第六章第01讲 用表格表示变量之间的关系（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第01讲 用表格表示变量之间的关系 课程标准 学习目标 ①变量、自变量、应变量 ②用表格表示变量之间的关系 1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.（重点） 2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点） 知识点01 常量与变量 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 知识点02 自变量与因变量 如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量． 区别自变量和因变量有以下三种方法： (1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因 变量是后发生变化的量； (2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变 量是一个被动变化的量； (3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果． 【即学即练2】 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是 ，因变量是 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况，如下图所示． 图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 知识点03 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 【即学即练3】 5．（23-24七年级下·江西吉安·期中）下表记录的是某橘农去年橘子的销售额（元）随橘子销量（千克）变化的有关数据，请根据表中数据回答下列问题： 销量（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售额（元） 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当销量是5千克时，销售额是多少？ (3)估计当销量是50千克时，销售额是多少？ 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 题型01 常量与变量 例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于圆的面积S与半径r的关系式，下列说法正确的是（   ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．S是常量 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（ ） A．，， B．和 C．和 D．和 题型02 自变量与因变量 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）圆的周长C与半径r之间的关系式是，其中自变量是（   ） A．C B．2 C． D．r 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 2．在一定高度，一个物体自由下落的距离与下落时间之间的变化关系式是（为重力加速度，），在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量． 3．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是 ，因变量是 题型03 用表格表示的变量间关系 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 3．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（  ） A．金额、单价是变量，数量是常量 B．数量、单价是变量，金额是常量 C．金额、数量是变量，单价是常量 D．金额、数量、单价都是变量 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 3．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（    ） … … A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 5．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（   ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 7．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ． 9．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 10．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表： 温度 100 150 200 250 300 350 400 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的瓶数（个）之间的关系如表所示： 每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 … 需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 … (1)这批牛奶共有多少升？ (2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？ 12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 13．（23-24七年级下·河南周口·期中）2024年春节档电影《热辣滚烫》激励和鼓舞了不少人，甚至带动了一波拳击和健身热潮．小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)请将上述表格补充完整； (3)根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的． 14．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 15．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格： 距离地面高度/千米 温度/℃ (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着逐渐变大，的变化趋势是什么？ (3)你知道距离地面千米的高空温度是多少摄氏度吗？ (4)你能预测出距离地面千米的高空温度是多少摄氏度吗？ 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 用表格表示变量之间的关系 课程标准 学习目标 ①变量、自变量、应变量 ②用表格表示变量之间的关系 1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.（重点） 2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点） 知识点01 常量与变量 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量． 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量． 根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量的概念，解题的关键是明确在一个变化过程中，数值不发生变化的量是常量，数值发生变化的量是变量． 根据长方形面积公式得出x与y的关系，再依据常量与变量的定义判断各量的属性． 【详解】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 知识点02 自变量与因变量 如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量． 区别自变量和因变量有以下三种方法： (1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因 变量是后发生变化的量； (2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变 量是一个被动变化的量； (3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果． 【即学即练2】 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 冰层厚度 冰层所能承受的压力 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】根据函数的关系，确定自变量和因变量即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】根据题意，得冰层厚度是自变量；其所能承受的压力是因变量， 故答案为：冰层厚度，所能承受的压力． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况，如下图所示． 图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 【答案】图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量． 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．从函数图象即可得到图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量． 【详解】解：图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量． 知识点03 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 【即学即练3】 5．（23-24七年级下·江西吉安·期中）下表记录的是某橘农去年橘子的销售额（元）随橘子销量（千克）变化的有关数据，请根据表中数据回答下列问题： 销量（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售额（元） 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当销量是5千克时，销售额是多少？ (3)估计当销量是50千克时，销售额是多少？ 【答案】(1)表格反映了橘子的销量与销售额之间的关系，橘子的销量是自变量，销售额是因变量 (2)当销量是5千克时，销售额是10元 (3)当销量是50千克时，销售额是100元 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查自变量与因变量的关系，理解表示信息，确定销量与销售额的关系是解题的关键． （1）根据销量与销售额的变化情况分析即可； （2）由表格信息即可求解； （3）根据表格信息得到销量与销售额的关系即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，销量在增加，销售额随之增大， ∴表格反映了橘子的销量与销售额之间的关系，橘子的销量是自变量，销售额是因变量； （2）解：根据表格信息可得，当销量是5千克时，销售额是10元； （3）解：根据题意，销售额是销量的2倍， ∴当销量是50千克时，销售额是100元． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则，解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 题型01 常量与变量 例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴其中的常量是单价． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于圆的面积S与半径r的关系式，下列说法正确的是（   ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．S是常量 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：A、2是常量，故选项错误，不符合题意； B、是常量，故选项错误，不符合题意； C、是变量，故选项正确，符合题意； D、S是变量，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是的圆的周长中，、是变量，2、是常量， 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（ ） A．，， B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，， 故选：C． 题型02 自变量与因变量 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）圆的周长C与半径r之间的关系式是，其中自变量是（   ） A．C B．2 C． D．r 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查常量和变量，变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：中，变量是r和C，且r是自变量，C是因变量， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量． 【详解】这个公式中的自变量是v． 故选：B． 2．在一定高度，一个物体自由下落的距离与下落时间之间的变化关系式是（为重力加速度，），在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量． 【答案】 时间 距离 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据变量之间的关系进行作答即可． 【详解】解：由题意知，在这个变化过程中，时间是自变量，距离是因变量， 故答案为：时间，距离． 【点睛】本题考查了变量．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是 ，因变量是 【答案】 烧水时间 水的温度 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 【详解】解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化， ∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度， 故答案为：烧水时间，水的温度． 题型03 用表格表示的变量间关系 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【答案】(1)时间，水位，时间，水位 (2) (3)， 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键． （1）根据表格即可直接得出答案； （2）根据表格即可直接得出答案； （3）根据表格找出水位上升最快的时段即可． 【详解】（1）解：由表可知： 上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位， 故答案为：时间，水位，时间，水位； （2）解：由表可以看出： 时，水位是， 故答案为：； （3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，至水位上升最快， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 【答案】(1)50，38 (2)变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量 (3) 【知识点】用表格表示变量间的关系、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，变量与常量，读懂图表信息是解题的关键． （1）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，由此填空； （2）根据常变量的定义可得出结论； （3）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，即可得到用S的代数式来表示． 【详解】（1）解：当，， ∴轿车油箱的容量为， 行驶的油耗为， ∴行驶，油箱剩余的油为， 故答案为：50，38； （2）解：在这个问题中，变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量； （3）解：∵该轿车油箱的容量为，油耗为行驶的油耗为， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】(1)反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系 (2)当提出概念所用时间为时，学生的接受能力最强 (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中时，y的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据即可求解． 【详解】（1）解：反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系． （2）解：当时，y的值最大是59.9， 答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （3）解：由表中数据可知：当时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当蚊香的燃烧时间为时，蚊香长度为多少？ 【答案】(1)在这个变化过程中，蚊香燃烧的时间是自变量，蚊香长度是因变量 (2)当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的定义，有理数混合运算的应用，根据表格得出，蚊香每燃烧是解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）由题意可知，蚊香每燃烧，即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，蚊香燃烧的时间是自变量，蚊香长度是因变量． （2）解：， 答：当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（  ） A．金额、单价是变量，数量是常量 B．数量、单价是变量，金额是常量 C．金额、数量是变量，单价是常量 D．金额、数量、单价都是变量 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着数量的变化而变化，因此金额和数量是变量． 【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量， ∴金额、数量是变量，单价是常量． 故选：C． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了常量和变量的定义，根据常量和变量的定义进行判断． 【详解】解：木条绕点A自由转动至过程中，的长度始终不变， 故的长度是常量； 而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量． 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（    ） … … A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用列表法表示变量之间的关系，以及在实际问题中自变量，因变量的识别，观察表格，寻找变量之间的关系是解题关键． 根据表格以及弹簧长度与所挂物体之间的线性关系逐项判断即可． 【详解】解：A. 与都是变量，且是自变量，是因变量，正确，故该选项不符合题意； B.当时，，即弹簧不挂物体的长度为，故该选项符合题意； C. 在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大，正确，故该选项不符合题意； D. 在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，正确，故该选项不符合题意； 故选：B ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（   ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，从表格中获取信息，逐一进行分析即可． 【详解】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴说法正确，不符合题意； B．∵根据表中数据，可得温度越低，声速越慢，∴说法正确，不符合题意； C．∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，∴说法正确，不符合题意； D．∵， ∴当空气温度为时，声音可以传播，∴说法错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【答案】重量和金额 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，掌握变量的定义是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：∵单价保持不变，金额随着重量的变化而变化， ∴这三个量中的变量是重量和金额． 故答案为：重量和金额． 7．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，由表中数据观察得出每分钟放水是解题的关键． 由表中数据可知，每分钟放水，而蓄水池有水，据此列式计算即可． 【详解】解：由表中数据可知：每分钟放水， 而蓄水池有水， 放水分钟后，水池中的水放完， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ． 【答案】 （答案不唯一） 随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示函数关系，解题的关键是观察所得数据之间的关系，发现规律． 【详解】根据表格数据，估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为，理由：随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少． 故答案为：1.33s（答案不唯一）；随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少 9．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 【答案】/500摄氏度 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表： 温度 100 150 200 250 300 350 400 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 【答案】450 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：450． 【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的瓶数（个）之间的关系如表所示： 每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 … 需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 … (1)这批牛奶共有多少升？ (2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？ 【答案】(1)200升 (2)需要的瓶数是随着每瓶容量的增大而减少的 【知识点】有理数乘法的实际应用、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，用表格表示变量之间的关系，通过观察数据，确认每瓶容量与所需瓶数之间的反比关系是解题的关键； （1）根据需要的瓶数与每瓶容量的乘积一定，即可得出答案； （2）根据（1）可知需要的瓶数随着每瓶容量的增加而减小． 【详解】（1）根据表格中数据可知，每瓶容量与需要的瓶数的积是一定的， 这批牛奶共有：（升）． （2）根据表格可得到，当每瓶的容量增大时，所需要的瓶数在减少． 12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 【答案】(1)自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． (2)150 (3)200件 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：估计降价前的日销量是（件）， 故答案为：150； （3）该商品的日销量为（件）． 13．（23-24七年级下·河南周口·期中）2024年春节档电影《热辣滚烫》激励和鼓舞了不少人，甚至带动了一波拳击和健身热潮．小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)请将上述表格补充完整； (3)根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的． 【答案】(1)跑步的时间，跑步的路程 (2)见解析 (3)小伟每跑步，路程增加． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用列表法表示变量间的关系． （1）随着跑步时间增加，路程逐渐增加，故在这个变化过程中，自变量是跑步的时间，因变量是跑步的路程； （2）根据题意每跑步，跑步的路程增加，据此可填表； （3）根据题意，即可作答． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是跑步的时间，因变量是跑步的路程； 故答案为：跑步的时间，跑步的路程； （2）解：根据题意每跑步，跑步的路程增加， 补充表格如图， 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 （3）解：由表格知，小伟每跑步，跑步的路程增加． 14．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 【答案】(1)反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； (2)见解析 (3)每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】此题考查的是变量与常量的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据表格即可得出结论； （2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论． 【详解】（1）解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； （2）解：由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元， 表格补充如下： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 3000 4000 5000 6000 … （3）解：（元） （人次）． 答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 15．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格： 距离地面高度/千米 温度/℃ (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着逐渐变大，的变化趋势是什么？ (3)你知道距离地面千米的高空温度是多少摄氏度吗？ (4)你能预测出距离地面千米的高空温度是多少摄氏度吗？ 【答案】(1)高度和温度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量 (2)随着的增加，在减小 (3)℃ (4)℃ 【知识点】有理数减法的实际应用、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查变量之间关系的应用，熟练掌握变量的概念是解题关键； （1）根据自变量、因变量的定义解答即可； （2）根据表中数据解答即可； （3）根据表中数据解答即可； （4）根据表中数据得出高度每增加千米，温度下降6℃，即可得答案． 【详解】（1）解：上表反映了距离地面高度和温度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量． （2）解：由表可知：随着的增加，在减小． （3）解：由表可知：距离地面千米的高空温度是℃． （4）解：从表格中可以看出，高度每增加千米，温度下降6℃， ∴距离地面6千米的高空的温度是（℃）． 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【答案】(1)312 (2)减小，； (3) (4)阴影部分面积不可以达到， 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，函数关系； （1）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式列式即可； （4）根据题意求得阴影部分的最小值，比较大小，即可求解． 【详解】（1）∵剪去的四个等腰直角三角形全等， ∴剪去的四个等腰直角三角形的面积相等， 根据题意：可知阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 即：三角形的直角边长为2时，； 故答案为：312； （2）三角形的直角边长为4.5时，由表格可得； 三角形的直角边长为7时，； 即： ∴阴影部分的面积减小 故答案为：减小，； （3）阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 据此列式可得：， 即所求关系为：． （4）阴影部分面积不可以达到，理由如下， ∵阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， ∵ 当时，阴影部分面积最小， ∴阴影部分面积不可以达到 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$