第14章 统计全章题型总结【5个知识点14大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第14章 统计全章题型总结【5个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 获取数据的基本途径及相关概念】 1．获取数据的相关概念 一般地，在获取数据时，我们把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体(population)，把组成总体的每一个考察对象叫作个体(subject)，从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本(sample)，样本中个体的数目叫作样本容量(size of a sample). (1)相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．获取数据的途径 (1)通过调查获取数据 我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据. (2)通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据. (3)通过观察获取数据 自然现象只能通过长久的持续观察获取数据. (4)通过查询获得数据 通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本. 【题型1 普查与抽样】 【例1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列调查必须采用抽样调查的是（　　） A．调查某城市今年7月份的温度变化情况 B．调查某一品牌5万瓶化妆品是否符合质量标准 C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市 D．了解全班50名学生100米短跑的成绩 【解题思路】根据普查和抽样的适应特征即可结合选项求解. 【解答过程】B不能用普查，因为质量检验具有破坏性.而且5万瓶，数量较多，适合用抽样 ACD中数量较少，可以用普查. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·江西景德镇·期末）下列调查方式中，可用普查的是（    ） A．调查某品牌电动车的市场占有率 B．调查2023年杭州亚运会的收视率 C．调查某校高三年级的男女同学的比例 D．调查一批玉米种子的发芽率 【解题思路】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可. 【解答过程】选项ABD调查对象的数目较多，适合采用抽查；C调查对象的数目较少，适合采用普查. 故选：C. 【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）下列调查方式，你认为最合适的是（    ） A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C．了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查 【解题思路】根据普查与抽样调查的适用范围以及特点即可结合选项逐一判断. 【解答过程】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确； B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误； C选项，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误； D选项，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误． 故选：A. 【变式1-3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（    ） ①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】结合全面调查和抽样调查的特点进行判断. 【解答过程】①因为一个班级学生的人数不太多，吃早餐情况的全面调查也容易操作，所以适合全面调查； ②某种饮料数量太多，质量合格情况适合抽样调查； ③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查； ④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多，不适合全面调查. 故选：B. 【题型2 总体与样本】 【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 【解题思路】根据统计中样本，总体及样本容量的概念进行判断. 【解答过程】本题抽取的是20名员工的体重，因此600名员工的体重是总体， 每个员工的体重是个体，这20名员工的体重构成一个样本，样本容量为20. 故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（　　） A．1 000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．100名学生的成绩单是一个个体 D．样本的容量是100 【解题思路】问题明确后，调查对象的范围随之确定.本题调查的目的是分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，故总体、样本及个体三个概念调查对象都是学生的成绩单. 【解答过程】由于调查目的是为分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩， 则1 000名学生的学习成绩单为总体. 从中随机抽取的100名学生的成绩单为样本. 个体则为每一个学生的成绩单.故A B C都不正确. 样本中个体的数目为样本容量，即100，故D正确． 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二·上海·课堂例题）某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 【解题思路】由总体的概念可得答案. 【解答过程】某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间. 他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h， 这里的总体是该校所有大学生的平均每天自习时间. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·天津河东·期末）为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面 C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20 【解题思路】根据总体，个体，样本，样本的定义逐一判断即可得解. 【解答过程】对于A，总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误； 对于B，个体是指1袋方便面的质量，故B错误； 对于C，样本是指按照抽取的20袋方便面的质量，故C错误； 对于D，样本容量为，故D正确. 故选：D. 【知识点2 简单随机抽样】 1．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 2．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地 逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. 一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤是： ①将总体中的N个个体编号； ②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上； ③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； ④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； ⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. 用随机数表法抽取样本的步骤是： ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致). ②在随机数表中任选一个数. ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中 或前面已经取出，则跳过.如此继续下去，直到取满为止. ④根据选定的号码抽取样本. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 【题型3 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 【解题思路】根据给定条件，利用简单随机抽样的意义逐项判断即得. 【解答过程】在简单随机抽样中，每个个体每次被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关，A，B，D错误，C正确． 故选：C. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【解题思路】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解. 【解答过程】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的. 对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意； 对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意； 对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意； 对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　） ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据简单随机抽样的特点逐个判断. 【解答过程】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. ②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. ③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. ④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样. 故选：B. 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【解题思路】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【解答过程】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 【题型4 抽签法及其应用】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 【解题思路】根据抽签法适用样本容量少，并且样本需搅拌均匀，进行逐一判断即可. 【解答过程】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法； C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大， 因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法； B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【解题思路】由抽签法的适用特征以及抽签法的使用步骤即可求解. 【解答过程】由于总体容量小，样本量也小，可用抽签法，步骤如下： （1）将28件环保案例用随机方式编号，号码是1，2，3，…，28； （2）将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签； （3）把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀； （4）从容器中无放回地逐个抽取7个号签，并记录上面的号码； （5）找出和所得号码对应的7件案例，组成样本． 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请20名同学演出，其中从30名高一学生中随机挑选10人，从18名高二学生中随机挑选6人，从10名高三学生中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的同学，并确定他们的表演顺序． 【解题思路】第一步，确定参演学生，做号签，抽签，第二步，确定演出顺序，做号签，抽签. 【解答过程】第一步，确定参演学生． （1）将30名高一学生从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上分别写上编号，然后放入一个暗箱中搅匀，从中顺次不放回地抽出10个号签，相应编号的学生参加演出； （2）运用相同的办法分别从18名高二学生中抽取6人，从10名高三学生中抽取4人． 第二步，确定演出顺序． 确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面分别写上1~20这20个数字，代表演出顺序，不放回地让每名学生抽一张，各人抽到的号签上的数就是这位学生表演的顺序． 【题型5 随机数表法及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏连云港·期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 7816  1572  0802  6315  0216  4319  9714  0198 3204  9234  4936  8200  3623  4869  6938  7181 A．02 B．14 C．15 D．16 【解题思路】结合随机数表法确定正确答案. 【解答过程】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去）， 02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14. 故选出的第6个个体编号为14. 故选：B. 【变式5-1】（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 【解题思路】根据随机数表法分析求解. 【解答过程】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为 27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去）， 95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29. 故最终取得的第6个数字为29. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【解题思路】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到400内的数，重复的只取一次，读取到第4个即可． 【解答过程】从第5行第6列开始向右读取数据，分别为：253（第1个），313（第2个），457（不在范围内，不符合要求），860（不在范围内，不符合要求），736（不在范围内，不符合要求），253（重复，不符合要求），007（第3个），328（第4个）， 故选：A． 【变式5-3】（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【解题思路】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【解答过程】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D. 【知识点3 分层抽样】 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比 较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样. (2)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)分层随机抽样的步骤 ①将总体按一定标准分层； ②计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； ④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). (4)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．抽样方法的特点与适用范围 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数 相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时， 可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 【题型6 抽样方法的选取】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·期末）①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 【解题思路】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可. 【解答过程】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； 对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A. 【变式6-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 【解题思路】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可. 【解答过程】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样； ②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样； 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·广西桂林·期末）要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（    ） A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B．（1）（2）都用简单随机抽样 C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D．（1）（2）都用分层随机抽样 【解题思路】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断. 【解答过程】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样； 从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（    ） A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【解题思路】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，判断即可． 【解答过程】对于①，总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； 对于②，总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分， 要选32名听众而刚好有32排，每排选一人，宜用系统抽样； 对于③，总体中的个体数较多，又是由差异明显的两部分组成，宜用分层抽样． 故选：B． 【题型7 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例7】（23-24高一下·江苏苏州·期末）某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【解题思路】运用分层抽样知识可解. 【解答过程】分层抽样抽样比为，样本中A种型号的产品有18件， 则样本中B,C种型号的产品有12件,30件.则样本容量. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）某单位有青年职工160人，中年职工人数180人，老年职工有90人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（    ） A．16 B．18 C．27 D．36 【解题思路】先计算出抽样比，然后利用老年职工人数乘上抽样比即可． 【解答过程】解：因为样本中有青年职工32人，所以抽样比为：， 所以样本中的老年职工人数为， 故选：B． 【变式7-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出20位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．4 C．3 D．5 【解题思路】根据分层抽样计算规则计算可得. 【解答过程】依题意“史政地”组合中选出的同学人数为人. 故选：D. 【变式7-3】（2024高一下·全国·专题练习）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶．某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数为（　　） A．23 B．92 C．128 D．180 【解题思路】本题属于分层抽样，根据样本来估计总体，先计算样本中只能说出一句或一句也说不出的人的抽样比例，再乘以总体即可得出结果. 【解答过程】由题意，100名学生中只能说出一句或一句也说不出的人数为100－32－45＝23， 在样本中的频率为， 故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为×400＝92. 故选：B． 【知识点4 统计图表】 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初 中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．扇形统计图、折线统计图、频数直方图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【题型8 根据统计图解决实际问题】 【例8】（2024高一下·江苏·专题练习）某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图），该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”.乙说：“八年级共有学生264人.”丙说：“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 【解题思路】根据统计图表数据分别求出达标率，即可判断. 【解答过程】由扇形统计图可得八年级共有学生（人）， 七年级共有学生（人）， 九年级共有学生（人）， 所以七年级的达标率为； 九年级的达标率为； 八年级的达标率为. 则九年级的达标率最高，则乙、丙的说法是正确的. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的食品开支（单位：元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据频数分布直方图可知食品开支为300元，其中肉类开支为元，运用百分比公式计算出肉类占食品开支的百分比； 然后根据扇形统计图得出食品在所有开支中所占的百分比，两者相乘，即可求得一星期的肉类开支占总开支的百分比. 【解答过程】由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中肉类开支为元，占食品开支的， 而食品开支占总开支的，所以小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为， 故选：C. 【变式8-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（    ）    A．全国农产品夏季价格比冬季低 B．全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加 C．2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致 D．2023年6月农产品批发价格200指数大于116 【解题思路】由图表直接观察一一分析选项即可. 【解答过程】对于A,图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误； 对于B，全国农产品批发价格200指数2023年4－6月呈下降趋势，并未增加，故B错误； 对于C，根据图中曲线的变化趋势可发现2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致，故C正确； 对于D，2023年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误． 故选：C. 【变式8-3】（23-24高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【解题思路】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【解答过程】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D. 【题型9 频率分布直方图的相关计算问题】 【例9】（23-24高一下·江苏连云港·期末）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数. 【解答过程】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为， 所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人. 故选：C. 【变式9-1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】先由频率之和为解得值，计算可得之间的学生人数，根据抽样比可求得. 【解答过程】由题得，所以． 在之间的学生：人， 现再从这人中用分层抽样的方法抽取人， 应从间抽取人数为，故. 故选：C． 【变式9-2】（23-24高一下·吉林·期末）随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（    ） A．140 B．120 C．100 D．80 【解题思路】由频率分布直方图求出第四组与第五组的频率之和，即可求出样本容量，再求出第二组的人数，即可得解. 【解答过程】由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为， 第二组频率为． 因为第四组与第五组共有150人，所以样本容量， 所以第二组人数为，所以第二组中男性球迷人数为． 故选：C． 【变式9-3】（23-24高二上·北京·期中）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计､发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数是（    ）    A．30 B．45 C．60 D．100 【解题思路】由频率之和为先求出，再由成绩在的频率可求成绩在该区间的学生数. 【解答过程】由题意得，， 解得，则学生成绩在区间的频率为， 由共抽取200名学生，则成绩在区间的学生数为. 故选：C. 【知识点5 用样本估计总体】 1．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 2．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中出 现的频数为，则总体方差为. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则 标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 3．用频率分布直方图估计总体分布 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用 中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分 布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 4．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个 值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 【题型10 众数、中位数、平均数的求解及应用】 【例10】（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【解题思路】根据题意分析可知：平均数为，中位数为2，列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：这组数据的平均数为， 除外，将数据按升序排列可得， 结合的任意性可知中位数为2，则，解得. 故选：D. 【变式10-1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均数、中位数和众数的定义分别求得即可. 【解答过程】该组数据的平均数； 将引体向上的个数按照从小到大顺序排列为：， 则中位数； 该组数据的众数；. 故选：A. 【变式10-2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在如图所示的两种分布形态中（    ） A．（1）中的中位数大于平均数 B．（1）中的众数大于平均数 C．（2）中的众数小于中位数 D．（2）中的平均数小于中位数 【解题思路】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论 【解答过程】众数是最高的矩形的中点横坐标，因此（1）中的众数在第二列矩形的中点处， （1）中的数据第二、三列较多，且右侧拖尾， 所以平均数大于中位数，即在（1）中，众数<中位数<平均数； 同理在（2）中，平均数<中位数<众数. 故选：D. 【变式10-3】（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（    ） A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84 【解题思路】根据平均数和众数的概念求解. 【解答过程】将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数， 因为84出现了三次，且次数最多，所以众数为84. 故选：D. 【题型11 方差、标准差的求解及应用】 【例11】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（    ） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 【解题思路】设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解. 【解答过程】设男生人数为，女生人数为， 且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和， 由平均数可得，即，解得， 由方差可得， 即，解得. 故选：B. 【变式11-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【解题思路】根据平均数和方差公式计算即可． 【解答过程】解：原来数据平均值为，方差为则， 方差为 ． 故选：C． 【变式11-2】（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 (1)计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； (2)从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 【解题思路】（1）由平均数和方差的计算公式计算即可得到答案； （2）由，可知乙运动员的射箭技术更好. 【解答过程】（1）根据题中所给数据，甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， 故甲的平均数为8.7，标准差为0.81，乙的平均数为8.7，标准差为0.41. （2）由（1）可知，，因为平均数相同，方差越小的技术越稳定， 所以乙的技术较为稳定，故乙运动员的射箭技术更好. 【变式11-3】（24-25高一下·甘肃·阶段练习）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：    (1)求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； (2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 【解题思路】（1）利用平均数和方差的公式进行求解； （2）①比较平均数，两者相等，比较方差，，得到结论； ②数形结合得到甲成绩在稳步提高，得到结论 【解答过程】（1）由表格中的数据可得 甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下. 【题型12 百分位数的求解】 【例12】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）从小到大排列的数据1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18的下四分位数为（    ） A．3 B．4 C．10 D．12 【解题思路】利用分位数的定义进行求解. 【解答过程】数据共12个，， 故从小到大，选择第3和第4个数的平均数作为下四分位数，即. 故选：B. 【变式12-1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.73，2.75，2.80，2.82，则它们的75百分位数为（    ） A．2.75 B．2.80 C．2.81 D．2.82 【解题思路】将数据从小到大排列，然后按照百分位数的计算公式求解即可. 【解答过程】因为7个样本数据是从小到大排列的，且， 所以第75百分位数是第6个数2.80. 故选：B. 【变式12-2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 【解题思路】根据百分位数计算规则计算可得. 【解答过程】因为， ， 所以第百分位数位于，设为， 则，解得. 故选：B. 【变式12-3】（23-24高一下·江苏常州·期末）在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色的表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（    ） A．10.2 B．10.5 C．10.65 D．10.8 【解题思路】将数据从小到大排序，再结合百分位数的定义与计算方法，即可求解. 【解答过程】根据题意，数据从小到大排序为：， 可得，所以前10枪成绩的第75百分位数为第8个数据，即为. 故选：D. 【题型13 用频率分布直方图估计总体分布】 【例13】（23-24高一下·河北邯郸·期末）在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ）    A．这100名学生中成绩在内的频率为0.012 B．这100名学生中成绩在内的人数为14 C．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这100名学生成绩的中位数为75 【解题思路】由概率之和为1可判断A；结合频率与频数的关系可判断B；结合平均数的公式可判断C；由中位数的公式可判断D. 【解答过程】由频率分布直方图可得，解得， 所以成绩在内的频率为，故A不正确； 这100名学生中成绩在内的频率为， 所以成绩在内的人数为32，故B不正确； 根据频率分布直方图平均数的计算公式可得 ，故C正确； 根据频率分布直方图可得，中位数在之间，故D不正确. 故选：C. 【变式13-1】（23-24高一下·天津和平·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25； ②估计居民月均用水量的中位数约为2.1 ③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万； ④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④. 【解答过程】由频率分布直方图可知， 居民月均用水量低于的概率，故①正确， 三组的频率之和为， 而前四组频率之和为， 故中位数位于，由，②正确 估计万居民中月均用水量不低于3的人数为，③正确 根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则用水量在中应抽取人，④错误， 故选：C. 【变式13-2】（23-24高一下·江苏连云港·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【解题思路】（1）由直方图区间频率和为1求参数；设该样本的60百分位数为分，由题意可得，求解即可； （2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可； （3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可. 【解答过程】（1）由，解得； 设该样本的60百分位数为分， 因为对应的频率分别为0.05，0.15，0.3，0.25， 所以60百分位数在内，由题意可得，解得， 所以60百分位数为； （2）， 故本次防疫知识测试成绩的平均分为； （3）设受嘉奖的学生分数不低于分， 因为对应的频率分别为0.15，0.1， 所以，解得， 故受嘉奖的学生分数不低于分． 【变式13-3】（2024高一下·江苏·专题练习）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率直方图，已知第一组有6人. (1)求x； (2)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差； ②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度. 【解题思路】（1）根据第一组的频率和人数列出方程，求出； （2）①利用平均数和方差公式计算即可； ②由①中求出的两组平均数和方差作出评价. 【解答过程】（1）根据频率直方图得第一组频率为，所以，所以. （2）①5个年龄组的平均数为， 方差为， 5个职业组的平均数为， 方差为， ②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 【题型14 统计综合】 【例14】（23-24高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 【解题思路】（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可； （2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断. 【解答过程】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为： ； 乙厂轮胎宽度的平均值为： ； 所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194. （2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定. 【变式14-1】（23-24高一下·江苏徐州·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 【解题思路】（1）利用所有数据频率之和为1算出的频率，再根据平均数和分位数的概念直接计算即可. （2）直接利用分层抽样方差公式计算即可. 【解答过程】（1）频率为， 所以该组数据的纵坐标为，补齐的直方图如图： 平均数为， 因为前三组的频率之和， 而前四组的频率之和， 所以第分位数为第四组数据的中点即. （2）设第三组的平均数是，权重为，方差为，设第四组的平均数是，权重为，方差为， 两组的平均数是，方差为，由直方图可知则， ，则， 根据分层抽样方差公式得：. 【变式14-2】（24-25高一上·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 【解题思路】（1）利用分层抽样求出甲班抽取的学生数，再读取编号并求出中位数. （2）（i）利用分层随机抽样的平均数和方差的公式计算即得；（ii）计算并比较得解. 【解答过程】（1）根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为， 在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为． （2）（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式， 得，因此， ，即，解得， 所以，. （ii）因为， 因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 【变式14-3】（23-24高一下·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励．图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．      (1)请根据频率分布直方图，求m的值，并求出该天运动步数不少于15000步的人数； (2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数； (3)如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得m的值；结合频率、频数之间的关系即可求得该天运动步数不少于15000步的人数； （2）根据频率分布直方图，依据众数、平均数和中位数的估计方法即可求得答案； （3）计算甲乙排名的占比，结合频率分布直方图计算出甲乙两人的步数，与已知的甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图比较，即得答案. 【解答过程】（1）由图可知，解得； 所以该天运动步数不少于15000的人数为（人）； （2）众数是（千步）； 全体职工在该天的平均步数为： （千步） 由于前两组频率之和为，前三组频率之和为， 故设中位数为x，则， 即中位数是：（千步） （3）因为，， 假设甲的步数为千步，乙的步数为千步， 由频率分布直方图可得： ，解得（千步）， ，解得（千步）， 所以可得出是星期二的频率分布直方图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 统计全章题型总结【5个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 获取数据的基本途径及相关概念】 1．获取数据的相关概念 一般地，在获取数据时，我们把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体(population)，把组成总体的每一个考察对象叫作个体(subject)，从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本(sample)，样本中个体的数目叫作样本容量(size of a sample). (1)相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．获取数据的途径 (1)通过调查获取数据 我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据. (2)通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据. (3)通过观察获取数据 自然现象只能通过长久的持续观察获取数据. (4)通过查询获得数据 通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本. 【题型1 普查与抽样】 【例1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列调查必须采用抽样调查的是（　　） A．调查某城市今年7月份的温度变化情况 B．调查某一品牌5万瓶化妆品是否符合质量标准 C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市 D．了解全班50名学生100米短跑的成绩 【变式1-1】（23-24高一上·江西景德镇·期末）下列调查方式中，可用普查的是（    ） A．调查某品牌电动车的市场占有率 B．调查2023年杭州亚运会的收视率 C．调查某校高三年级的男女同学的比例 D．调查一批玉米种子的发芽率 【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）下列调查方式，你认为最合适的是（    ） A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C．了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查 【变式1-3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（    ） ①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 总体与样本】 【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　） A．600名员工是总体 B．每个被抽查的员工是个体 C．抽取的20名员工的体重是一个样本 D．抽取的20名员工的体重是样本容量 【变式2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（　　） A．1 000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．100名学生的成绩单是一个个体 D．样本的容量是100 【变式2-2】（23-24高二·上海·课堂例题）某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 【变式2-3】（23-24高一下·天津河东·期末）为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面 C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20 【知识点2 简单随机抽样】 1．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 2．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地 逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. 一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤是： ①将总体中的N个个体编号； ②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上； ③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； ④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； ⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. 用随机数表法抽取样本的步骤是： ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致). ②在随机数表中任选一个数. ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中 或前面已经取出，则跳过.如此继续下去，直到取满为止. ④根据选定的号码抽取样本. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 【题型3 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【变式3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　） ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【题型4 抽签法及其应用】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请20名同学演出，其中从30名高一学生中随机挑选10人，从18名高二学生中随机挑选6人，从10名高三学生中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的同学，并确定他们的表演顺序． 【题型5 随机数表法及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏连云港·期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 7816  1572  0802  6315  0216  4319  9714  0198 3204  9234  4936  8200  3623  4869  6938  7181 A．02 B．14 C．15 D．16 【变式5-1】（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 【变式5-2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【变式5-3】（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【知识点3 分层抽样】 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比 较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样. (2)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)分层随机抽样的步骤 ①将总体按一定标准分层； ②计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； ④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). (4)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．抽样方法的特点与适用范围 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数 相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时， 可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 【题型6 抽样方法的选取】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·期末）①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 【变式6-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 【变式6-2】（24-25高一上·广西桂林·期末）要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（    ） A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B．（1）（2）都用简单随机抽样 C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D．（1）（2）都用分层随机抽样 【变式6-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（    ） A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【题型7 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例7】（23-24高一下·江苏苏州·期末）某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【变式7-1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）某单位有青年职工160人，中年职工人数180人，老年职工有90人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（    ） A．16 B．18 C．27 D．36 【变式7-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出20位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．4 C．3 D．5 【变式7-3】（2024高一下·全国·专题练习）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶．某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数为（　　） A．23 B．92 C．128 D．180 【知识点4 统计图表】 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初 中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．扇形统计图、折线统计图、频数直方图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【题型8 根据统计图解决实际问题】 【例8】（2024高一下·江苏·专题练习）某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图），该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”.乙说：“八年级共有学生264人.”丙说：“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 【变式8-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的食品开支（单位：元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（    ）    A．全国农产品夏季价格比冬季低 B．全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加 C．2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致 D．2023年6月农产品批发价格200指数大于116 【变式8-3】（23-24高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【题型9 频率分布直方图的相关计算问题】 【例9】（23-24高一下·江苏连云港·期末）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】（23-24高一下·吉林·期末）随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（    ） A．140 B．120 C．100 D．80 【变式9-3】（23-24高二上·北京·期中）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计､发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数是（    ）    A．30 B．45 C．60 D．100 【知识点5 用样本估计总体】 1．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 2．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中出 现的频数为，则总体方差为. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则 标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 3．用频率分布直方图估计总体分布 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用 中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分 布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 4．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个 值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 【题型10 众数、中位数、平均数的求解及应用】 【例10】（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式10-1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）某校素质运动会上，个男生的引体向上个数依次为，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在如图所示的两种分布形态中（    ） A．（1）中的中位数大于平均数 B．（1）中的众数大于平均数 C．（2）中的众数小于中位数 D．（2）中的平均数小于中位数 【变式10-3】（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（    ） A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84 【题型11 方差、标准差的求解及应用】 【例11】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（    ） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 【变式11-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【变式11-2】（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 (1)计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； (2)从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 【变式11-3】（24-25高一下·甘肃·阶段练习）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：    (1)求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； (2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 【题型12 百分位数的求解】 【例12】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）从小到大排列的数据1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18的下四分位数为（    ） A．3 B．4 C．10 D．12 【变式12-1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.73，2.75，2.80，2.82，则它们的75百分位数为（    ） A．2.75 B．2.80 C．2.81 D．2.82 【变式12-2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 【变式12-3】（23-24高一下·江苏常州·期末）在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色的表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（    ） A．10.2 B．10.5 C．10.65 D．10.8 【题型13 用频率分布直方图估计总体分布】 【例13】（23-24高一下·河北邯郸·期末）在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ）    A．这100名学生中成绩在内的频率为0.012 B．这100名学生中成绩在内的人数为14 C．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） D．这100名学生成绩的中位数为75 【变式13-1】（23-24高一下·天津和平·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25； ②估计居民月均用水量的中位数约为2.1 ③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万； ④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-2】（23-24高一下·江苏连云港·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．    (1)求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【变式13-3】（2024高一下·江苏·专题练习）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率直方图，已知第一组有6人. (1)求x； (2)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差； ②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度. 【题型14 统计综合】 【例14】（23-24高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 【变式14-1】（23-24高一下·江苏徐州·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 【变式14-2】（24-25高一上·河南安阳·期末）某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为． （i）求乙班的样本平均数和方差； （ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） 【变式14-3】（23-24高一下·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励．图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．      (1)请根据频率分布直方图，求m的值，并求出该天运动步数不少于15000步的人数； (2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数； (3)如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$