专题03 实系数一元二次方程、复数的三角形式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题03 实系数一元二次方程、复数的三角形式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 实数的平方根 题型二 复数的平方根与立方根 题型三 利用实系数一元二次方程求参数 题型四 复数的三角表示 题型五 复数乘、除运算的三角表示 题型六 三角表示下复数的几何意义 题型七 三角表示下复数的乘方与开方 题型八 复数三角形式的乘方(棣莫弗定理) 题型九 复数的三角形式化为代数形式 题型十 有关复数实系数一元二次方程的综合运用 题型十一 复数三角形式在实际问题中的应用 知识点01 复数的三角形式 ①复数的三角表达式: 一般的，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． ②复数的三角形式定义： 任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． ③复数的代数式与三角式互化： （1）将复数化为三角形式时，要注意以下两点： ①， ②，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，． （2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 知识点02 复数的辐角 ①辐角的定义： 设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． ②辐角的主值： 根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 知识点03 复数乘法的三角表示 ①复数乘法运算的三角表示： 已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②复数乘法运算的几何意义： 两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义． ③复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时，． 【经典例题一 实数的平方根】 【例1】（23-24高一下·上海长宁·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，，，则的值为 ． 3．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【经典例题二 复数的平方根与立方根】 【例2】（2024·上海普陀·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 3．（23-24高一下·上海崇明·期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 【经典例题三 利用实系数一元二次方程求参数】 【例3】（23-24高一下·上海宝山·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 3．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知复数 (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 【经典例题四 复数的三角表示】 【例4】（23-24高一下·上海静安·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海青浦·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 3．（23-24高一下·上海金山·期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 【经典例题五 复数乘、除运算的三角表示】 【例5】（2024·上海崇明·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·全国·课后作业）设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习），则 . 3．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题六 三角表示下复数的几何意义】 【例6】（2024·上海奉贤·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海·模拟预测）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为 3．（23-24高一·全国·随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    【经典例题七 三角表示下复数的乘方与开方】 【例7】（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 2．（23-24高一·全国·课后作业）的立方根为 ，的三次方根为 ，的四次方根为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题8 复数三角形式的乘方(棣莫弗定理)】 【例8】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 1．（2024·上海杨浦·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·上海嘉定·一模）任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则 . 3．（23-24高一下·上海松江·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【经典例题九 复数的三角形式化为代数形式】 【例9】（2024高一下·上海虹口·模拟预测）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2).. 1．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课前预习）将复数z＝化为代数形式为 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【经典例题十 有关复数实系数一元二次方程的综合运用】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 2．（24-25高一下·上海·课前预习）实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式（a、b、且）在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.若方程的两个解分别为、，则 . 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【经典例题十一 复数三角形式在实际问题中的应用】 【例11】（23-24高一下·上海闵行·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 1．（23-24高一下·上海松江·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. (1)设复数，，求､的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 1．（23-24高一下·上海金山·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 5．（2024·上海长宁·模拟预测）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·全国·单元测试）在复数范围内分解因式： ． 7．（2025高一·全国·专题练习）若复数z满足，则z的共轭复数的代数形式是＝ ． 8．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ． 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 10．（2024高一·全国·专题练习）已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，联结，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 （用反余弦表示）． 11．（2024高一·全国·专题练习）已知是实系数一元二次方程的两个根，求的值． 12．（23-24高一下·上海·课后作业）若、为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求p、q的值． 13．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知复数． (1)若，求的值； (2)在复平面内对应的点能否位于直线上？若能，求；若不能，说明理由． 14．（23-24高一下·上海奉贤·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 15．（23-24高一下·上海静安·期末）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题： （1）将复数写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式； （2）求（θ∈R）的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实系数一元二次方程、复数的三角形式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 实数的平方根 题型二 复数的平方根与立方根 题型三 利用实系数一元二次方程求参数 题型四 复数的三角表示 题型五 复数乘、除运算的三角表示 题型六 三角表示下复数的几何意义 题型七 三角表示下复数的乘方与开方 题型八 复数三角形式的乘方(棣莫弗定理) 题型九 复数的三角形式化为代数形式 题型十 有关复数实系数一元二次方程的综合运用 题型十一 复数三角形式在实际问题中的应用 知识点01 复数的三角形式 ①复数的三角表达式: 一般的，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． ②复数的三角形式定义： 任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． ③复数的代数式与三角式互化： （1）将复数化为三角形式时，要注意以下两点： ①， ②，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，． （2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 知识点02 复数的辐角 ①辐角的定义： 设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． ②辐角的主值： 根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 知识点03 复数乘法的三角表示 ①复数乘法运算的三角表示： 已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②复数乘法运算的几何意义： 两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义． ③复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时，． 【经典例题一 实数的平方根】 【例1】（23-24高一下·上海长宁·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 1．（23-24高一下·上海·单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误. 【详解】①由，则是的一个平方根，正确； ②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误； ③如果，当时，当时不一定，错误； 故正确命题为1个. 故选：B 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先证明，由条件，根据模的性质可得，，，令，可得，解方程可得结论. 【详解】设，则， 所以， 由题意，，， ， 所以，令，则，即， 所以，即． 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值． （2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值． 【详解】解： （1）∵为方程的根，所以， 整理得到：，由可得. （2）由方程可得， 若即或，则， 则，即，解得， 若即，则，即，解得， 综上所述，实数的值为或． 【经典例题二 复数的平方根与立方根】 【例2】（2024·上海普陀·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【答案】C 【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求. 【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以， 则， 故选：C. 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 2．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而解得，进而得出，化简式子即可求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以，显然，， 又， 所以原式 ． 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海崇明·期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由题意得，化简后利用一元二次方程的求根公式求解即可； （2）①设，代入结合可求得其最小值；②由题意设，代入化简，再由，可得为实数，从而可得，进而可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意得，整理得， ； （2）①当时，，设， 因为，所以， ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为； ②设，则 因为存在实数，使得成立， 所以为实数，所以， 因为，所以， 当时，，符合题意， 此时，则， 所以的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，第（2）问解题的关键是设代入，利用复数的乘除法运算法则化简，考查计算能力，属于较难题. 【经典例题三 利用实系数一元二次方程求参数】 【例3】（23-24高一下·上海宝山·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【详解】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 【答案】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知复数 (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得. （2）利用根与系数关系求得，进而求得. 【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得. （2）已知是关于的方程的一个根， 则也是方程的根， 所以， 所以. 【经典例题四 复数的三角表示】 【例4】（23-24高一下·上海静安·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 2．（23-24高一下·上海青浦·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 3．（23-24高一下·上海金山·期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 【答案】(1)复数的3次单位根为，复数的3次本原单位根为 (2)①证明见解析，②证明见解析 【分析】（1）根据次的本原单位根的定义，可直接得到答案； （2）①由题意可得，从而推出，继而分组求和，即可证明结论；②由题意得，则可推出，继而得，结合，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的解为， 则复数的3次单位根为， 由于因为，的一次方以及2次方均不等于1， 故复数的3次本原单位根为. （2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以. 因为，所以， 所以， 则. ②因为是复数的次本原单位根，所以， 设，则. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以，即， 则，即. 【经典例题五 复数乘、除运算的三角表示】 【例5】（2024·上海崇明·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案. 【详解】 ， 故选：A. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用复数三角形式的运算化简，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 易知的图像是的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到， 显然选项A中的图像满足要求. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习），则 . 【答案】400 【分析】将分子、分母化为复数的三角形式，根据复数乘除的几何含义，求的三角形式，即可求. 【详解】， 若，则， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式． 【经典例题六 三角表示下复数的几何意义】 【例6】（2024·上海奉贤·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 1．（2024·上海·模拟预测）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案. 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故； 又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于， 所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为， 如图可得，可得， 所以，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为 【答案】 【分析】将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值. 【详解】因为， 将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为， 则， 因为，所以，，所以，， 所以，，当时，取得最小值. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表示出对应的复数，并将复数改写成三角表示的形式并进行乘法运算即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    令，可得点， 所以对应的复数分别为， 所以分别为的辐角，且； 可得 ； 所以可得 【经典例题七 三角表示下复数的乘方与开方】 【例7】（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案. 【详解】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D 【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为， 所以对应辐角为， 故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴. 所以A、B、C错误，D正确. 故选：D 2．（23-24高一·全国·课后作业）的立方根为 ，的三次方根为 ，的四次方根为 ． 【答案】 ， ， ， 【分析】设（），根据复数三角表示下乘方的运算，列出方程组，求出r，，在根据三角函数的周期性即可求解. 【详解】解：①设（）是的立方根，则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的立方根为， 则， ， ， 综上所述，的立方根为，； ②设（）是的三次方根，则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的三次方根为， 则， ， ， 综上所述，的三次方根为，； ③设（）是的四次方根，则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的四次方根为， 则， ， ， 综上所述，的四次方根为，； 故答案为：①，；②，；③， 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 【经典例题8 复数三角形式的乘方(棣莫弗定理)】 【例8】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 1．（2024·上海杨浦·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 2．（2024·上海嘉定·一模）任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则 . 【答案】1 【分析】将化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简，即可得结果. 【详解】由， 所以， 而， 所以. 故答案为：1 3．（23-24高一下·上海松江·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)， (2)506个 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【详解】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506个． 【经典例题九 复数的三角形式化为代数形式】 【例9】（2024高一下·上海虹口·模拟预测）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 1．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课前预习）将复数z＝化为代数形式为 ． 【答案】1－i 【分析】计算出三角函数值后化简即可. 【详解】z＝． 故答案为：1－i 3．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 【经典例题十 有关复数实系数一元二次方程的综合运用】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【分析】对于A,C,D项，可以通过举反例排除，对于B项，则需要分情况求解验证. 【详解】对于A，可能为实根，如方程就有1和2两个实数根，故A错误； 对于B，当时，自然韦达定理成立；当时，解得，则有，，故B正确； 对于C．有可能成立，如方程的根的判别式为负数，故C错误； 对于D．若方程为，解得， 则而，两者不相等，故D错误. 故选：B． 2．（24-25高一下·上海·课前预习）实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式（a、b、且）在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.若方程的两个解分别为、，则 . 【答案】 【分析】由题意总可以分解成两个一次因式的乘积，在复数范围内的两个解分别为、，根据解即可求解. 【详解】在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积， 方程的两个解分别为、， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案； （2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案. 【详解】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想. 【经典例题十一 复数三角形式在实际问题中的应用】 【例11】（23-24高一下·上海闵行·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【详解】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 1．（23-24高一下·上海松江·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【答案】（1）；（2），，，，，；（3）． 【分析】（1）根据复数三角形式定义直接求解； （2）根据复数定义直接求解； （3）作出图形，根据为等边三角形，将点对应的复数表示为，利用复数旋转可得出点所对应的复数为，利用两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值和余弦值，即可得出点所对应的复数． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. (1)设复数，，求､的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可； （2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可； （3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可. 【详解】（1） , ； （2）设，的模为，的模为，， 对于有，， 对于有，， 所以， 所以， ， 因为，所以无意义， 故,即的角的终边在轴上， 又，所以，即 （3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线， 过作的平行线，交于点，则， 所以， 即， 即 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得， 所以，， 同理，， ，， 所以，，，. 【点睛】 方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1．（23-24高一下·上海金山·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积 【详解】解：方程的根为， 即，， 所以， 所以，， ， 所以， 所以， 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A 5．（2024·上海长宁·模拟预测）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 6．（23-24高一·全国·单元测试）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】配方后，再根据，利用平方差公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 7．（2025高一·全国·专题练习）若复数z满足，则z的共轭复数的代数形式是＝ ． 【答案】/ 【分析】由复数的三角形式结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】设，则，， 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为： 8．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ． 【答案】0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， 则，即， ， . 故答案为：0 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解. 【详解】由，得，即， 因， 所以. 故答案为：. 10．（2024高一·全国·专题练习）已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，联结，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 （用反余弦表示）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出所对复数，进而求出点的坐标，即可推理计算作答. 【详解】依题意，点，则向量所对复数为， 因此向量所对复数为， 于是得点，而点在虚轴上，则， 又，则点在以点为圆心，5为半径的圆上，此圆与y轴交于两点， 因此当取最小正角时，点在虚轴的负半轴上，， 从而得，显然点在直线的上方，即， 所以. 故答案为： 11．（2024高一·全国·专题练习）已知是实系数一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】或 【分析】分判别式两种情况讨论，当时，由根与系数关系知实数同号，由绝对值的性质求解，当时，方程的根为一对共轭虚数，由共轭复数模的性质求解即可. 【详解】由实系数一元二次方程知， ， （1）当时，即或时，，∴； （2）当时，即时，． 综上，的值为或. 12．（23-24高一下·上海·课后作业）若、为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求p、q的值． 【答案】． 【分析】由题意得、为共轭复数设，则，根据，可求得a，b的值，结合根与系数的关系，可求得p，q，即可得答案. 【详解】由题意得、为共轭复数，， 设，则， 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以或， 由根与系数的关系可得，解得 13．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知复数． (1)若，求的值； (2)在复平面内对应的点能否位于直线上？若能，求；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能； 【分析】（1）根据，求出，求出; （2）在复平面内对应的点为，若该点位于直线上，求出，求 【详解】（1）因为，所以，解得（舍去）或， 此时，故. （2）在复平面内对应的点为，若该点位于直线上，则， 解得， 故能在直线上，此时. 14．（23-24高一下·上海奉贤·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 15．（23-24高一下·上海静安·期末）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题： （1）将复数写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式； （2）求（θ∈R）的最大值. 【答案】（1）；（2）2. 【分析】（1）利用欧拉公式将化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可； （2）由欧拉公式及复数模的求法，可得，进而可求其最大值. 【详解】（1）； （2）＝， ∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，（θ∈R）的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$