精品解析：2025年湖南省岳阳市湘一南湖学校中考一模数学试题

湘一南湖学校2025年九年级一模考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 9条 2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ） A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 C 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 函数的最大值是5 C. 顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大 4. 在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 5. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B. 明天早上会下雨 C. 经过任意三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和为 7. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ） A B. C. D. 9. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论： 结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是； 结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则． 下列判断正确的是（ ） A Ⅰ和Ⅱ都正确 B. Ⅰ和Ⅱ都错误 C. Ⅰ错误Ⅱ正确 D. Ⅰ正确Ⅱ错误 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 12. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 13. 如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为______． 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 15. 如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长________（结果保留π）． 16. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则截面圆的半径为__________． 17. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 18. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可． （1）_______km． （2）=_______． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： 20. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 21. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k值； （2）求扇形的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 22. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 23. 定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）______，______． （2）求的长； （3）该充电站有20个停车位，求的长． 25. 如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． （1）如图2，当点，重合时，若，，则______． （2）如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． （3）如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2025年九年级一模考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 9条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称定义画出正六边形的对称轴即可． 【详解】解：如图，正六边形的对称轴有6条． 故答案为：C． 2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ） A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提． 得出各个选项中几何体的俯视图即可判断． 【详解】解：A．俯视图是圆形，因此选项A不符合题意； B．俯视图不是四边形，因此选项B不符合题意； C．俯视图不是四边形，因此选项C不符合题意； D．俯视图是正方形，因此选项D符合题意； 故选：D． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 函数的最大值是5 C. 顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小,据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对于抛物线的，开口向下，选项说法正确，符合题意； B、对于抛物线，开口向下，在时，函数的最大值是3，选项说法不正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法不正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在外， 故选：C． 5. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责步骤开始出现的， 故选：B 6. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B. 明天早上会下雨 C. 经过任意三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和为 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，逐个进行判断即可．本题主要考查了必然事件的定义，旋转的性质，圆的相关内容，三角形的内角和，解题的关键是掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 【详解】解：A、“一个图形旋转后所得图形与原图形全等”是必然事件，符合题意； B、明天早上会下雨是随机事件，不符合题意； C、“经过任意三点画一个圆”是随机事件，不符合题意； D、“任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得． 【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 8. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 10. 如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论： 结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是； 结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则． 下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都正确 B. Ⅰ和Ⅱ都错误 C. Ⅰ错误Ⅱ正确 D. Ⅰ正确Ⅱ错误 【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系得到故结论Ⅰ正确，根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质可得到结论Ⅱ正确． 【详解】解：①∵当点与点重合时， 线段与圆只有一个公共点，此时； ②当线段所在的直线与圆相切时，如图所示， 线段与圆只有一个公共点， ∵，，， ∴， ∴， ∴当线段与只有一个公共点时，的范围是； 故结论Ⅰ正确； 连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， 故结论Ⅱ正确； 故选． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角所对的圆周角是直角，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 二、填空题（共8小题，每小题3分） 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，函数图象位于第二、四象限，当时，函数图象位于第一、三象限；据此即可求解． 【详解】解：∵函数图象位于第二、四象限， ∴； 故答案为：． 12. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：240． 13. 如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴木杆折断之前高度为：， 故答案为：． 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】2026 【解析】 【分析】把代入得，再代入进行计算，即可作答．本题考查了一元二次方程的根的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长________（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由作图求出的度数，由弧长公式即可计算． 【详解】解：由作图知：平分， ∵， ∴， ∵扇形的半径是1， ∴的长π． 故答案为：π． 16. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则截面圆的半径为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论． 【详解】解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：5． 17. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 18. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可． （1）_______km． （2）=_______． 【答案】 ①. 1.8 ②. 【解析】 【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案； （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，共线,得到∠MBQ＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km， ∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）； 故答案为：1.8 （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， ∵点共线, ∴∠MBQ＝∠ABT， 由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6, AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8， ∴tan∠ABT＝， ∴tan∠MBQ ＝＝， ∴k＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了锐角三角函数、对顶角相等知识，数形结合是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，先利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质与化简代入计算，再加减是解题关键． 【详解】解： ． 20. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 21. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． （1）求k的值； （2）求扇形的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2）半径为2，圆心角为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：， ， ， 如下图：由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 22. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 【答案】（1），， （2）4000人 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键． （1）先算出总人数，再运用总人数乘上，得出的值，再求出的值，然后计算D的占比，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人）， ∴（人）， ∴（人）， ∴D所在扇形圆心角的度数为：， 【小问2详解】 解：依题意，（人） 答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人． 小问3详解】 解：根据题意，画出树状图如下图： 根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果， 其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：． 23. 定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①证明：∵ ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， ∴， 解得：， ∴方程的衍生点M为； 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）______，______． （2）求的长； （3）该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，故，，即可作答． （2）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （3）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵矩形是其中一个停车位． ∴， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 25. 如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． （1）如图2，当点，重合时，若，，则______． （2）如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． （3）如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）①见详解；② （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）①连接，由圆周角定理得，，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②取上一点，使得，连接，，．证明为等边三角形，作于点．在求出和，进而可求出，然后可求半径； （3）先判断在运动过程中形状不变，当为直径时，最大，然后求出的长即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：① 如图1，连接． ∵，， ∴， 又， ∴； ②如图2，取上一点，使得，连接，，． ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 作于点． ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵为定值， ∴是定值， ∴是定值， ∵， ∴在运动过程中形状不变，当为直径时，最大． ∴， ∴， ∴， 即最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点M的坐标是 （2）①1；②存在，或 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴， ∴， ∴顶点M的坐标是． 【小问2详解】 ①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1， ∴． ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内）， 如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）． ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $