精品解析：2025年广东省汕头市潮南区司马浦公校九年级中考一模数学试题

2025年广东省初中学业水平考试 数学模拟试卷 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 10元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据正负数的定义，可得：收入记作“+”，则支出记作“－”，据此求解即可． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元． 故选：C． 2. 下图是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从左面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，即看到的图形如下； 故选：C． 3. 据报道，2024年建发厦门马拉松赛于1月7日7时30分鸣枪开跑，本次赛事参赛人数近136000人，创赛事历史新高．将数据136000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据科学记数法的表示形式进行即可． 【详解】解：将136000用科学记数法表示为， 故选B． 4. 下列各图中，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，两直线平行同位角、内错角相等．熟练掌握对顶角相等，邻补角互补，两直线平行同位角、内错角相等是解题的关键． 根据对顶角相等，邻补角互补，两直线平行同位角、内错角相等对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，故符合要求； B中，故不符合要求； C中，故不符合要求； D中，故不符合要求； 故选：A． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 已知，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用比例的性质进行计算或变形对各选项逐一判断即可．解题的关键是掌握比例的基本性质：如果或，那么，反之也成立；由还可以推出如下比例式：、、． 【详解】解：A、∵， ∴，原式成立，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，原式不成立，故此选项符合题意； C、∵， ∴，原式成立，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，原式成立，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 山西省中考体育考试将足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考项目4（学生自选一项），若考生任选一项参加考试，则甲考生选择篮球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查概率公式求概率，注意概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同， 则考生选择考篮球的概率为， 故选：C． 8. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据“每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 依题意得：． 故选：B． 9. 如图，是的外接圆，为直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解；∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，，证出四边形是矩形，，，得出、都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 于，于， 四边形是矩形，，， 点是线段的中点， 、都是的中位线， ，， 矩形的面积； 又∵菱形ABCD的面积为=， ∴ ∴矩形的面积=． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的减法，根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 一元二次方程的根为________． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以左边两个式子中至少有一个为0，直接解答即可． 【详解】解：， 或， ，． 故答案为：， 13. 函数的图象与y轴的交点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令，解得即为函数与y轴交点坐标． 【详解】解：令，即， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含的直角三角形的性质等知识点，掌握所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再根据所对的直角边是斜边的一半可得，最后根据线段的和差成为解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 又∵直角中，， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握正方形的判定和性质、全等三角形是判定和性质是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形是正方形，则，得到点在直线上，当时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵以为斜边构造等腰直角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点在直线上， 当时，取得最小值， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式先算乘方和化简绝对值，再计算除法，最后算减法即可； （2）方程组运用代入法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：③， 把③代入①得： ∴方程组的解为． 17. 为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下： 九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）； 九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46． 九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（1） 82 51.8 九（2） 82 84 85 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由． 【答案】（1）83；85； （2）在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好； 或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．（回答一条理由即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，平均数，中位数，从图表中获取信息是解题的关键． （1）根据中位数，众数，以及方差的定义进行求解即可； （2）根据在平均数、众数相同的情况下，中位数更高，情况更好得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 前名同学的成绩的方差， ． 【小问2详解】 解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好； 或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）． （1）求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ （3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？ 【答案】（1） （2）这种台灯的售价应定为50元 （3）商场不能实现平均每月15000元的销售利润 【解析】 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程在销售问题中的应用，解题关键是根据售价与销售量的关系建立函数及利润方程求解． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出并化简即可解答． （2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价30，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价． （3）依“利润（售价进价） 销售量润”列方程，整理方程为，计算判别式，判定方程无解，得出不能实现的结论． 【小问1详解】 解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个） ∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得 ． 【小问2详解】 解：依题意，得： ， 整理，得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这种台灯的售价应定为50元 【小问3详解】 解：依题意，得： ， 整理，得：． ∵， ∴方程无解． ∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分． （1）用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，． （2）求证：四边形是菱形； 【答案】（1） 由题意，作图如下： ． （2） 证明：由折叠的性质得：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键． （1）利用尺规作图作的线段垂直平分线，与，，分别交于点，并连接，即可得； （2）先根据折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 21. 综合与实践 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示． （1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？ （2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法； （3）问长方形的长应为多少？ 【答案】（1） （2）作的平分线，与的交点就是1的位置， （3）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质，钟面角： （1）根据钟面角12个数字平分一个周角进行求解即可； （2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置； （3）解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵周角的度数为360度， ∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是； 【小问2详解】 解：作的平分线，与的交点就是1的位置； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴长方形的长为厘米． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． （1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； （2）如图2，当落在对角线上时，求的长； （3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 【答案】（1） （2） （3）点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案； （2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长； （3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接， 由折叠得：，垂直平分. ∵在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴. 【小问2详解】 依题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3. 理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图， 中，， 由折叠得：，，， 设，则，， 根据勾股定理得，， 则 解得 ∴线段长度最小时的长为3. 【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 23. 综合运用 如图1，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，，点P在线段上，点Q在线段上，四边形为正方形（与A在的异侧），正方形与重叠部分的面积为S． （1）求直线的函数关系式； （2）当正方形的边恰好落在上时，求边长的长度； （3）设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）． 【答案】（1） （2）当正方形的边恰好落在上时，的边长为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质． （1）先求出交点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数关系式； （2）由点A的坐标为，可得的高．因为，所以，则即，可求边长的长度． （3）求面积S关于m的函数关系式及取值范围，需要分不同情况讨论正方形与三角形重叠部分的形状∶①当落在恰好落在OB时， ，；②当落在三角形外部时，，即，；③当MN落在三角形内时，，． 【小问1详解】 解：当时，， ∴交点A的坐标为． 设直线的表达式为： 直线过点、点， ∴，解得， ∴直线的表达式为： 【小问2详解】 解∶∵点A的坐标为， ∴的高， ∵，四边形为正方形（与A在的异侧）， ，． ， ∴即 解得． 答：当正方形的边恰好落在上时，的边长为； 【小问3详解】 分三种情况： 当落在恰好落在OB时， 如图 点P在直线上，点P的横坐标为m， 得，解得，即． ∴，； ②当落在三角形外部时，如图， ． ∵，四边形为正方形（与A在的异侧）， ，． ∴， 点P在直线上，点P纵坐标为，代入直线， ． 即． ∴ ③当MN落在三角形内时，如图， 同理可得， ， 综合上述情况，S关于m的函数关系式是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中学业水平考试 数学模拟试卷 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 10元 2. 下图是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从左面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，2024年建发厦门马拉松赛于1月7日7时30分鸣枪开跑，本次赛事参赛人数近136000人，创赛事历史新高．将数据136000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列各图中，的是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. 9 D. 6 6. 已知，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 山西省中考体育考试将足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考项目4（学生自选一项），若考生任选一项参加考试，则甲考生选择篮球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，为直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 一元二次方程的根为________． 13. 函数的图象与y轴的交点坐标是__________． 14. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则_____． 15. 如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是_________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下： 九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）； 九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46． 九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（1） 82 51.8 九（2） 82 84 85 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）． （1）求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ （3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分． （1）用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，． （2）求证：四边形是菱形； 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 21. 综合与实践 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示． （1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？ （2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法； （3）问长方形的长应为多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． （1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； （2）如图2，当落在对角线上时，求的长； （3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 23. 综合运用 如图1，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，，点P在线段上，点Q在线段上，四边形为正方形（与A在的异侧），正方形与重叠部分的面积为S． （1）求直线的函数关系式； （2）当正方形的边恰好落在上时，求边长的长度； （3）设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $