第六章第02讲 用关系式、图象表示变量间的关系（4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 用关系式、图象表示变量间的关系 课程标准 学习目标 ①关系式表示变量间的关系 ②图形表示变量间的关系 1.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想； 2.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来； 3.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验； 4.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化. 知识点01 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小琛对某地距离地面的高度与温度测量得到的表格．写出随变化的关系式 ． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 温度 20 14 8 2 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】由表格知，距离地面高度增加，温度降低，据此写出随变化的关系式即可； 本题考查函数关系式，找到变量的变化规律是解题的关键． 【详解】由表格可知，距离地面高度增加，温度降低， 随变化的关系式为； 故答案为：． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量间的关系，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据题意，经过时间，燃烧掉的长度为，剩下的蜡烛长度等于原始长度减去燃烧掉的蜡烛长度即得解． 【详解】解：根据题意得，经过，燃烧掉的长度为，蜡烛原始长度为， 经过，燃烧后蜡烛的长度． 故答案为：． 知识点02 利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练2】 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 4．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 知识点03 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 【即学即练3】 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B．C． D． E． 【答案】B 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 6．（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象表示变量间的关系，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图象，再与选项对比判断即可． 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程400米，s从0增加到400米，t从0到5分； 在凉亭休息5分钟，t从5分到10分，s保持400米不变； 从凉亭到公园，用时间5分钟，路程400米，t从10分到15分，s从400米增加到800米； 则能近似刻画与之间的关系的是： 故选：A． 知识点04 从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练4】 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（单位：m）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图②所示． 根据图中的信息，回答下列问题： (1)根据图②补全表格； 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 5 5 … (2)根据图象，求出摩天轮的直径． 【答案】(1)70，54 (2) 【知识点】用表格表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象和表格表示两个变量的关系，理解题意，从图象中准确获取信息是解答的关键． （1）从图象中得到当时，，当时，，进而补全表格即可； （2）直接从图象中得到最高和最低高度，即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，当时，，当时，， 故补全表格为： 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 70 5 54 5 … 故答案为：70  54； （2）解：由图可知，摩天轮最高，最低， ∴摩天轮的直径为． 8．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 题型01 用关系式表示变量之间的关系 例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，则从计时开始，拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系式是 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查变量之间的关系表示方法，根据题意，用关系式表示拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升， 拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系式是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 【答案】（1）．其中变量是S，x，常量是30；（2）．当时，t的值为100 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查利用关系式表示变量之间的关系，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意矩形周长与面积的计算公式得到关系式； （2）根据路程时间速度写出关系式即可． 【详解】解：（1）长方形场地总长为， 另一边为， ．其中变量是S，x，常量是30； （2）由题意可得：， 当时，t的值为100． 3．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)剩余油量Q的值为17升； (3)能在汽车报警前回到家，见解析 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据数量关系列出关系式是解题的关键． （1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量； （2）把千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得． 【详解】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米）， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为； （2）解：当时，（升）， 答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升； （3）解：他们能在汽车报警前回到家， （千米）， 由知他们能在汽车报警前回到家． 题型02 利用关系式求值 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： (1)若表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为_____； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加_____，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从_____增加到_____； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查代数式的运用，掌握代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意，代入计算即可； （3）根据题意，代入计算求和即． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，，当时，， 故答案为：，，； （3）解：二氧化碳排放量的总和为， ∴小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【答案】(1)300页 (2)需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少 (3)；m与n成反比例关系； 【知识点】有理数乘法的实际应用、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据． （1）根据每天看的页数乘以时间即可得出结论； （2）由表中的数据可得需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）根据总页数，表示每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系即可；根据关系式判断每天看的页数与需要的天数之间的比例关系即可． 【详解】（1）解：这本书共有（页） 答：这本书有300页； （2）解：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； 答：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）解：每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系为：； 故答案为：； 可以得出：m与n成反比例关系； 2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 与温度 测量得到的表格． 距离地面高度(千米) 温度(℃) 请回答下列问题： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)与之间的关系式是 ． (3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗? 【答案】(1)上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量 (2) (3)温度为时，距离地面的高度是千米 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的定义，表格表示函数关系，求函数值； （1）根据函数的定义即可求解； （2）由表格可知当高度每上升时，温度下降，然后计算即可； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量. （2）根据表格数据知当高度每上升时，温度下降， ∴； （3）将代入 ， 可得：， 解得 ， 答：温度为时，距离地面的高度是千米． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 【答案】(1)72 (2) (3)不能能叠放11个，理由见解析 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等： （1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米， ∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米， 故答案为：72； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：不能能叠放11个，理由如下： 当时，， ∴， ∴不能能叠放11个． 题型03 用图象表示变量之间的关系 例题：（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键．根据容器形状，匀速注水，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意． 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西防城港·期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 题型04 从图象中获取信息 例题：（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【答案】(1)正；；50 (2)这些油不能够使这辆汽车开到目的地，理由见解析 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了一次函数的应用，从图象中获取准确信息是关键． （1）根据图象信息直接填空即可； （2）先计算出汽车的油耗，再计算300公里所需的汽油量，与30升汽油比较即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是升：当耗油量达到6升时，汽车行驶50千米． 故答案为：正；；50； （2）解：汽车的耗油量为（升/千米）， （升）， ∵， ∴这些油不能够使这辆汽车开到目的地． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)距离与时间，超市离家900米 (2)20分钟，35分钟 (3)在超市购物或休息 (4)45米/分钟，60米/分钟 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟； （3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）； （4）根据速度路程时间进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟； （3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息； （4）小明到超市的平均速度是米/分钟； 返回的平均速度是米/分钟． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 【答案】(1)小明的游览时间，小明步行的路程 (2)4 (3)0.35 (4)小明游览时间为时，步行的路程为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键． （1）由题意直接得到； （2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解； （3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解； （4）根据其横纵坐标说明即可． 【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程． 故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程； （2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：， 时间为： ∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 故答案为：4； （3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：， ∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：， ∴在景点好汉坡处逗留的时间是， 故答案为：0.35； （4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为． 故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为． 3．（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【答案】(1)时间，记忆保持量 (2)① (3)记忆9小时后记忆保持量约为 (4)见解析 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了图象表示变量之间的关系． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）结合图象可知，内曲线下降的最快，即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）由图象可知，在学习后内遗忘的速度最快． 故答案为：①． （3）结合图象可知，图中点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为； 故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为； （4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习． 一、单选题 1．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，该气体的体积等于温度为时的体积加上在的基础上上升的温度乘以即可得到体积与温度之间的函数表达式． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为1，则输出的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，根据流程图把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当输入变量x的值为1时，输出的结果为， 故选：C． 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数，由长方形的面积列出函数，即可求解；理解长方形的面积与边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了求函数关系式，根据题意先求出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴， ∵三角形的高， ∴， 故答案为：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 9．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【知识点】用图象表示变量间的关系、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详解】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 10．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·吉林·期中）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自自变量的取值范围． (1)圆的周长C是半径r的函数； (2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（小时）的函数． 【答案】(1) (2) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式： （1）根据圆周长计算公式求解即可； （2）根据路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）某校准备在校园围墙一角用篱笆围一个长方形的小花园，已知长方形的长为8米，宽为x米，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积y（平方米）也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)求长方形的面积y（平方米）与宽x（米）之间的关系式，并说明当长方形的宽每增加1米时，长方形的面积如何变化？ (3)当长方形的宽由3米增加到6米时，长方形的面积增加了多少平方米？ 【答案】(1)自变量、因变量分别是长方形的宽和面积 (2)长方形的面积y与宽x之间的关系式为y＝8x，当长方形的宽每增加1米时，长方形的面积增加8平方米 (3)长方形的宽由3米增加到6米时，长方形的面积增加了24平方米 【知识点】列代数式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查的是变量和常量，用关系式表示两个变量的关系， （1）根据已知可知矩形的面积随矩形的宽变化而变化和自变量、因变量定义即可解答； （2）根据长方形面积公式即可解答； （3）把和分别代入（2）的关系式中即可解答． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量、因变量分别是长方形的宽和面积． （2）解：根据题意可知：， 答：长方形的面积y与宽x之间的关系式为，当长方形的宽每增加1米时，长方形的面积增加8平方米． （3）解：（平方米）， 答：长方形的宽由3米增加到6米时，长方形的面积增加了24平方米． 13．（23-24七年级下·广东河源·期中）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (4)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【答案】(1)76元 (2) (3)90立方米 (4)80立方米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用关系式表示变量间的关系、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系和一元一次方程的应用，正确理解题意、列出关系式和方程是解题的关键． （1）由于，按照超出50立方米的收费方法计算即可； （2）根据结合题意列出表达式即可； （3）先判断4月用气超过50立方米，再根据（2）的结果列出方程求解即可； （4）直接列出方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）解；由题意得，； （3）解：∵， ∴她家4月份所用煤气超过50立方米， ∴， 解得， 答：么她家4月份所用煤气为90立方米； （4）解：由题意得，， 解得， 答：6月份小丽家用了80立方米的煤气． 14．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 【答案】(1)18；. (2)小时 (3)小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）由图象可得：小林先走了3千米，然后利用速度等于路程除以时间可求出小林的骑行速度，爸爸减速前的速度，即可求解； （2）小林的爸爸骑行与小林相遇时两人离开出发点路程相等列方程即可求解； （3）分减速前、减速后两种情况讨论，根据路程差为分别列出方程，即可求解． 本题考查了函数的关系式运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题． 【详解】（1）解：由图象可得：小林先走了3千米， 小林的骑行速度是千米/小时， 爸爸减速前的速度是千米/小时， （2）根据题意，小林的爸爸骑行与小林相遇， ∴，解得， 所以，小林的爸爸骑行小时与小林相遇； （3）根据题意，分为两种情况： 小林的爸爸减速前： ， 解得： 或 ； 小林的爸爸减速后：减速后的速度是千米/小时； ∴爸爸减速后离出发点的距离（千米）与时间（小时）之间的关系式为 ， ∴ ， 解得： 或 ， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴在两人到达目的地之前，小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 15．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 12 13 14 (1)上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ (3)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式； (4)当物体的质量为时，根据（3）的关系式，求弹簧的长度． 【答案】(1)表中反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； (2)当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长． (3) (4) 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了表格表示变量之间的关系，读懂表格时解题的关键. （1）由常量和变量的定义即可得出结果； （2）由表中数据即可得出结果； （3）由上表可知当时，，随后x每增加，弹簧总长y增加，故可求出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式． （4）根据（3）的关系式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：表中反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由表中数据可知当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长． （3）当时，，随后x每增加，弹簧总长y增加， ∴， （4）当时； 即当物体的质量为时，弹簧的长度为． 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ (2)该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ (3)图中点A表示的意义是什么？ 【答案】(1) (2) (3)点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系，能从图象上获取有用信息是解答的关键． （1）根据图象中测试点甲的距离y为0时的时间x值即可； （2）直接由图象中的14分钟减去8分钟求解即可； （3）根据点A的坐标可得点A表示的意义． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 答：从甲处出发到回到甲处一共用了； （2）解：由图象可得，该款新型智能机器人在乙处停留了； （3）解：∵该款新型智能机器人在丙处停留了， ∴点A的坐标为， 故图中点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 17．（23-24七年级下·福建三明·期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 【答案】(1)气温，音速，3 (2) (3)1745米 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，列函数关系式： （1）直接通过表格，进行作答即可； （2）根据表格，求出气温每升高，音速的变化量，写出函数关系式即可； （3）先求出时的音速，再乘以时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知：在这个变化过程中，气温是自变量，音速是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高3； 故答案为：气温，音速，3； （2）由表格可知，气温每升高，音速增加， ∴； 故答案为：； （3）当时，， ∴打雷的地方距离小明大约有（米）． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 19．（23-24七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】(1)氮肥的施用量 (2)不施用氮肥时，土豆的产量为 (3) (4)见解析 【知识点】用表格表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系． （1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系； （2）直接从图中得到点A表示的实际意义； （3）将代入计算即可求解； （4）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的． 【详解】（1）解：上述问题中反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量； 故答案为：氮肥的施用量； （2）解：图中点A表示的实际意义是：不施用氮肥时，土豆的产量为； 故答案为：不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时，， 故答案为：； （4）解：当氮肥的施用量约为时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，又可以节约肥料． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 【答案】(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离 (2) (3) (4) (5)乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地 (6)或或14 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）由图象可得乙比甲晚出发两地相距(千米)； （3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度； （4）根据两车的速度可得答案； （5）根据点的坐标解答即可； （6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离； 故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离； （2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是两地相距(千米)； 故答案为：； （3）解：甲的驾车速度为：； 故答案为：； （4）解：由题意可得，， 乙的驾车速度为：， 所以， 故答案为：； （5）解：在图2中点表示的含义是乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； 故答案为：乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； （6）解：分两种情况，①时， ， 解得：， ②时， 乙的速度为， ∴， ∴， 综上，当或6.5或14时，甲，乙相距． 故答案为：或或14． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 用关系式、图象表示变量间的关系 课程标准 学习目标 ①关系式表示变量间的关系 ②图形表示变量间的关系 1.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想； 2.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来； 3.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验； 4.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化. 知识点01 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小琛对某地距离地面的高度与温度测量得到的表格．写出随变化的关系式 ． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 温度 20 14 8 2 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 知识点02 利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练2】 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 4．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 知识点03 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 【即学即练3】 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B．C． D． E． 6．（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练4】 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（单位：m）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图②所示． 根据图中的信息，回答下列问题： (1)根据图②补全表格； 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 5 5 … (2)根据图象，求出摩天轮的直径． 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 70 5 54 5 … 8．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 题型01 用关系式表示变量之间的关系 例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，则从计时开始，拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系式是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 3．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 题型02 利用关系式求值 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： (1)若表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为_____； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加_____，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从_____增加到_____； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 与温度 测量得到的表格． 距离地面高度(千米) 温度(℃) 请回答下列问题： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)与之间的关系式是 ． (3)你能估计温度为时，距离地面的高度是多少吗? 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 题型03 用图象表示变量之间的关系 例题：（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西防城港·期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B．C．D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 题型04 从图象中获取信息 例题：（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系．    (1)根据图象判断，这辆汽车行驶的路程和耗油量成 比例．当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 3．（23-24七年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 一、单选题 1．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为1，则输出的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 7．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为 ． 8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 9．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 10．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    三、解答题 11．（23-24八年级下·吉林·期中）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自自变量的取值范围． (1)圆的周长C是半径r的函数； (2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（小时）的函数． 12．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）某校准备在校园围墙一角用篱笆围一个长方形的小花园，已知长方形的长为8米，宽为x米，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积y（平方米）也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)求长方形的面积y（平方米）与宽x（米）之间的关系式，并说明当长方形的宽每增加1米时，长方形的面积如何变化？ (3)当长方形的宽由3米增加到6米时，长方形的面积增加了多少平方米？ 13．（23-24七年级下·广东河源·期中）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (4)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 14．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 15．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 12 13 14 (1)上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ (3)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式； (4)当物体的质量为时，根据（3）的关系式，求弹簧的长度． 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ (2)该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ (3)图中点A表示的意义是什么？ 17．（23-24七年级下·福建三明·期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 19．（23-24七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$