2.3.2 函数的最大（小）值课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 3 函数的单调性和最值 3.2 函数的最大(小)值 1 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象) 2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(数学运算) 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学建模) 学习目标 2 科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉 吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察, 某天气温随时间的变化曲线如图所示. 1.你能写出该曲线的单调区间吗? [答案] 能,单调递增区间为;单调递减区间为, . 2.该天的最高气温和最低气温分别是多少? [答案] , . 自主预习 3 3.设该天某时刻的气温为,则 在哪个范围内变化? [答案] . 4.从函数图象上看,气温的最大值、最小值在什么时刻取得? [答案] , . 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1) 若对任意,都有,则是函数 的最大值.( ) (2) 若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.( ) √ (3) 若函数的值域是确定的,则它一定有最值.( ) (4) 若函数在区间上单调递减,则函数在区间 上的最大值为 .( ) √ 自主预习 5 2.已知函数 的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ) . C A.,0 B.0,2 C.,2 D. ,2 [解析] 由题图可得,函数在处取得最小值,最小值为,在 处取得 最大值,最大值为2.故选C. 自主预习 6 3.函数在区间 上的最大值、最小值分别是( ) . B A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对 [解析] 因为,且,所以当 时, ;当时, .故选B. 自主预习 7 4.已知函数,,则 的最大值为_,最小值为_. 1 [解析] 在区间上单调递减,,即 . 自主预习 8 探究1 利用图象求函数的最值(值域) 观察函数图象: 合作探究 9 问题1: 函数 的定义域是什么? [答案] . 问题2: 函数 图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么? [答案] , . 问题3: 函数 的值域是什么? [答案] . 合作探究 10 一般地,设函数的定义域为 . 如果存在实数满足:(1)对于任意,都有;(2)存在 , 使得.那么,称是函数 的最大值. 如果存在实数满足:(1)对于任意,都有;(2)存在 , 使得.那么,称是函数 的最小值. 合作探究 11 例1 已知函数 (1)在平面直角坐标系内画出 的图象. (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域. 先作出函数的图象,再利用图象求函数的单调区间和值域. 合作探究 12 [解析] (1) 的图象如图所示. (2)由图可知,的单调递增区间为,,单调递减区间为 ,值域 为 . 合作探究 13 方法总结 利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数 的图象; (2)观察图象,找出图象的最高点和最低点; (3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最 小值. 合作探究 14 巩固训练 已知函数求 的最大值、最小值. [解析] 作出函数 的图象,如图所示. 由图象可知,当时,取得最大值,最大值为;当时, 取得最小值,最小值为 . 故 的最大值为1,最小值为0. 合作探究 15 探究2 利用函数的单调性求最值(值域) 问题1: 函数, 分别在什么时候取得最大值或最小值? [答案] 当时,取得最小值.因为函数在 上是减函数,所以 当时,.又因为函数在上是增函数,所以当 时,.从而对任意,都有.因此当时, 是函数 值中的最小值.同理,在 时取得最大值. 合作探究 16 问题2: 已知函数在定义域 上单调,如何求函数的最值? [答案] 若函数在定义域上单调递增,则 , ;若函数在定义域上单调递减,则 , . [答案] 函数的最值从图象上看为函数图象上最高点的纵坐标或最低点的纵坐标. 问题3:函数最值的几何意义是什么? 合作探究 17 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性; (2)利用单调性求出最大(小)值. 合作探究 18 例2 已知函数 . (1)讨论函数在 上的单调性; (2)求函数在 上的最大值和最小值. (1)用单调性的定义判断函数的单调性;(2)由单调性即可求得函数在闭 区间上的最值. 合作探究 19 [解析] (1)设,,且 , 则 . 因为,所以,,即 , 又 , 所以,即 , 所以函数在 上单调递减. 合作探究 20 (2)由(1)知,在 上单调递减, 所以当时,取得最大值,最大值为;当时, 取得最小值,最小值 为 . 合作探究 21 方法总结 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2) 利用单调性求出最大(小)值. 巩固训练 英国著名物理学家牛顿曾研究过函数 的图象,其形恰如希腊 神话中海神波塞冬的武器——三叉戟,因此 的图象又称为牛顿三叉戟曲线.求 在 上的最值. 合作探究 22 [解析] 取,,且 , 则 . 当时,,,所以 , 即,所以在 上为减函数. 当时,,,所以 , 即,所以在 上为增函数. 合作探究 23 所以在上有最小值,且 . 综上,在 上的最小值为3,无最大值. 合作探究 探究3 函数最值的实际应用 例3 如图,某房地产开发公司要在矩形地上规划出一块矩形地 建造住宅区, 为了保护文物,住宅区不能超越文物保护区的界限 .由实地测量知, ,,, ,当设计的矩形住宅区的长 _时,矩形住宅区的面积最大,最大面积是_. 合作探究 25 [解析] 设,分别交,于点, ,如图, 设,则, . ,,得 , , , 当时,取得最大值,最大值为 . 此时 . 合作探究 26 方法总结 1.解实际应用题时,要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型, 列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围. 2.在实际应用问题中,最大利润、最大面积、用料最省等问题常转化为求函数的 最值问题,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决. 合作探究 27 巩固训练 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨 价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元?最大利润为多少? [解析] 设售价为元,利润为元,则单个涨价 元,销售量减少 个,销售量为 个,所以 . 故当时, ,即售价为70元时利润最大,最大利润为9000元. 合作探究 28 1.函数在上的图象如图所示,则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ) . C A.3,0 B.3,1 C.3,无最小值 D.3, [解析] 观察图象可知,图象的最高点坐标是 ,故其最大值是3;无最低点,即该 函数不存在最小值.故选C. 随堂检测 29 2.已知函数,当时,恒有成立,则实数 的取值范围是 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为在上单调递增,所以 ,故满足 . 又因为当时,恒成立,所以,故 . 随堂检测 30 3.函数在上的最小值是,则 _. 4 [解析] 因为在上单调递减,所以在上的最小值为 , 所以 . 随堂检测 31 4.画出函数的图象,并写出函数 的单调区间及最 小值. [解析] 作出函数 的图象,如图所示. 由图象可知,的单调递增区间为和,无单调递减区间,函数 的最小值为 . 随堂检测 32 $$