精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

成都石室阳安学校高2023级（高二）下学期半期考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前5项依次为，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：C 2. 下列求导运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的导数以及导数的四则运算、复合函数的求导即可判断. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 3. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 3或 D. 6或 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】解：设数列的公比为q， 则， 所以，， 所以． 故选：B． 4. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式求解. 【详解】依题意，取出1个红球有4种方法，取出1个白球有5种方法， 所以取出2个球中只有一个红球的取法种数是. 故选：A 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】∵，∴， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 故选：B. 6. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解. 【详解】因为， 又函数在处的导数为，所以， 故选：A. 7. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数判断其单调性，由已知可得，， ，；，，进而利用单调性可得答案. 【详解】令， ， 时，，则在上递减， 时，，则在上递增， 由可得， 化为 ∴，则， 同理，；，， 因为，所以， 可得， 因为在上递减，， ∴， 故选：C． 【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内分别令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】若的公差为，利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合单调性依次判断各项正误. 【详解】若的公差为，则： A：由题设，故，则，错； B：，对； C：由，即，而，即，对； D：由题设，又是递增数列，则， 所以，即对，，而的符号无法确定，错. 故选：BC 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有2个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图象，利用导数与函数的关系逐一分析判断即可. 【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确； 又或时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误； 当时，，则单调递增， 所以，在处不能取得最大值，故D错误． 故选：AB． 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图像有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，在上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 在上，即，单调递增， 所以是的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知构成各项为正的等比数列，且则 ________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比中项，得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为构成各项为正的等比数列，所以，又， 所以，解得或（舍去）， 故答案为：. 13. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 【答案】720 【解析】 【分析】分两步求解，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，第二部对个不同的公益广告进行排列，得结果 【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有种， 第二部对个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种， 故总的不同安排方式有种， 故答案为720. 【点睛】本题考查捆绑法解排列组合问题，是基础题. 14. 已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围 【详解】不妨设. 因为，所以，所以在上单调递增，即. 又因为在上也单调递增，所以. 所以不等式即为， 即， 设，即， 则，因此在上单调递减. 于是在上恒成立，即在上恒成立. 令，则， 即在上单调递增，因此在上的最小值为，  所以， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键. 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意， 经检验符合题意，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接. ∵且，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴，， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用平行四边形和矩形的性质可得，根据线线平行可得线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴， ∵四边形是矩形，∴， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴，，. 设平面一个法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面夹角的正弦值为. 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）设求的前n项和. 【答案】（1） 因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系化简可得，从而可得结论； （2）由（1）可知，，则，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求的前n项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 所以. 所以，① ，② 由①－②，得， 所以. 故的前项和为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数零点的个数； （3）当时，证明：当时，. 【答案】（1） （2）当时，函数无零点； 当或时，函数有且仅有一个零点； 当时，函数有两个零点. （3）当时，， 令， 则，令，则， 因为，所以，， 则当时，恒成立， 所以在上单调递减， 即在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，可得，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果； （3）根据题意，求导可得，令，求导可得在上单调递减，从而可得在上单调递减，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以切线方程为. 【小问2详解】 因为函数， 令，可得， 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，， 且时，， 所以当时，函数与函数无交点； 当时，函数与函数有且仅有一个交点； 当时，函数与函数有两个交点； 当时，函数与函数有且仅有一个交点； 综上所述，当时，函数无零点； 当或时，函数有且仅有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答问题的关键在于将零点问题转化为函数交点问题，将不等式问题转化为最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校高2023级（高二）下学期半期考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（   ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 3或 D. 6或 4. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有2个极值点 D. 在处取得最大值 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知构成各项为正的等比数列，且则 ________. 13. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 14. 已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 16. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）设求的前n项和. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数零点的个数； （3）当时，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $