上海市金山中学2024-2025学年高三下学期3月素养测试数学试卷二

2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期 学科素养数学试卷2 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知全集U={-l,0.},A={x1≤xs1,x∈}，则A= 2.设aeR,函数y=f)是奇函数若f()=e°-3，f(-)=1,则a= 3.设m,n∈R.若向量ā=(3，l,-2)与向量b=(m,-2,m)Ψ行，则m+n=一· 4,现有一球形气球，在吹气球时，气球的休积V与直径d的关系式为r=d, 当d=2时， 6 气球体积的瞬时变化率为 5.己知x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为3， 则展开式中常数项是 x 14 6.已知向量ā、6满足1引H6=2,且a-五在a上的数量投影为2+V5,则(a,b)=一 7,某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布015，o.者P00<K≤12)-分则从参加这 次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是 8.顶点为S的圆锥的母线长为60cm,底面半径为25cm,A,B是底面圆周上的两点，O为 3 底面中心，且∠AOB=二开，则在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为一cm.(精 确到0.lcm) B 9.如果关于x的不等式，|x-ax+|x+1川的解为一切实数，那么a的取值范围是 10,双曲线号-兰=la>0,b>0)的右焦点为F(22,0),点A的坐标为0，)，点P为双曲 线左支上的动点，且△MPF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为一 1若闭=-2少+24-2)+2，已数列a,}中，首项4-0a=4+学+学++号， 23 n nN,则2fa)= I2.已知点O是△4BC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且有 16bco94=5,若C-亚=B0,则实数元的值为 cosc cos B 二、选择题（本大题共有4邀，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.抛掷一枚质地均匀的骰了一次，记事件A:“出现偶数点”，事件B:“出现3点或4点”， 则事件A与事件B的关系为() A是相互独立事件，不是互斥事件 B.是互斥事件，不是相互独立事件 C既是相互独立事件又是互斥事件 D.既不是互斥串件也不是相互独立事件 14.某社区通过公益讲座立传交通法规为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、 后各回答一份交通法规知识门卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示(“叶“是个位 数字)，则下列选项叙述错误的是() 讲座前」」讲座后 505 5006 5007 080555 090055 1000 A讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C.讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15已知复数：=0+60,6e网满足1：-计：-2斗则。产2的最大值为（) 0+2 A D.5 3 2 16设无方正数数列{a,},如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得 a.=4+a,+4++a,那么称(a}为“内和数列"，并令bn=m,称伍}为{a,}的“伴随数 列”，下列四个命题： A.若{a,}为等差数列，则{a}为内和数列： B若{an}为等比数列，则{a,}为内和数列： C若内和数列{a)为递增数列，则其件随数列{亿，}为递增数列： D若内和数列{a}的伴随数列{6}为递增数列，则(a}为递增数列. 三、解答题（木大题满分78分）本大题共有5思，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知函数f(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx, (1)求函数F(x)=f(x)g(x)+∫产(x)的最小正周期和单调逆增区间： (2)若f)=2g(的，求1+sin2x 一的值 cos2x-sinxco 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小趣8分) 如图所示，平面ACEF⊥平面ABCD,且四边形ACEF为矩形，在四边形ABCD巾， ∠ADC=120°，AB=2AD=2CD=2BC=6. (I)证明：平而BCF⊥平面ACEF: (2)若元=20死，点线BF与平面AC6F所成角的正弦值为5 ,求二面角F-BD-G的 余弦值。 G 19。(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 去年，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反 映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在 [25,85]之间，根据统计结果，作出如图所示的频*分布直方图： (1)求这200位作者年龄的平均数x和方差2（同一组数据用该区问的中点值作代表）： (2)县委宣传部从年龄在[35,45)和[65,75)的作者巾，按照分层抽样的方法，抽出6人 参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选山3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落 在区间[35,45)的人数是X,求变量X的分布列和数学期望 个频率/组距 0.035 0.020 0.015 0.010 0.005 0 25354555657585年龄 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图】所示四根等长的杆用铰 链首尾链接，构成菱形LFKQ带槽杆Q5长为4，点F,F间的距离2，转动杆QF一周的 过程中始终有OEHEFI,点M在线段FF的延长线上，且|M凡=3. F M 图1 图2 (1)以线段FF中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹 F的方程： (2)过点F的直线（与F交于A、B两点记直线MA、MB的斜率分别为k,k· (i)证明：k+k为定值： (i)若直线的斜率为k,点N是轨迹r.上异于A、B的点，且N5平分∠ANB,求B LANI 的取值范围。 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设函数y=(x)的定义域为D,对于区间I=[a,b](I≤D),当且仅当函数y=f(x)满足 以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间/是y=f(x)的一个“美好区间” 性质①：对于任意无∈1，都有f()e1:性质②：对于任意x∈1，都行f(x)正I. (1)已知fx)=-x2+2x,x∈R.分别判断区问[0,2]和区间[1,3]是否为函数y=fx)的“关 好区间”，并说明理血： (2)已知/-式--3x+2e)m>0,若区间[Q,则是函数y=/)的一个关 好区间”，求实数m的取值范围： (3)已知函数y=f(x)的定义域为R,其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a<b, 都有f(a)-f(b)>b-a.求证：函数y=f(x)存在“美好区间”，且存在x∈R,使得x不 属于函数y=x)的任意一个“美好区间”2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期 学科素养数学试卷2 2025.3 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分 1.已知全集V-f-1.0.1),A-(xl-1<x<1,xeM),则A-_ 【答案】(-1) 【解析】:A-(0,1,.A-(-1). 2.设aeR,函数y=f(x)是奇函数.若f(1)=e"-3,f(-1)=1,则a= 【答案】ln2 【解析】因为函数y=/(x)是奇函数,所以/(-x)=-/(x) 因为f(1)=e"-3,f(-1)=1,所以f(1)=e"-3--1→e"-2→a-ln2 3.设m,neR.若向量ā=(3,1,-2)与向量5=(m,-2,n)平行,则m+n=__ 【答案】-2 【解析】由已知条件得:ā//,所以mz0,nz0; m=2- 6 气球体积的瞬时变化率为 【答案】2 的瞬时变化率为2z .知#{) 【14 得n-10,则, Cio()()-)(1)C. 第1页(共16页 令40-5r=0,解得--8,故所求的常数项为(-1)*C8-45 6.已知向量ā、满足lā-2,且ā-在ā上的数量投影为2+3,则(ā,b=__. 7 【答案】 【解析】-在ā上的数量投影为2+,则(-):=^-=(2+3)ll=4+$ 3, (e[o,] 次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于125的概率足___. .1.11. 24-4 从参加这次考试的学生中任意选取3名学生, 设选中的学生的成绩高于125的人数为Y,由题意可知,Y~B(3,), ##-- 故至少有2名学生的成绩高于125的概率是: 8.顶点为S的圆锥的母线长为60cm,底面半径为25cm,A,B是底面圆周上的两点,0为 确到0.lcm) 【答案】45.9 【解析】如图,沿母线S4剪开圆锥侧面并展开成扇形SAA 点B在A4上的点B处, B 由余弦定理,得 AB}=SA+SB}-2$A:SB·cos ASB.=3600(2-2) 第2页(共16页 所以AB.-602-2(cm)~45.9(cm). 即点A到点B的最短路线长为45.9(cm) 9.如果关于x的不等式,|x-alx|+lx+l|的解为一切实数,那么a的取值范围是 【答案】-1<a<0 【解析】利用绝对值的几何意义,当一1<a<0时,满足题意; 当a=-1时,x=0就不满足题意, 同理分析,a=0,x=-1就不满足题意;a<-1,比如a=-4,x=1就不满足题意;a0 时,比如a-1,x-0就不满足题意 线左支上的动点,且A4PF周长的最小值为8,则双曲线的离心率为__. 【答案】22 【解析】设左焦点F.(-2V2.0). 因为AMPF周长为|AP|+1PF1+IAF|. 由于P在双曲线的左支上,所以|PE2a+|PE| 所以周长 |AP|+|PF+AFAP|+1PF+2a+|AF>1AF|+2a+lAF|-(22+1+2a+(22+1=6+2 当且仅当E,P,A三点共线时周长最小 所以由题意可得6+2a=8,所以a=1 所以离心率e-f-2v2. neN",则/(a)-__. 【答案】158 2+3 nn+1 _ 由②-①可得:a:=a.+ 整理得_, n+In 即是常数数列, 第3页(共16页 所以--. 又f(x)+f4-x)=(x-2)+2(x-2)+2+(4-x-2)+2(4-x-2)+2=4 所以a.+.=4,nef1,2,3.,79} 所以2Z/(a)=LV/(á)+f(a)]IU()+f(n)+/(a)+(a)-4x79-316, 2 12.已知点O是AABC外接圆圆心,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且有 cosCcosB 【解析】16becos24-16bcx1 I+cos/A 2 -8bc+8bccos4-5a?. 2 又2bccosA-c2+b2-g2. 则$bc+4b}+4c}-4a}=5a}→9a}=462+8bc+4c2-4(b+c)} 则3a=2b+2c, 设D为BC中点,则有OD1BC, .0.BC-Bo|BC[eo oBD- BC11BC-1nC,. #4C可得(4CCn0.0, cosCcosB cosCcosB .C1C]eoC CeostnN-B)_-1BC, cosC cosB 2$B.BC-aOB.(OC-OB)-a(R*cos2A-R2) -2R}(1-2sin?A-1)--2aR?sin2A, 2-#~2()tn-# sin/ 故2二-3. 第4页(共16页 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分) 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 13.抛掷一枚质地均匀的股子一次,记事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或4点”, 则事件A与事件B的关系为( ) A.是相互独立事件,不是互斥事件 B.是互斥事件,不是相互独立事件 C.既是相互独立事件又是互斥事件 D.既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【解析】根据题意,事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或4点”, 则事件A-(2,4.6),B-(3,4,所以A0B-(4) 所以P(4OB)-P(4)P(B). 所以事件A与事件B是相互独立事件,事件A、B可以同时发生,不是互斥事件 故选:A. 14.某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果,随机抽取10位居民,分别在讲座前、 后各回答一份交通法规知识问卷,满分为100分.他们得分的叶图如图所示(“叶”是个位 数字),则下列选项叙述错误的是( ) 讲座前11讲座后 2 00 # 0 0 。 0 0 A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C.讲座后答卷得分的第80百分位数为9 D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 【答案】C 【解析】A项,观察茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分,A项正确 B项,讲座前的答卷得分分布在50~90之间,讲座后得分分布在80~100之间 因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散,B项正确 第5页(共16页) C项,讲座前答卷得分按照从小到大排列依次为: $0.55:60:60,65,70,70:75:80:90:其中10*80%=8 95+100195 则第80百分位数为- 5,C项错误: D项,讲座前答卷得分的极差为90-50=40,讲座后得分的极差为100-80=20 因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差,D正确 故选:C. ~ # D.3 【答案】B 【解析】由题意可得1--41-2^,所以(-0+6-4(a-2)+, 化简得a*+b-1,表示以(0.0)为圆心,1为半径的圆 设为k,则过点(-2.0),斜率为k的直线为y=k(x+2),即x-y+2k=0, 21 ) 故选:B. 16.设无穷正数数列(a),如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数n,使得 a.=a+a.+a,+.+a.,那么称(a.)为“内和数列”,并令b.=m,称(b)为fo)的“伴随数 列”,下列四个命题: A.若(a.)为等差数列,则(a.)为内和数列 B.若(a.)为等比数列,则(a.)为内和数列; C.若内和数列(a.)为递增数列,则其伴随数列(b.)为递增数列; D.若内和数列(a.)的伴随数列(b)为递增数列,则(a.)为递增数列 【答案】C 【解析】对于A.B:例如a.=1,可知(a.)即为等差数列也为等比数列, 第6页(共16页) 则a+a=2,但不存在meN,使得a=2; 所以(a.)不为内和数列,故命题A.B错误; 对于C:因为a.>0 对任意n,n,n<n, 可知存在m,m.eN, 使得am=a,+a,+a,+.+à,a=a,+a+a,+.+à' 则a-a=a++...+a. o, 所以a.>a,且内和数列(a.)为递增数列,可知m>m, 所以其伴随数列()为递增数列,故命题C正确 对于命题D:例如2,1,3,4,5,..., 显然(a.)是所有正整数的排列,可知(a.)为内和数列,且(a.)的伴随数列为递增数列 但(a.)不是递增数列,故命题D错误 故选:C. 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 己知函数/(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx. (1)求函数F(x)=f(x)·g(x)+f*(x)的最小正周期和单调递增区间; _的值 cos2x-sinxcosx 【答案】(1)--)](e2)(2) 【解析】(1).f(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx. .F(x)=f(x)·g(x)+f2(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(cosx+sinx) =cos?x-sin*x+1+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1-2sin(2x+)+1, .函数F(x)的最小正周期r-2π-x, 2 第7页(共16页 .雨数F(n)的单词增区间为[-3-.x(6e2). (2)中题意,cosx+sinx=2(cosx-sinx). cos2x+2sin2x1+2tan}x11 cos}x-sinxcosx cos*x-sinxcosx -1-tanx 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图所示,平面ACEF1平面ABCD,且四边形ACEF为矩形,在四边形ABCD中. ADC=120*,AB=2AD=2 CD=2BC=6$ (1)证明:平面BCE1平面ACEF; 4 余弦值 E 【答案】(1)见解析:(2)27 【解析】(1)证明:AB=2AD=2DC=2BC=6, ADC=12 0*;$$$ '4D=DC=BC=3,4C-3、V3. .AC2+BC=AB},:.AC1BC, .平面ACEF1平面ABCD,平面ACEFO平面ABCD=AC, 又·BCc平面4BCD,:.BC1平面ACEF 又·BC一平面BCE,:平面BCE1平面ACEF (2)由(1)可知BC1平面ACEF 则乙CFB为直线FB与平面ACEF所成的角 $令$EC=a,则BBE=^+9,FC=^+27,FB=^+36 $$ 在Ri△CFB中,sin2CFB-CB_3- FBa+36 4 第8页(共16页 .-23,即EC-AF=23, 以点C为坐标原点,分别以CA.CB,CE为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 由FG-2GE,得C(3.0.23). 2,-2 令平面BDF的法向量为=(x,y,乙). 39 #,则)#-_ ln.BF-o' 33x-3y+232=0 令x=,则y=1,z--,则n =(3.1-3). 令平面BDG的法向量为=(x,y,2). 1.BG-o' 3x.-3y+2、32-0 令$x=3,则y=1,2.=0,则=(V3,1,0) 由己知可知二面角F-BD-G为锐二面角,令其大小为e 则cos6-co<,427 17111#247-. 第9页(共16页 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 去年,某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展,参展的200幅书画作品反 映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝,这些书画作品的作者的年龄都在 [25,85]之间,根据统计结果,作出如图所示的频率分布直方图; (1)求这200位作者年龄的平均数x和方差s*(同一组数据用该区问的中点值作代表): (2)县委宣传部从年龄在[35,45)和[65,75)的作者中,按照分层抽样的方法,抽出6人 参加县委组织的表彰大会,现要从6人中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落 在区间[35,45)的人数是×,求变量x的分布列和数学期望 频率/组距 0.035 0.020 0.015 0.010---..- 0.005 年龄 【答案】(1)60,180:(2)1 【解析】(1)这200位作者年龄的样本平均数区和样本方差s*分别为 x=30×0.05+40×0.1+50x0.15+60×0.35+70x0.2+80×0.15=60. $=(30-60)2x0.05+(40-60)x0.1+(50-60)*x0.15+(60-60)2x0.35+ (70-60)x0.2+(80-60)*x0.15=180 (2)根据分层抽样的原理,可知这6人中年龄在[35,45)内有2人,在[65,75)内有4人. 故x可能的取值为0,1,2, .CC-. ___. .CC-. P(=0)= 所以X的分布列为: 0 。 _1 n1 第10页(共16页