是180°，已知三角形两个角的度数，可以求出另一个角的度数，据此确定是什么三角形． 【解答】解：180°-30°-20°=130° 180°-50°-40°=90° 故答案为： 22．（1）等腰三角形的顶角是x°，用式子表示它的底角的度数。当x=50时，求底角的度数。 （2）等腰三角形的底角是y°，用式子表示它的顶角的度数。当y=50时，求顶角的度数。 【答案】（1）（180°-x°）÷2，65°； （2）180°-2y°，80°。 【分析】（1）三角形的内角和是180°，根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形一个底角的度数等于三角形的内角和减去顶角的度数，再除以2，据此解答。 （2）三角形的内角和是180°，根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形顶角的度数等于三角形的内角和减去两个底角的度数。据此解答。 【解答】解：（1）（180°-x°）÷2 （180°-50°）÷2 =130°÷2 =65° 答：底角的度数是65°。 （2）180°-2y° 180°-50°×2 =180°-100° =80° 答：顶角的度数是80°。 23．我们都知道三角形的内角和是180度，其实三角形除了有内角还有外角，那么三角形的外角和是多少度呢？让我们来探究一下吧! 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三角形的外角，如图1的∠4，∠5，∠6。此时，“∠4+∠5+∠6”的结果就是三角形的外角和。 如图2是小红和小刚两位同学对三角形外角和的猜想。 （1）我赞同 ______的想法。 （2）我的理由：______。 （3）根据三角形外角和的推理方法，我认为四边形的外角和是 ______。 【答案】（1）小刚；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于三角形的内角和的2倍；（3）360°。 【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，∠1+∠4=180°、∠2+∠5=180°、∠3+∠6=180°；所以三角形的外角和=180°×3-180°（∠1+∠2+∠3）=360°； （2）因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于三角形的内角和的2倍； （3）因为四边形的内角和+外角和=4×180°=720°，又因为四边形的内角和=360°，所以四边形的外角和=360°，由此求解。 【解答】解：（1）我赞同小刚的想法。 （2）我的理由：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于三角形的内角和的2倍。 （3）根据三角形外角和的推理方法，我认为四边形的外角和是360°。 故答案为：小刚；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于三角形的内角和的2倍；360°。 学科网（北京）股份有限公司 $$