精品解析：河南省实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2024——2025学年下期期中试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果. 【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量； 变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强； 用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好. 故选：C 2. 下列运算正确个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解. 【详解】①，所以该运算错误； ②，所以该运算错误； ③，所以该运算正确； ④，所以该运算错误. 所以正确的个数为1. 故选：A. 【点睛】易错点睛：，因为是一个实数，所以要代公式,不能代公式. 所以代导数公式时，要看清函数的类型. 3. 已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性可得到导函数的正负，当时，原函数斜率为零，即可得到结果. 【详解】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 【答案】C 【解析】 【分析】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【详解】因，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 5. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以 故选：A. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 8. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D． 【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确； 对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误； 对于C，由正态分布的对称性得，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合对立事件的概率及概率的基本性质逐项分析判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的解集确定即可判断A；求出极小值，然后解，结合图象即可判断B；计算即可判断C；当时，，根据单调性即可判断D. 【详解】对于A，由，解得或， 所以，故A正确； 对于B，由A选项知，，则， 当时，；当或时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值， 由图可知，的取值范围为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由B选项知在上单调递增，当时，，，故D错误．    故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到基本事件的总数为种，再分若丙去学校和丙不去学校，得到不同的安排方法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，6名教师选出3人分别到三所学校参加公益演讲活动， 共有种不同的安排方法， 因为甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校， 可分为两种情况讨论： 第一种情况：若丙去学校，则有中安排方法； 第二种情况：若丙不去学校，则学校有种选法，学校有种选法， 学校有种选法，有种不同的安排方法， 综上可得，共有种不同的安排方法， 由古典概型的概率计算，可得概率为. 故答案为：. 14. 已知函数的最小值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 【答案】（1）0.95，相关程度较高 （2），9.4亿元. ， 【解析】 【分析】（1）由公式计算出相关系数后可得； （2）求出线性回归方程，通过线性回归方程估算即得． 【小问1详解】 由表中数据可知，，， ，，， 则， 因为，故相关程度较高； 【小问2详解】 ，，则， ， 故， 令，解得，故研发投入至少9.4亿元. 16. 已知函数（）． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求导函数再应用极值点得出计算，并检验； （2）分类讨论，分，讨论导函数正负得出函数的单调性. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，且， ∵是函数的极值点， ∴，即． 当时，，由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ∴满足是函数的极值点，因此. 【小问2详解】 ， 当时，因为，所以，则，在上单调递增； 当时，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则函数的单调增区间为，单调减区间为； 综上可知：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 17. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 18. 设. （1）求的最小值； （2）对于，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值； （2）先化简设新函数，并用导数研究其单调性，在上单调递增，在上单调递减，分离参数即可求得参数的范围. 【小问1详解】 的定义域为，， 令，可得，令，可得， 故在单调递减，单调递增. 即在处取得最小值. 【小问2详解】 由题可知，对恒成立. 设， 令在单调递减， 故，故在单调递减，而， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故.则.又因为 因此的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 小问1详解】 当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 【小问3详解】 的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2024——2025学年下期期中试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 2. 下列运算正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 5. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，定义域为，若关于不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______． 14. 已知函数的最小值为0，则________． 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 16. 已知函数（）． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）讨论的单调性． 17. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 18 设. （1）求的最小值； （2）对于，有恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $