2.4.2 简单幂函数的图象和性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质 1 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（数学抽象） 2.结合五个幂函数的图象，掌握它们的性质.（直观想象） 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.（数学运算） 学习目标 2 1.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性. [答案] 定义域：.值域： .单调性：增函数.奇偶性：奇函数. 2.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性. [答案] 定义域：.值域：.单调性：在上单调递减，在 上单调递增.奇偶性：偶函数. 自主预习 3 3.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性. [答案] 定义域：.值域：.单调性：在 上单 调递减，在 上单调递减.奇偶性：奇函数. 4.幂函数的形式如何？ [答案] 形如 为常数 的函数． 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 幂函数的图象必过点和点 .( ) × （2） 幂函数的图象都不过第二、四象限.( ) × （3） 当幂指数 取1，3，时，幂函数 是增函数.( ) √ （4） 若幂函数 的图象关于原点对称，则 在定义域内随 的增大而增 大.( ) × 自主预习 5 2.在下列四个图形中， 的图象大致是( ) . C A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为 ，是增函数.故选C. 自主预习 6 3.设，则使函数 的定义域为且为奇函数的所有 的值为( ) . A A.1，3 B.，1 C.，3 D. ，1，3 [解析] 当时，，定义域不是 ； 当或 时，满足题意. 故选A． 自主预习 7 4.已知幂函数 的图象过点，则 ___． 2 [解析] 将点代入函数 ，得 ，解得，所以 ， 所以 ． 自主预习 8 探究1 幂函数的概念 问题1： 和 是不是幂函数？ [答案] 不是，它们的形式均不符合幂函数的定义要求． 问题2: 幂函数的解析式有什么特征？ [答案] （1）指数为常数.（2）底数是自变量，且自变量的系数为1.（3）幂 的系数 为1.（4）只有1项． 合作探究 9 一般地，形如________的函数称为幂函数．其中___是自变量，___是常数． 特别提醒：幂函数的特征. （1）底数为自变量，指数为常数； （2） 的系数为1，且只有一项． 合作探究 10 例1（1） 在函数，， 中，幂函数的个数为( ) . B A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 根据幂函数的定义可知，只有 是幂函数，故选B. （2） 若是幂函数，则 _______. 5或 [解析] 因为是幂函数，所以，即，解得 或 . 合作探究 11 方法总结 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 为常数 的形式，即函数 的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量； （3）系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决 某些问题的隐含条件． 合作探究 12 巩固训练1 （多选题）下列函数是幂函数的是( ) . AD A. B. C. D. [解析] 幂函数是形如 为常数的函数，A是的情形，D是 的情 形，所以A和D都是幂函数；B中 的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数. 合作探究 13 巩固训练2 已知是幂函数，且在上单调递增,求 的值. [解析] 由题意得 ， 解得或 . 又在上单调递增，所以 . 合作探究 14 探究2 幂函数的图象 问题1: 在同一平面直角坐标系中，试画出幂函数，，， ， 的图象． 合作探究 15 [答案] 合作探究 16 问题2: 在第一象限，图象有何特点？ [答案] 都过点；只有随的增大而减小，但不与轴相交，其他的都随 的增大而增大． 问题3: 这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ [答案] ，，是奇函数；是偶函数； 是非奇非偶函数． 合作探究 17 1.幂函数 的图象过定点______. 2.幂函数 的图象不可能出现在第____象限. 四 合作探究 18 例2 已知点与分别在幂函数，的图象上，问当 为何值时，有 （1）；（2）；（3） ? 将已知点的坐标代入幂函数解析式，求出解析式，再解不等式或方程. 合作探究 19 [解析] 设 ， . ，，， ， ， .分别作出它们的图象，如图所示. 由图象知， （1）当时， ； （2）当时， ； （3）当时， . 合作探究 20 方法总结 解决有关幂函数图象的问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论：在 上，指数越大，幂函数 图象越靠近轴（简记为“指大图低”）；在上，指数越大，幂函数图象越远离 轴（简记为“指大图高”）. （2）依据图象确定幂指数 与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的 图象（类似于或或 ）来判断. 合作探究 21 巩固训练 已知幂函数 的图象过点，，试求出 的解析式，作出 的图象，写出其定义域及单调区间． 合作探究 [解析] 因为 的图象过点，，所以，即，解得 ，即 ，的图象如图所示，定义域为 ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 合作探究 23 探究3 幂函数的性质 问题1: 幂函数 在上的单调性与 有什么关系？ [答案] 当时，幂函数 在上单调递增；当时，幂函数 在 上单调递减． 问题2: 和 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ [答案] 和可以看作幂函数 的两个函数值，因为函数 在上单调递减，所以 . 合作探究 24 五个幂函数的性质 定义域 __________ 值域 ________ _______ __________ 合作探究 25 奇偶性 ____ ____ ____ _______ ______ ____ 单调性 单调 递增 在 上 __________， 在 上 __________ _________ _______ ______ 在 上_______ ____，在 上 __________ 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调递增 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 续表 合作探究 26 一般幂函数的图象特征 （1）当时，幂函数的图象过______，并且在区间 上是____函数．特别地， 当时，幂函数的图象______；当 时，幂函数的图象______. 原点 增 下凸 上凸 （2）当______时，幂函数在区间 上是减函数. （3）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 对称. （4）在第一象限，作直线 ，它同各幂函数的图象相交，按交点从下到上 的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列． 小 大 合作探究 27 例3 设,,,则，， 的大小关系是( ) . B A. B. C. D. 将数化成同指数的，然后利用幂函数的性质比较. [解析] 在上单调递增，， ， .故选B. 合作探究 28 方法总结 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是 利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 合作探究 29 巩固训练1 若幂函数的图象过点，则满足不等式 的实数 的取值范围是________. [解析] 设 ，因为其图象过点，所以，解得 ，所以 .因为在上为增函数，所以由 ，得 ，解得 . 所以满足不等式的实数的取值范围是 . 合作探究 30 巩固训练2 比较下列各组数的大小： （1）与 ； （2）与 . [解析] （1）在上单调递增,且 ， . （2）在上单调递减，又 ， . 合作探究 31 1.已知幂函数，，， 在第一象限的 图象如图所示，则( ) . B A. B. C. D. [解析] 由图象可知，当时，，则 ． 随堂检测 32 2.若，， ，则它们的大小关系是( ) . D A. B. C. D. [解析] 当时， 在 上单调递增， ， . 随堂检测 33 3.若幂函数在上单调递减,则实数 的值是___． 3 [解析] 由题意得 解得故 ． 随堂检测 34 4.若，求实数 的取值范围. [解析] 因为在定义域 上单调递增， 所以解得 . 故实数的取值范围为， . 随堂检测 35 $$