2.4.1函数的奇偶性课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 1 1.了解函数奇偶性的定义.（数学抽象） 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.（逻辑推理） 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.（直观想象） 学习目标 2 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题： 1.根据图象写出这两个函数的最值． [答案] 最小值都为0，都无最大值． 自主预习 3 2.这两个函数的图象有何共同特征？ [答案] 都关于 轴对称. 3.对于上述两个函数，与，与，与 有什么关系？由此 可得到什么一般性的结论？ [答案] ，，.一般地，若函数 的图 象关于轴对称，当自变量 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等,即 ，满足这种性质的函数叫作偶函数. 4.怎样定义偶函数？ [答案] 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数 就叫作偶函数. 自主预习 4 5.类比偶函数，考查函数和 的类似性质，你能给出奇函数的定义吗？ [答案] 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有 ，那 么函数 就叫作奇函数. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 是定义在上的函数，若，则 一定是偶函数.( ) × （2） 对于函数，若存在，使，则函数 一定是奇函 数.( ) × （3） 不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( ) × （4） 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.( ) × 自主预习 6 2.下列函数是偶函数的是( ) . B A. B. C. D. [解析] 选项A,C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是 奇函数，也不是偶函数． 自主预习 7 3.下列图象表示的函数中,具有奇偶性的是( ) . B A. B. C. D. [解析] 中的图象不关于原点、 轴对称，故A排除；C,D中的图象所示的函数的定义 域不关于原点对称，不具有奇偶性，故C，D排除；B中的图象关于 轴对称，故其表 示的函数是偶函数.故选B． 自主预习 8 4.若是定义在上的奇函数，，则____， ___． 0 [解析] 因为是定义在上的奇函数，所以， . 自主预习 9 探究1 函数奇偶性的判断 寿字纹是古代中国传统纹饰之一，是文字纹的一种，多施用于瓷器与布帛之上， 以允装饰． 合作探究 10 问题1: 该寿字纹图有何特点？ [答案] 既轴对称又中心对称． 问题2: 若该特点运用到函数中，函数的图象关于 轴对称，则该函数是什么函数？ [答案] 偶函数． 问题3: 若该特点运用到函数中，函数的图象关于原点中心对称，则该函数是什么函数？ [答案] 奇函数． 合作探究 11 一般地，设函数的定义域为，如果对任意的，有 ，且 ______________，那么称函数 为偶函数． 一般地，设函数的定义域为，如果对任意的，有 ，且 _______________，那么称函数 为奇函数． 特别提醒：由定义可知，具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． 合作探究 12 例1 判断下列函数的奇偶性. （1）；（2） ； （3）；（4） . 合作探究 13 [解析] （1）的定义域为 . ， 是奇函数. （2）的定义域为 . ， 是偶函数. （3）的定义域为 . 定义域不关于原点对称， 既不是奇函数，也不是偶函数. （4）的定义域为， . ， 既是奇函数，又是偶函数. 合作探究 14 方法总结 判断函数奇偶性的方法 合作探究 15 巩固训练 判断下列函数的奇偶性. （1） ； （2） ； （3） 合作探究 16 [解析] （1）函数的定义域为，不关于原点对称，所以 是非奇 非偶函数. （2）的定义域为 ，关于原点对称. ，所以 为奇函数. （3）的定义域为 ，关于原点对称. 当时，，则 ； 当时，，则 . 所以 是偶函数. 合作探究 17 探究2 奇、偶函数的图象问题 观察下图，回答下列问题． 合作探究 18 问题1: 一个函数的图象关于 轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点 对称呢？ [答案] 若一个函数的图象关于 轴对称，则这个函数是偶函数；若图象关于原点对称， 则这个函数是奇函数． 问题2: 从函数图象看，奇、偶函数在对称区间上的单调性是否一致？ [答案] 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间内 单调性相反． 合作探究 19 合作探究 20 例2 已知奇函数的定义域为，且在区间 上的图象如图所示． （1）画出在区间 上的图象； （2）写出使的 的取值集合． 利用奇、偶函数的对称性画出函数的图象，结合图象解决问题. 合作探究 21 [解析] （1）因为函数是奇函数，所以在 上的图象关于原点对称． 由在上的图象，可知它在 上的图象，如图所示． （2）由图象知，使的的取值集合为或 ． 合作探究 22 方法总结 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 轴对称. （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶 函数图象的问题. 合作探究 23 巩固训练 定义在上的奇函数在 上的图象如图所示. 合作探究 24 （1）画出 的图象； （2）解不等式 . [解析] （1）先描出， 关于原点的对称点 ，，连线可得 的图象如图. （2） 即图象上的横坐标、纵坐标同号.结合 图象可知，的解集是 . 合作探究 25 探究3 利用函数的奇偶性求值或求参数 问题1: 若函数是奇函数，且点是 图象上一点，则点 是否在函数图象上？ [答案] 在．因为为奇函数，所以，故点 在函数 的图象上． 问题2: 对于定义域内的任意，若，则函数 是否具有奇偶性？ 若 呢？ [答案] 由得，所以 为奇函数． 由得，所以 为偶函数． 合作探究 26 1.奇（偶）函数的定义域关于______对称． 2.函数奇偶性的概念 （1）偶函数的实质是函数图象上任一点关于 轴的对称点__________也 在 的图象上． （2）奇函数的实质是函数图象上任一点 关于原点的对称点____________ 也在 的图象上． 3.若函数是奇函数,且在处有定义，则必有 ，即函数图象必过原点. 原点 合作探究 27 例3 （1） 已知函数是定义在 上的奇函数，则 的值为( ) . B A. B. C.1 D.无法确定 （2） 已知，若，则 ___. 7 合作探究 28 [解析] （1）由题意可知，解得 . 又是奇函数， ， 对任意都成立，则 ， . （2）令，则 是奇函数， . 又， . 又， . 合作探究 29 （1） （2） 方法总结 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 （1）定义域含参数：奇、偶函数的定义域为 ，根据定义域关于原点对 称，利用 求参数. （2）解析式含参数：根据或 列式，比较系数即可求解. 合作探究 30 巩固训练1 若函数为偶函数，则实数 ___. 0 [解析] （法一）显然 ， 由已知得 . 又为偶函数，所以，即 ，即 . 又，所以 . （法二）由题意知，则，解得 . 当时,,所以,此时 是 偶函数，所以 . 合作探究 31 巩固训练2 已知函数是奇函数，当时，.若 ， 则 的值为__. [解析] 由题意可知，， . 合作探究 32 1.函数 ( ) . B A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 [解析] ， 为偶函数． 随堂检测 33 2.如图，给出奇函数的部分图象，则 的值为( ) . A A. B.2 C.1 D.0 [解析] 由题图知，，又 为奇函数， 所以 随堂检测 34 3.已知函数是奇函数，则实数 ___. 0 [解析] 是奇函数，，对任意 恒成立， . 随堂检测 35 4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时， .现已画出 函数在 轴左侧的图象，如图所示． （1）请补充完整函数 的图象． （2）根据图象写出函数 的单调递增区间． （3）根据图象写出使的 的取值集合. 随堂检测 36 [解析] （1）依题意补充函数图象，如图所示. （2）据图可知，函数的单调递增区间为， ． （3）据图可知，使的的取值集合为或 ． 随堂检测 37 $$