精品解析：2025年广东省东莞市南城区二模数学试题

2024—2025学年第二学期初三二模考试 数学试卷 本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式、积的乘方、合并同类项、单项式除以单项式，根据相关法则计算即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．与不是同类项，不能进行加法运算，，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了方位角，解答此类题的关键是认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解． 6. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ） A. 甲、乙的总环数相同 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩波动大 D. 甲、乙成绩的众数相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲射击成绩比乙稳定， ∴乙射击成绩的波动比甲较大， ∵甲、乙射靶 10 次， ∴甲、乙射中的总环数相同， 故A、B、C选项都正确， 但甲、乙射击成绩的众数不一定相同， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是设这个小组有x个人，则每个人发出去条祝福信息，根据全组共发送306条信息，列方程即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得，． 故选C． 8. 如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵为的切线， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 9. 若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 10. 如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 13. 方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入法．可以先消去，求得的值然后代入求得的值． 【详解】解：， 由①②得：， 解得③ 把③代入②解得：． 解得 故原方程组的解是：． 故答案为： 14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为____． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接，根据中位线定理可得长的最大值为， 当过圆心时，最长， 过作轴与， 设， 则即 根据勾股定理可得列出方程求出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，由对称性得： ∵是的中点， ∵的长的最大值为3，则长的最大值为： 如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点， 在直线上， 设，则即 在中，由勾股定理得： 代入数据得： 整理得： 解得：(舍去)，或 ∵在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 【答案】1． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂的计算，特殊角的三角函数及二次根式的化简等知识，掌握这些知识是解题的关键；依次计算特殊角三角函数，零次幂，化简二次根式及负整数指数幂，最后化简即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°． （1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长． 【答案】（1）如图，四边形ABCD为所求： （2）BD =． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以长为半径画弧，再以为圆心以长为半径画弧，两弧交于点，即可求解； （2）根据勾股定理，直接求解即可． 【详解】解：（1）以为圆心，以长为半径画弧，再以为圆心以长为半径画弧，两弧交于点，四边形就是所求作的矩形 （2）连接，如下图： 在中， ∵ ∴ ∵四边形是矩形, ∴ 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形性质是解题的关键． 18. 光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． （1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解； （2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，结合勾股定理得出，由，即可求得． 【小问1详解】 ）解：， ， 折射率为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，折射率为， ， ， ， ， 在中，设，，由勾股定理得，， ， ． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 【答案】（1）200，25，36 （2） 补全的条形统计图如图所示： ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用B的人数除以其人数占比即可得到答案；求出C的人数，进而求出A的人数，进一步计算即可求解； （2）根据（1）的结论补全统计图即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个小组选择A、B话题发言的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的学生共有：（人）， 选择C的学生有：（人）， ∴选择A的学生有：（人）， ， ， 故答案为：200，25，36； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个， ∴两个小组选择A、B话题发言的概率为． 20. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【答案】（1）甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； （2）学校最多可购进甲种图书200本． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据“用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等”列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据“该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； 【小问2详解】 解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多可购进甲种图书200本． 21. 某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题： （1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分． ①图2中弧的长为______，弧的长为______； ②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数． （2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长． 【答案】（1）①，；②12，； （2）正方形纸片的边长为． 【解析】 【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算； ②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式得到的长，的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出； （2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明得到，则，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得． 【小问1详解】 解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为， ，， 故答案为，； ②证明：设它所对的圆心角的度数为， 的长，的长， 所以， ， 而， 解得， 即， 因为， 解得； 【小问2详解】 解：如图4，连接，，它们相交于点， 四边形为正方形， ，， ，， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即正方形纸片的边长为． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题． 五、解答题（本题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分．） 22. 问题情景 如图，与都是等腰直角三角形，且，求证：； 问题迁移 如图，在中，，，平分，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． 求证：； 连接，若，，直接写出，的长； 问题变式 如图，在菱形中，，点是对角线（端点除外）上的动点，连接，作菱形，使，交于点，若，求的值（用含有的式子表示）． 【答案】 问题情景：证明：∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 问题迁移：证明：∵平分， ∴， 由旋转的性质知：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ，；问题变式：． 【解析】 【分析】问题情景：由与都是等腰直角三角形， ，，可用两边对应成比例且夹角相等证出一对旋转相似三角形，即； 问题迁移：由平分，则，由旋转的性质知，，由，，故有，，证明，根据相似三角形的对应角相等可得，即可证； 根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论； 问题变式：由菱形性质可知为等边三角形，则，结合 可求出，根据三角形内角和定理可证明，再用两角对应相等判定相似得到，得出，即可得解． 【详解】[问题情景]略 [问题迁移]①略 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上得：，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题变式]解：∵菱形，， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，等边三角形判定与性质，旋转性质，深刻理解题意，寻找出正确的相似三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． （1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点． ①如图1，当时，求点的横坐标； ②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值． （2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）①点的横坐标为；②； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可； ②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可． （2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的性质、正切的定义、二次函数与几何的综合、平移的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 【小问1详解】 解：①令得，解得或； 点，， 令，得， ． ，． 设点的坐标为（）， ， ，即． ，解得或（舍去） 点的横坐标为； ②设直线的表达式为． 将点、代入，得，解得， 直线的表达式为：． ，对称轴为直线． 设点的坐标为（），则点的坐标为． ，． 矩形的周长， 当时，矩形的周长有最小值． 【小问2详解】 解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为． ∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为． ①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点， 则， ． ②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点， 则当时，，解得； ③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点， 则当时，，解得． 综上，的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期初三二模考试 数学试卷 本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ） A. 甲、乙的总环数相同 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩波动大 D. 甲、乙成绩的众数相同 7. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 12. 因式分解：______． 13. 方程组的解为_____________． 14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为____． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为__________． 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°． （1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长． 18. 光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求的长． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 20. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 21. 某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题： （1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分． ①图2中弧的长为______，弧的长为______； ②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数． （2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长． 五、解答题（本题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分．） 22. 问题情景 如图，与都是等腰直角三角形，且，求证：； 问题迁移 如图，在中，，，平分，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． 求证：； 连接，若，，直接写出，的长； 问题变式 如图，在菱形中，，点是对角线（端点除外）上的动点，连接，作菱形，使，交于点，若，求的值（用含有的式子表示）． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． （1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点． ①如图1，当时，求点的横坐标； ②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值． （2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $