数学（广东深圳卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（深圳卷） 数学·全解全析 第一部分 选择题 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键． 2．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， 能让灯泡发光的概率为， 故选：． 【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键． 3．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点，，都在横线上，且，两点间的距离为4，那么，两点间的距离为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【解答】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 4．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方，完全平方公式分别计算判断即可． 【解答】解：、，故此选项符合题意； 、与不能合并，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 5．如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平角的性质求出，由平行线的性质即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设共有人，根据物品的价格不变列出方程． 【解答】解：设共有人， 由题意，得． 故选：． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 7．如图，在△中，，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连结，，设，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【分析】连接，，设，交于点，则，证明，，三点共线，进而根据正切的定义，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接，，设，交于点，则， 由条件可知， 又， ， ，，三点共线， 又， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质，设，得，所以，根据勾股定理得，然后证明△△，对应边成比例求出，得，延长交于点，证明△△，对应边成比例，再证明△是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ，点是边的中点， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， ， 如图，延长交于点， ， △△， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△△． 第二部分 非选择题 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为　　． 【分析】由于该方程的常数项是未知数，先把代入求出的值，求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算． 【解答】解：设方程的另一根是． 一元二次方程的一个根为， 是原方程的解， ， 解得； 又由韦达定理，得， ，即原方程的另一根是． 故答案为． 【点评】考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．另外，本题也可以设方程的另一根是．然后利用根与系数的关系来求另一个根及的值． 10．如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【解答】解： 根据题意，得 ， 解得，； 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 　　． 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【解答】解：根据题意，圆锥的母线长， 所以该圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．如图，点，在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．若，且△的面积为15，则　8　 ． 【分析】根据反比例函数值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：如图，延长、交于点，由条件可知，，，， ，， △的面积为15， ， 解得或（舍去）． 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 13．如图，已知是线段上的动点不与点，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边△和等边△，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，则的最小值是　　 ． 【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹△的中位线，得出，从而求得且大于等于与间垂线段的长，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，分别延长、交于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分， 为的中点， 正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为△的中位线， ，， 当在中点时，， 当在中点时，的值最小， △和△是等边三角形， ， △是等边三角形， ， 当在中点时，， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算：． 【分析】先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，0次幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值． 15．先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 16．据国家电影局统计，2025年春节档月28日至2月4日），，，，五部电影的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图1的扇形统计图．某影评网站随机抽取了100名观众对电影的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中　24　 ，　　 ． （2）电影春节档的票房是多少亿元？ （3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影在该网站的星级分值约是多少分？ 【分析】（1）由图1可以求出，由图2可以求出； （2）用总票房电影所占百分比即可； （3）求出电影的星级平均得分即可． 【解答】解：（1）根据图1可知，， 由图2可知，， 故答案为：24，20； （2）（亿元）， 电影春节档的票房是48.1亿元； （3）电影的星级平均得分为：， 电影在该网站的星级分值约是8.5分． 【点评】本题考查扇形统计图和条形统计图，关键是利用统计图和条形统计图获取有效信息． 17．根据以下素材，探索完成任务 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面型号）组成（如图1所示）．而、两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用． 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若，且全部裁剪，用张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，所裁剪得到的、型纸板恰好用完（即刚好配套）． （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张 大长方形硬纸板（张 型号（张数） 0 型号（张数） 0 ①　　 ②　　 （2）求和的值，此时能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出、型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张型和一张型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出、型纸板，所裁剪的、型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），求的值． 【分析】探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个种型号纸板、3个种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个种型号纸板和2个种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个种型号纸板和2个种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做个礼品盒，则需要裁剪个型纸板、个 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个种型号纸板和2个种型号纸板，列方程即可解答． 【解答】解：探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个种型号纸板、3个种型号纸板， 当时，（1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张 大长方形硬纸板（张 型号（张数） 0 型号（张数） 0 ① ② 故答案为：①，②； （2）根据题意可得， 即， ，则． （个． 答：，；最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出、型纸板，设能做个礼品盒， 则， ． 为正整数， 最大为20． 最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做个礼品盒，则需要裁剪个型纸板、个型纸板， ． ． ， ． ． ，为正整数， 或． 故的值为：11或24． 【点评】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 18．如图，是的直径，是弦，点为的中点，交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若直径为15，求的长． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到， （3）连接，根据垂径定理得到，，根据矩形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：连接， 是的直径， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ． ． 【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数”． （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行轴和轴，经过点和点的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过，两点，点的坐标为，点的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求的取值范围； ②点，是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求的值． 【分析】（1）将和的坐标代入求解即可； （2）由题意可设出和的坐标，再代入反比例函数求解即可，需要注意的是题目只说矩形边长为2和4，并没注明哪条边长是2和4，所以需要分类讨论； （3）根据题意画出图象，再根据顶点位置列出不等式即可得解； （4）二次函数最值问题，在开口方向固定的情况下，要讨论对称轴和自变量取值范围的关系，由，得到，进而确定最大值和最小值即可求解． 【解答】解：（1）一次函数经过点和点， ． 解得：． ； （2）①如图，当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； ②如图当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． （3）①，，且轴， ，， 将和代入得， ， 解得， 顶点坐标为，， 当时，如图， 此时， 解得； 当时，如图， 此时， 解得， 综上，的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，难度较大，数形结合和分类讨论是解决问题的关键． 20．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论 　　．（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）．理由如下： 如图1， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：． （2）如图2，过点作平分交于， 四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即的长为． 【点评】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（深圳卷） 数学·参考答案 第一部分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A C B C A 第二部分 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．． 10．． 11.． 12．8． 13． ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14.解：原式 ． 15.解： ， 当时，原式． 16.解：（1）根据图1可知，， 由图2可知，， 故答案为：24，20； （2）（亿元）， 电影春节档的票房是48.1亿元； （3）电影的星级平均得分为：， 电影在该网站的星级分值约是8.5分． 17.解：探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个种型号纸板、3个种型号纸板， 当时，（1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张 大长方形硬纸板（张 型号（张数） 0 型号（张数） 0 ① ② 故答案为：①，②； （2）根据题意可得， 即， ，则． （个． 答：，；最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出、型纸板，设能做个礼品盒， 则， ． 为正整数， 最大为20． 最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做个礼品盒，则需要裁剪个型纸板、个型纸板， ． ． ， ． ． ，为正整数， 或． 故的值为：11或24． 18.解：（1）证明：连接， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：连接， 是的直径， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ． ． 19.解：（1）一次函数经过点和点， ． 解得：． ； （2）①如图，当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； ②如图当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． （3）①，，且轴， ，， 将和代入得， ， 解得， 顶点坐标为，， 当时，如图， 此时， 解得； 当时，如图， 此时， 解得， 综上，的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 20.解：解：（1）．理由如下： 如图1， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：． （2）如图2，过点作平分交于， 四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即的长为． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（深圳卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　 A． B． C． D． 3．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点，，都在横线上，且，两点间的距离为4，那么，两点间的距离为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则　　 A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 7．如图，在△中，，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连结，，设，则的值为　　 A． B．2 C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则　　 A． B． C． D． 第二部分 非选择题 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为　 　． 10．如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 　　． 12．如图，点，在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．若，且△的面积为15，则　　 ． 13．如图，已知是线段上的动点不与点，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边△和等边△，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，则的最小值是　　 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14.计算：． 15.先化简，再求值：，其中． 16.据国家电影局统计，2025年春节档月28日至2月4日），，，，五部电影的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图1的扇形统计图．某影评网站随机抽取了100名观众对电影的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中　　 ，　　 ． （2）电影春节档的票房是多少亿元？ （3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影在该网站的星级分值约是多少分？ 17.根据以下素材，探索完成任务 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面型号）组成（如图1所示）．而、两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用． 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若，且全部裁剪，用张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，所裁剪得到的、型纸板恰好用完（即刚好配套）． （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张 大长方形硬纸板（张 型号（张数） 0 型号（张数） 0 ①　　 ②　　 （2）求和的值，此时能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出、型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张型和一张型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出、型纸板，所裁剪的、型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），求的值． 18.如图，是的直径，是弦，点为的中点，交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若直径为15，求的长． 19.在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数”． （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行轴和轴，经过点和点的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过，两点，点的坐标为，点的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求的取值范围； ②点，是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求的值． 20.【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论 　　．（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（深圳卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　 A． B． C． D． 3．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点，，都在横线上，且，两点间的距离为4，那么，两点间的距离为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则　　 A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 7．如图，在△中，，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连结，，设，则的值为　　 A． B．2 C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则　　 A． B． C． D． 第二部分 非选择题 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为　 　． 10．如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 　　． 12．如图，点，在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．若，且△的面积为15，则　　 ． 13．如图，已知是线段上的动点不与点，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边△和等边△，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，则的最小值是　　 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14.计算：． 15.先化简，再求值：，其中． 16.据国家电影局统计，2025年春节档月28日至2月4日），，，，五部电影的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图1的扇形统计图．某影评网站随机抽取了100名观众对电影的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中　　 ，　　 ． （2）电影春节档的票房是多少亿元？ （3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影在该网站的星级分值约是多少分？ 17.根据以下素材，探索完成任务 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面型号）组成（如图1所示）．而、两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用． 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若，且全部裁剪，用张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪型号纸板，所裁剪得到的、型纸板恰好用完（即刚好配套）． （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张 大长方形硬纸板（张 型号（张数） 0 型号（张数） 0 ①　　 ②　　 （2）求和的值，此时能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出、型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张型和一张型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出、型纸板，所裁剪的、型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），求的值． 18.如图，是的直径，是弦，点为的中点，交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若直径为15，求的长． 19.在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数”． （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行轴和轴，经过点和点的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过，两点，点的坐标为，点的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求的取值范围； ②点，是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求的值． 20.【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论 　　．（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（深圳卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第一部分 (请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第二部分二、填空题（每小题3分，共15分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14． 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$