6.2 用表格表示变量之间的关系（教学课件，含交互动画）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦“用表格表示变量之间的关系”，通过小车下滑实验、反应时间小实验导入，结合知识回顾中变量与常量的概念，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解表格法的核心应用。 其亮点在于融入真实数据案例（如GDP变化、反应时间表格），培养数据意识与推理能力，通过“找变量—析趋势—做预测”流程规范数学语言表达。学生能提升数据分析与预测能力，教师可获得结构化教学资源以优化课堂效率。

null6.2 用表格表示变量之间的关系 第六章 变量之间的关系 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解表格法是表示变量之间关系的重要方法； 能准确识别表格中的自变量、因变量，理解表格中数据的对应关系； 能从表格数据中分析变量变化趋势，进行简单计算和合理预测；能用规范语言描述表格中因变量随自变量的变化规律. 经历“观察表格—提取信息—分析规律—预测结果”的探究过程，积累数据分析经验；通过对真实数据表格的解读，提升信息获取、归纳概括和逻辑表达能力；体会表格表示变量关系的优势，初步形成“用数学工具表达现实关系”的思维方式. 感受数学与生活、数据与现实的密切联系，体会数学表达的简洁性与实用性；在数据分析、合作交流中获得探究成就感，增强数学学习信心；养成仔细读表、规范表达、有据推理的良好学习习惯. 知识回顾 （1）什么是变量？什么是常量？ 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量，是“动态”的存在。 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量，是“静态”的基准。 （2）什么是自变量？什么是因变量？ 自变量： 在变化过程中，主动发生变化的量。 因变量： 随着自变量的变化而发生变化的量。 “领导者” “追随者” 掌握着变化的主动权，决定着其他量的走向 始终跟随自变量的脚步 知识回顾 知识回顾 小丽准备用100元购买铅笔，在这个问题中，常量与变量格式什么？指出自变量与因变量 📌自变量：购买数量 (主动选) 📌因变量：单价(随数量变) 📌常量：购买铅笔的金额100元 📌变量：购买铅笔的数量和单价 📌自变量：购买铅笔单价 (主动选) 📌因变量：购买铅笔的数量 (随单价变) 购买铅笔的单价随购买的数量变化而变化 购买铅笔的数量随购买的单价变化而变化 练一练 导入新课 小车在不同支撑物高度下，下滑时间不同；支撑高度改变，下滑时间随之改变。 （1）这个过程中有哪些变量？ （3）哪个量随之变化？ （2）哪个量主动变化？ （4）怎样整理这些数据，能更清楚地看出它们的关系？ 因变量 (随之变)：小车下滑的时间，是随着高度变化而发生变化的量。 当我们把实验中得到的一系列数据，像这样有条理地按行和列排列起来，就形成了一个“表格”。它能帮我们把杂乱的信息变得井然有序，一眼就能看清数据之间的联系。 支撑物高度 (cm) 10 20 30 40 50 小车下滑时间 (s) 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 自变量 (主动变)：木板的高度，是我们人为控制、主动改变的量。 新知探究 探究点1 探究表格，初识表格法 议一议 你知道自己的反应时间是多少吗? 如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上. 测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住， 手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离. 小实验 实验描述 实验步骤 新知探究 议一议 你知道自己的反应时间是多少吗? 探究点1 探究表格，初识表格法 议一议 新知探究 探究点1 探究表格，初识表格法 你知道自己的反应时间是多少吗?不同的反应距离对应不同的反应时间 下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间: 反应距离/cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 反应时间/s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175 (1) 当反应距离为10 cm 时，反应时间是多少? 解：(1) 当反应距离为10 cm 时， 反应时间是0.143s。 (2) 反应距离越大的人，其反应时间有什么特点? (2) 反应距离越大的人，其反应时间越长。 数据表格能够直观、清晰地展示自变量与因变量之间的一一对应关系，帮助我们快速定位和读取所需的实验数据 新知探究 探究点1 探究表格，初识表格法 议一议 (3)反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗? 反应距离/cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 反应时间/s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175 0.010 0.009 0.008 0.008 0.007 0.007 0.006 0.007 0.006 0.006 反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况并不相同: 虽然反应时间一直在增加，但是一开始要比后面增加得快一些 从 5cm 到 15cm，数值在逐渐增大，呈现出稳步上升的趋势。 根据表格中的数据可以发现 从 0.101s 到 0.175s，对应的数值也在逐渐增大，和距离的变化保持一致。 新知探究 探究点1 探究表格，初识表格法 议一议 (4) 小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5 cm，18 cm，你能估计他们的反应时间吗?你是怎样估计的? 当反应距离为9.5cm时，可以根据(3)中的发现进行估计，反应时间可以是0.136s到0.143s之间的某个值，约为0.140s; 上面的反应时间表中没有小明和同桌实验测得的反应距离，因此无法直接查到相应的反应时间，但是可以根据表中的已有数据进行估计。 和同桌做做这个游戏吧 反应距离/cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 反应时间/s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175 方法小结 利用表格记录数据，能非常直观地体现出因变量随自变量的变化趋势，帮助我们快速发现规律。 观察•思考 探究点2 观察思考，认识表格法 议一议 2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元)： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120 如果用 x 表示年份，y 表示我国国内生产总值，那么随着x 的变化，y 的变化趋势是什么? 解：(1) 随着 x 的变化，y 的越来越高。 +8 +9 +7 +2 +14 +5 (2) 2016-2022 年我国国内生产总值是怎样变化的? (2) 2016-2022 年我国国内生产总值越来越高，增长的幅度不同。 新知探究 探究点2 观察思考，认识表格法 议一议 2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元)： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120 (3) 根据表格，预测 2030 年我国国内生产总值。 可以预测2022年之后我国国内生产总值每年增加约6万亿元， 2030年将达到168万亿元左右。 数据表格不仅能展示已知信息，还能帮助我们发现其中的变化规律，并据此对未知情况进行科学、合理的预测。 新知探究 探究点2 观察思考，认识表格法 议一议 用表格呈现自变量与因变量的对应关系，直观表示变量之间的关系. 表格法 ① 通过表格确定自变量和因变量； ② 纵向观察每一列，发现自变量和因变量的对应关系； ③ 分别横向观察两栏，从中发现两个变量间的变化趋势。求因变量的值，若不在所列数值之中，则根据两变量之间的变化趋势进行估计。 表格可以清晰、有序地呈现两个变量的对应数值； 2. 表格通常把自变量放在第一行（或第一列），因变量放在对应行（列）； 3. 表格能直观体现：因变量随自变量的变化而变化. 分析表格 典例分析 例1.某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系： 每公顷氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 每公顷土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（    ） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．氮肥施用量越大，土豆产量越高 C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 解：A、上表反映了每公顷氮肥施用量与每公顷土豆产量之间的关系。 氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意； B、氮肥施用量大于336千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意； C、当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆产量32.29吨~34.03吨， 原说法正确，故选项不符合题意； D、当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加， 原说法正确，故选项不符合题意． B 典例分析 例2．变量x，y的一些对应值如表： ... 0 1 2 3 ... 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知： ， ∴当时，， 每公顷氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 每公顷土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 新知巩固 1.某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系?其中，哪个是自变量?哪个是因变量? 每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量是因变量。 (1) 上表反映了每公顷氮肥施用量与每公顷土豆产量之间的关系。 解： 课本Ｐ150页 随 堂 练 习 每公顷氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 每公顷土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 新知巩固 1.某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系： 课本Ｐ150页 随 堂 练 习 （2）当氮肥的施用量是 101 kg/hm2时，土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢? 解：当氮肥的施用量是 101 kg/hm2时，土豆的产量是32.29t。 如果不施氮肥，土豆的产量是15.18t。 每公顷氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 每公顷土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 新知巩固 1.某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系： 课本Ｐ150页 随 堂 练 习 （3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜?说说你的理由。 解：氮肥的施用量是336kg时比较适宜。 理由：根据已有数据，此时是土豆产量最大的情况。 每公顷氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 每公顷土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 新知巩固 1.某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系： 课本Ｐ150页 随 堂 练 习 （4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。 解： 当每公顷氮肥施用量为34~336kg时，每公顷土豆的产量逐渐增加; 当每公顷氮肥施用量为336~471kg时，每公顷土豆的产量逐渐减少. 土豆的产量随氮肥施用量的增加而增加，到一定程度后又降低。 拓展提升 1.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ （1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 真题感知 1．（2025.济南统考期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 解：由表格可知，时间每增加，水位的高度增加， ∴当h为时，对应的时间t为， 20 真题感知 2．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：   n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　　 万元． 真题感知 2．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：   n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　　 分配2台设备 （填“A”“B”“C”或“D”）； 解：（1）当n＝2时， A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元）， B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元）， C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元）， D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元）， ∵25＞24＞20， ∴应向经销商B分配2台设备， B 真题感知 2．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：   n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　　 万元． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元）， 当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元）， 当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元． 157 知 识 总 结 （1） 核心方法： 表格法可以直观、清晰地表示两个变量之间的对应关系. （2） 表格结构： 通常一行/列表示自变量，对应行/列表示因变量. （3） 核心关系： 表格呈现因变量随自变量的变化而变化. （4）基本功能：读取对应值、分析变化趋势、进行简单预测. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）解读表格四步标准流程： 第一步：找变量——确定自变量、因变量； 第二步：找对应——同一组位置，匹配自变量和因变量数值； 第三步：析趋势——顺着自变量变化方向，判断因变量“上升、下降、平稳、匀速变化”； 第四步：做预测——依据数据变化规律，合情推理，不盲目猜测. （2）规范表述句式：随着______（自变量）逐渐增大，（因变量）逐渐. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）找错自变量、因变量， 牢记“主动变化→自变量，被动随之变化→因变量”. （2）把单个数值当成整体规律， 要纵向看连续变化，不能只看一个数据. （3）对应关系混淆，必须取同一列/同一组数据匹配，不能跨行乱对应. （4）预测无依据，禁止凭空猜测，必须依托表格已有变化趋势说明理由. （5）表述不完整，不能只说“变大/变小”，要完整说出“谁随谁怎样变化”. 课后练习 教材P150页. 1.我国私人轿车保有量，2012年为5 308万辆，2013年为6 410万辆，2014年为7 590万辆，2015年为8 793万辆，2016年为10 152万辆，2017年为 11 416万辆，2018年为12 589万辆，2019年为13 701万辆，2020年为14 674万辆，2021年为15 732万辆，2022年为16 685万辆。用表格表示上述般据，并说一说我国私人轿车保有量是怎样随时间推移而变化的。 解：用表格表示题目中的数据为: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 私人轿车保有量/万辆 5308 6410 7590 8793 10152 11416 年份 2018 2019 2020 2021 2022 私人轿车保有量/万辆 12589 13701 14674 15732 16685 随时间推移，我国私人轿车保有量越来越多。 课后练习 2.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别约为出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约为1周岁时的2倍、3倍。 (1)上述的哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么? (3) 根据(2)中表格的数据，说一说这名儿童从出生到 10 周岁体重是怎样随年龄增长而变化的。 解：(1) 年龄和体重都在发生变化，自变量是年龄，因变量是体重。 (3) 儿童从出生到10 周岁之间，随着年龄的增长，儿童的体重在增加。 教材P151页. 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5 (2)某婴儿在出生时的体重是3.5 kg，按照上述规律，请把他在发育过程中的体重情况填入下表: 课后练习 3.某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动。他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小。此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： (1) 观察表中的数据，你发现了什么? (2) 如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少? 解：(1) 老花镜的度数越大，镜片与光斑的距离就越小，并且度数与距离之积大约为100。 (2)这副老花镜的度数大约为143 度。 （140 度到 150 度都可） 教材P151页. 课后练习 4.下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据： (1) 上表反映了哪两个变量之间的关系?其中，哪个是自变量?哪个是因变量? (2) 在海拔 0 m 的地方空气含氧量是多少? 在海拔 4000 m 的地方空气含氧量是多少? (3) 估计在海拔 5500 m 的地方空气含氧量是多少？ 解：(1) 上表反映了海拔与空气含氧量之间的关系。 其中，海拔是自变量，空气含氧量是因变量。 (2) 在海拔 0 m 的地方空气含氧量是 299.30 g/m3，在海拔 4000 m 的地方空气含氧量是 182.08 g/m3。 (3) 估计在海拔 5500 m 的地方空气含氧量 是150 g/m3左右。 教材P151页. 谢谢聆听 斜面小车下滑实验（落地静止+计时+数据存档） 斜面右端高度(px 60~280)： 释放小车 本次下滑用时：0.00 s 清空全部记录 实验序号 斜面高度(px) 下滑时间(s) $