北京交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 2.已知角的终边经过点，则的值为(    ) A. B. 1 C. 2 D. 3 3.已知向量，满足，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角正角的弧度数是(    ) A. 2 B. 1 C. D. 5.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(    ) A. B. C. D. 7.已知向量，，若与垂直，则(    ) A. B. C. D. 2 8.已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是(    ) A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，，都有 D. 函数的单调递减区间为， 9.关于函数，下列选项正确的是(    ) A. 为奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的最小值为2 D. 在区间上有两个零点 10.如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是(    ) ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知向量，则______. 12.已知，则______； 若且，则的取值为______. 13.函数的定义域为______. 14.梯形ABCD中，已知，，， ______； 若点E，F分别是边DC，BC上的动点，则的最大值是______. 15.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是______. ①每一个直角三角形的面积为 ② ③ ④ 三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 在平面直角坐标系中，已知向量，， Ⅰ求的值； Ⅱ求的值； Ⅲ求的值； 求的值. 17.本小题10分 已知函数 Ⅰ填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象： 0 x 1 0 Ⅱ直接写出它的对称轴和对称中心； Ⅲ设，求不等式的解集. 18.本小题10分 已知函数 Ⅰ求的最小正周期； Ⅱ求函数的最小值，并求取最小值时x的集合； Ⅲ求函数的单调增区间； Ⅳ求函数在区间上的值域. 19.本小题10分 已知向量，，函数 Ⅰ求并化简； Ⅱ已知在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在， 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③： 求，的值； 若函数在区间上单调递减，求实数m的最大值； Ⅲ当时，在区间上单调递增，求的取值范围. 20.本小题15分 若两个集合A和B之间存在一一对应关系f：，则称A和B等势，记为例如：若集合A为整数集，集合B为偶数集，因为存在A和B之间的一一对应关系f：，所以 判断集合和集合是否等势，并说明理由； 已知全集，，集合A中的元素个数记为 ①若存在集合M和N之间的一一对应关系，使得，求； ②集合P满足，，且，求满足条件的集合P的个数. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解： 故选： 由余弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果． 本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：由，得，，， 则 故选： 由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解． 本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：已知向量，满足，，， 则 故选： 直接利用向量的夹角公式计算即可． 本题考查了向量的夹角公式，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：设扇形的半径为r，所对弧长为l， 扇形的周长是24，面积为36， 则有解得故 即扇形的圆心角正角的弧度数为 故选： 根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解． 本题主要考查扇形的面积和弧长，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：当，时，成立，反之当时，，故“”是“”的必要不充分条件． 故选： 直接利用三角函数的值及充分性和必要性判断出结果． 本题考查的知识要点：三角函数的值，充分性和必要性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 6.【答案】D  【解析】解：由题意函数的周期， 将的图象向右平移个周期后， 可得 故选： 先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得． 本题考查了函数的图象变换以及诱导公式的应用，考查了函数思想，属于基础题． 7.【答案】A  【解析】解：向量，， 得； 由与垂直，得，即，可得 因为， 所以 故选： 由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案． 本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题． 8.【答案】B  【解析】解：由题意，根据函数的部分图象， 可得，即， 所以， 由题意， 根据为下降零点， 则，则， 又因为， 所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，由题意可得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，， 所以，，都有，故C正确； 对D，由，得， 所以函数的单调递减区间为，故D正确． 故选： 根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解． 本题考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性以及函数的图象变换，考查了函数思想，属于中档题． 9.【答案】D  【解析】解：由得，，的定义域为，关于原点对称， 由， 得为偶函数，故A错误； 当时，，， ，，，，则， 在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，， 令，得，得，得； 当时，函数无意义； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，， 令，得，得，得， 综上所述：在区间上有两个零点和，故D正确． 故选： 由正弦函数的性质和函数奇偶性的定义验证选项A；利用导数判断函数在区间内的单调性判断选项B；特殊值法检验选项C；分段讨论去绝对值求零点判断选项 本题考查求函数在区间内的零点个数，由函数解析式中含绝对值，根据角的正负和角所在的象限分类讨论去绝对值是关键，属难题． 10.【答案】A  【解析】解：对于①，由题意，， ，， 故，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以， 即，解得，，故③错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， ，，， 设，， 因为， ， 所以 ，， 所以当时，有最小值为； 当时，有最大值为， 即的取值范围是，故④正确； 故说法正确的有①④． 故选： 根据平面向量的线性运算可判定A；由线性运算及数量积运算可判定B；根据平面相机本定理可判定C；建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定 本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题． 11.【答案】1  【解析】解：由题意可知，， 所以 故答案为： 根据向量的坐标运算结合数量积运算计算求解． 本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题． 12.【答案】  0，  【解析】解：由题 ， 故， 令，即， ， 或， 即或，又， 所以 故答案为：； 先化简，接着将代入即可求解；令结合即可求出的取值． 本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：， 则，解得， 所以，， 即函数的定义域为； 故答案为： 根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 本题考查三角函数的恒等变换，涉及函数定义域的求法，属于基础题． 14.【答案】；     【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，， 则； 设，，，， 则，， 则，当且仅当，时取等号， 即的最大值是 故答案为：； 先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解； 由平面向量数量积的坐标运算，结合一次函数的最值的求法求解． 本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题． 15.【答案】①③  【解析】解：对于①，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故①正确； 对于②③，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得， 由于，互余，所以，故②错误，③正确； 对于D，①，②，且，， ， 故，故④错误． 故答案为：①③． 根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合选项即可逐一求解． 本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的综合应用，属于中档题． 16.【答案】Ⅰ； Ⅱ； Ⅲ；   【解析】解：Ⅰ已知向量，， 则， 则， 即； Ⅱ ； Ⅲ ； Ⅰ由已知可得：，则，然后求解即可； Ⅱ，然后分子分母同时除以求解即可； Ⅲ，然后分子分母同时除以求解即可； ，然后分子分母同时除以求解即可． 本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角恒等变换，属中档题． 17.【答案】详见解答过程； Ⅱ对称轴为，，对称中心为； Ⅲ  【解析】解：， 0 x 0 1 0 0 Ⅱ令，， 则，，对称轴为，， 令，， 则，， 对称中心为； Ⅲ由可得，， 解得，， 故不等式的解集为 结合正弦函数的五点作图法即可求解； Ⅱ结合正弦函数的对称性即可求解； Ⅲ结合正弦函数的图象即可求解． 本题主要五点作图法，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 18.【答案】Ⅰ； Ⅱ最小值，x的取值集合为； Ⅲ单调递增区间为，； Ⅳ值域为  【解析】解：因为 ， ； Ⅱ当，，即，时，函数取得最小值， 此时x的取值集合为； Ⅲ令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，； Ⅳ当时，， 故， 故，即的值域为 Ⅰ先结合二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解； Ⅱ结合正弦函数取得最值的条件即可求解； Ⅲ结合正弦函数的单调性即可求解； Ⅳ结合正弦函数取得最值的条件即可求解． 本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 19.【答案】条件①：不存在；条件②或③：，；  ；Ⅲ  【解析】解：Ⅰ Ⅱ若选条件①：由Ⅰ知，， 因为是图象的对称轴，所以，不可能满足，因此不可能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，且是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以周期，且， 又，所以， 所以， 所以，，即，， 因为，所以 若选条件③：因为在区间上单调递增，且是图象的对称轴，， 而，所以区间恰为函数的半个周期，即， 又，所以， 因为是图象的对称轴， 所以， 所以，，即，， 因为，所以 由知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 Ⅲ当时，， 若，则， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 又， 所以当时，；当时，；当时，无解， 综上，的取值范围为 Ⅰ结合向量数量积的坐标运算法则与三角恒等变换公式，化简求解即可； Ⅱ若选条件①：根据题意可得，不可能满足；若选条件②或③：先求得函数的最小正周期，从而知的值，再利用，求出的值即可； 结合正弦函数的单调性，求解即可； Ⅲ结合正弦函数的单调性，求解即可． 本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握向量数量积的坐标运算法则，三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：因为集合A，B之间存在一一对应关系， 所以A和B等势； ①因为， 所以， 所以，，， 即，，，， 当时，因为，所以， 此时，，，，满足；时，因为，所以， 此时，，，，满足； 当时，因为，所以， 此时，不满足； 当时，因为，所以， 此时，不满足； 综上所述，； ②因为集合， 由，得， 又， 若，，则，与矛盾，舍去； 若，，则，与矛盾，舍去； 若，，则， 由，得， 故，， 由于，得，故，， 所以或； 若，， 同理可得或 综上所述，满足条件的集合P有4个．  【解析】举例说明即可； ①由题意可得，分类讨论即可； ②根据题意易得，再分，；，；，；，四种情况讨论即可． 本题考查三角函数综合应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$