湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

黄石市实验中学八年级数学期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，， 4．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝76°，则下列正确的是（　　） A．∠A＝28° B．∠B＝142° C．∠C＝48° D．∠D＝152° 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 6．一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（　　）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 7．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD． 则下列推理正确的是（　　） A．②③⇒⑥ B．①②⇒⑤ C．①③⇒④ D．②⑤⇒⑥ 8．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（　　） A． B．13 C． D． 9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（　　） A．7.5 B．15 C．18 D．20 二．填空题（共5小题） 11．已知x＞0，化简 　 　 ． 12．若，则2x+y的值是 　 　 ． 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠A＝120°，如果AD＝4，BC＝6，那么AB＝ 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边长为2，OC＝OD，则点D的坐标是 　 　 ． 15．第24届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，则a+b的值是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 16．计算： （1）； （2）． 17．已知a2，b2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 18．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB＝DF． 19．如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F． （1）画出△DEF，并直接写出点E的坐标； （2）判断线段AC与DF的关系为　 　 ； （3）求△ABC的面积． 20．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 21．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）　 　 ，　 　 ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 23．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　 　 ；位置关系是　 　 ． （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明． 24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，A，C两点坐标分别为A（0，a），C（c，0）． （1）若，直接写出A，C两点坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，F为AB延长线上一点，∠OCF的平分线交y轴于点E，若，求CF的长． （3）如图2，M、N分别为AB、AO上的点，若∠AMN＝∠MCN＝45°，试探究ON2、BM2、MN2之间的数量关系并证明． 黄石市实验中学八年级数学期中考试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C C D D B B 一．选择题（共10小题） 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1 【分析】根据负数没有平方根判断即可确定出x的范围． 【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则需x+1≥0，即x≥﹣1， 则x的取值范围是x≥﹣1， 故选：C． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，弄清二次根式性质是解本题的关键． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式2，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案． 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形三边长，符合题意； B、32+42＝52，能构成直角三角形三边长，不符合题意； C、62+82＝102，能构成直角三角形三边长，不符合题意； D、，能构成直角三角形三边长，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝76°，则下列正确的是（　　） A．∠A＝28° B．∠B＝142° C．∠C＝48° D．∠D＝152° 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出∠A的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B的度数． 【解答】解：▱ABCD中，∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝76°， ∴∠A76°＝38°， ∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣38°＝142°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 【分析】由矩形的性质分析每个选 项，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，， ∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD不一定成立，AC＝BD，一定成立，AB＝AD一定不成立， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（　　）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺） A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可． 【解答】解：1丈＝10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2 解得：x＝4.55． 答：折断处离地面的高度为4.55尺． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 7．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD． 则下列推理正确的是（　　） A．②③⇒⑥ B．①②⇒⑤ C．①③⇒④ D．②⑤⇒⑥ 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【解答】解：A、由②③对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，不符合题意； B、由①得，四边形是平行四边形，再由②，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C、由①③，对角线相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、由②⑤得，对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定定理，灵活掌握这些判定定理是解本题的关键． 8．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（　　） A． B．13 C． D． 【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12， ∴斜边为13． 设h为斜边上的高． ∵S△ABC5×1213h， ∴h． 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】延长BD交AC于点E，由题意可得，D为BE的中点，从而得到DM为△BCE的中位线，即CE＝2DM＝4，从而得到AB＝AE＝5． 【解答】解：延长BD交AC于点E，如下图： ∵AD⊥BD， ∴∠ADE＝∠ADB＝90°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， 又∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD＝DE，AB＝AE， 即D为BE的中点， 又∵M是BC的中点， ∴DM为△BCE的中位线， ∴CE＝2DM＝4， ∴AB＝AE＝AC﹣CE＝5， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 10．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（　　） A．7.5 B．15 C．18 D．20 【分析】要使重叠部分的四边形面积最大，则重叠部分的边长就要最大，由题意可得重叠部分的四边形是菱形，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出边长，根据割补法即可得出面积． 【解答】解：如图，重叠部分为菱形，要使面积最大，则边长应最大， 设BF＝DF＝x， ∵BC＝9，CD＝3， ∴CF＝AE＝9﹣x， ∴在Rt△CDF中DF2＝CD2+CF2， 即x2＝32+（9﹣x）2， 解得：x＝5， ∴CF＝4， S四边形BFDE＝S四边形ABCD﹣S△ABF﹣S△DCF ＝15， ∴重叠部分的四边形面积最大为：15． 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握题中重叠部分为菱形． 二．填空题（共5小题） 11．已知x＞0，化简 　x　 ． 【分析】根据二次根式的性质化简，再去绝对值即可． 【解答】解：， ∵x＞0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．若，则2x+y的值是 　5　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到2x＝3，则易求x、y的值． 【解答】解：依题意得 2x＝3， 解得x＝1.5． 则y＝2， 所以2x+y＝2×1.5+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠A＝120°，如果AD＝4，BC＝6，那么AB＝ 　2　 ． 【分析】过点D作DE∥AB，交BC于点E，根据平行四边形的判定与性质可得EC＝2，再由平行线的性质可得∠B＝∠DEC＝60°，从而可证△DEC是等边三角形，即可求解． 【解答】解：过点D作DE∥AB，交BC于点E， ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE，AD＝BE＝4， ∴EC＝2， ∵AB＝DC， ∴AB＝DE＝DC， ∵AD∥BC，∠A＝120°， ∴∠B＝60°， 又∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DEC＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴AB＝DE＝DC＝EC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理证得△DEC是等边三角形是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边长为2，OC＝OD，则点D的坐标是 　（﹣2，0）　 ． 【分析】利用勾股定理求出OC＝OD＝2即可得解． 【解答】解：∵正方形边长为2，即OA＝AC＝2， ∴OC2， ∴OC＝OD＝2， ∴D（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．第24届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，则a+b的值是　　 ． 【分析】根据题意可知ab×4＝18﹣2，a2+b2＝182，然后将所求式子展开，将ab和a2+b2的值代入计算即可． 【解答】解：由题意可得， ab×4＝18﹣2， 解得ab＝8， ∵大正方形的面积是18， ∴a2+b2＝18， ∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ＝（a2+b2）+2ab ＝18+2×8 ＝34， ∴a+b的值是（负值舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三．解答题（共9小题） 16．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 17．已知a2，b2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【解答】解：∵a2，b2， ∴a+b22＝2， a﹣b＝（2）﹣（2）＝4， （1）a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝42 ＝16； （2）a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝24 ＝8． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键． 18．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝CB，AD∥BC，求得∠DAF＝∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AE＝CF， ∴AF＝CE， ∵E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴EB＝DF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19．如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F． （1）画出△DEF，并直接写出点E的坐标； （2）判断线段AC与DF的关系为　平行且相等　 ； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． 由图可得，点E的坐标为（0，﹣4）． （2）由平移得，线段AC与DF的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）△ABC的面积为． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，再由三角形面积求出CD的长即可； （2）过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF，根据240米＜260米可以判断有危险，再根据勾股定理求出DE的长，进而得出EF的长即可． 【解答】解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD240（米）， 答：山地C距离公路的垂直距离为240米； （2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF， 则EC＝FC＝260米，DE＝DF， 由（1）可知，CD＝240米， ∵240米＜260米， ∴有危险需要暂时封锁， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE100（米）， ∴EF＝2DE＝200（米）， 即需要封锁的公路长为200米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）　　 ，　（）　 ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，a﹣1得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值． 【解答】解：（1）原式，原式（）， 故答案为：，（）， （2）原式（...） （﹣3+11） ＝4； （2）a1， ∴a﹣1， ∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明； （2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值； （3）分两种情况讨论即可求解． 【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°． ∵CD＝4t，AE＝2t， 又∵在直角△CDF中，∠C＝30°， ∴DFCD＝2t， ∴DF＝AE； 解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t＝2t， 解得：t＝10， 即当t＝10时，▱AEFD是菱形； （3）当t时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）； 当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下： 当∠EDF＝90°时，DE∥BC． ∴∠ADE＝∠C＝30° ∴AD＝2AE ∵CD＝4t， ∴DF＝2t＝AE， ∴AD＝4t， ∴4t+4t＝60， ∴t时，∠EDF＝90°． 当∠DEF＝90°时，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠DEA＝30°， ∴ADAE， AD＝AC﹣CD＝60﹣4t，AE＝DFCD＝2t， ∴60﹣4t＝t， 解得t＝12． 综上所述，当t时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键． 23．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　MG＝NG　 ；位置关系是　MG⊥NG　 ． （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明． 【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH＝90°，即：∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论． 【解答】解：（1）如图①，连接BE，CD相交于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90° ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠BHD＝90°， ∴CD⊥BE， ∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MGCD， 同理：NGBE， ∴MG＝NG，MG⊥NG， 故答案为：MG＝NG，MG⊥NG； （2）如图②，连接CD，BE相交于点H， 同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG； （3）如图③，连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG＝NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°， ∴∠DHE＝90°， 同（1）的方法得，MG⊥NG， ∴△MGN是等腰直角三角形． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键． 24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，A，C两点坐标分别为A（0，a），C（c，0）． （1）若，直接写出A，C两点坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，F为AB延长线上一点，∠OCF的平分线交y轴于点E，若，求CF的长． （3）如图2，M、N分别为AB、AO上的点，若∠AMN＝∠MCN＝45°，试探究ON2、BM2、MN2之间的数量关系并证明． 【分析】（1）求出a＝c＝12，则可得出答案； （2）求出AE＝6，如图，取AB与CE交点G，BG中点K，CG中点H，则GK＝KB，证明△AGE≌△KGH（ASA），得出GK＝AG，由勾股定理可得出答案； （3）设AM＝x，则BM＝c﹣x，证出ON＝a﹣x，过C向下作PC⊥CM，且PC＝CM，过P作PD⊥x于D，过N作NQ⊥PD于Q，证明△CMN≌△CPN（SAS），得出，由勾股定理可得出结论． 【解答】解：（1）∵， ∴24﹣2c≥0，c﹣12≥0， ∴c＝12， ∴a＝c＝12， ∴A（0，12），C（12，0）； （2）∵四边形OABC是矩形，A（0，12），C（12，0）， ∴OC＝OA＝AB＝BC＝12，AB∥OC， ∵， ∴OE18， ∴AE＝6， 如图，若AB与CE交点G，取BG的中点K，CG的中点H，连接KH，则GK＝KB， ∴KH是△BCG的中位线， ∴，KH∥BC， ∴KH＝AE＝6，∠GKH＝∠GAE，∠GHK＝∠GEA， ∴△AGE≌△KGH（ASA）， ∴GK＝AG， ∴AG＝GK＝KB， ∵AB＝12， ∴AG＝GK＝KB＝4， ∵∠OCF的平分线交y轴于点E， ∴∠FCG＝∠OCE， ∵AB∥OC， ∴∠BGC＝∠OCE， ∴∠FCG＝∠OCE＝∠BGC， ∴CF＝FG， ∴BF＝FG﹣BG＝CF﹣8， ∵BF2+BC2＝CF2， ∴（CF﹣8）2+122＝CF2， 解得CF＝13； （3）ON2、BM2、MN2之间的数量关系为BM2+ON2MN2， 证明：∵四边形OABC是矩形，A，C两点坐标分别为A（0，a），C（c，0）， ∴OA＝BC＝a，OC＝AB＝c， 设AM＝x，则BM＝c﹣x， ∵∠AMN＝45°， ∴AM＝AN＝x，， ∴ON＝a﹣x， 过C向下作PC⊥CM，使PC＝CM，过P作PD⊥x轴于D，过N作NQ⊥PD于点Q， ∴∠PDC＝∠B＝∠BCO＝90°，∠PCD＝∠BCM＝90°﹣∠DCM， ∴△PCD≌△MCB（AAS）， ∴CD＝CB＝a，PD＝BM＝c﹣x，BC＝CD＝a， ∴OD＝a﹣c， ∵∠MCN＝45°， ∴∠BCM+∠DCN＝∠PCD+∠DCN＝45°， ∴∠MCN＝∠PCN＝45°， ∵PC＝CM，CN＝CN， ∴△CMN≌△CPN（SAS）， ∴， ∵PD⊥x轴，NQ⊥PD，∠NOD＝90°， ∴∠ODQ＝∠Q＝∠NOD＝90°， ∴四边形ONQD是矩形， ∴QD＝ON＝a﹣x，QN＝OD＝a﹣c， ∴PQ＝PD+QD＝a﹣x+c﹣x＝a+c﹣2x， ∵PQ2+QN2＝PN2， ∴， ∴a2+c2﹣2ax﹣2cx＝﹣x2， ∵BM＝c﹣x，，ON＝a﹣x， ∴BM2+ON2＝（c﹣x）2+（a﹣x）2＝a2+c2﹣2ax﹣2cx+2x2＝﹣x2+2x2＝x2，MN2＝2x2， ∴BM2+ON2MN2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/24 14:07:05；用户：孤村流水；邮箱：13367140972；学号：26128771 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$