2025年中考数学复习反比例函数：三角形面积、四边形面积、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练

反比例函数：三角形面积、四边形面积、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 反比例函数：三角形面积、四边形面积、等腰三角形存在性问题、 直角三角形存在性问题专项训练 考点一 三角形面积 1．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点，， ，解得， ，， 把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，， 观察图象可得，不等式的解集为：或； （3）解：连接， 中，当时， ， ， 设， 由题意， 解得， 或． 2．（2025·山东东营·一模）如图，已知点，点是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积等于3，求点P的坐标； (3)求不等式的解集．（直接写出答案即可） 【答案】(1)反比例函数的关系式为：；一次函数的关系式为：． (2)或． (3)或 【详解】（1）解：∵在反比例函数上， ∴． 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 又∵，是一次函数的上的点， 联立 解得，， ∴反比例函数的关系式为：；一次函数的关系式为：． （2）在中，令，则， ∴． 设，则． ∵，， ∴， ． ∵， ∴，即． 当时，；当时，． ∴点的坐标为或． （3）解：不等式的解集，就是一次函数的图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 从图象上看，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象下方． ∴不等式的解集为或． 3．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则， 两点在上， ， ， （2）解：设直线的解析式为： 把代入得，， ∴直线的解析式为 在中，当时，， ． ． 4．（2025·甘肃金昌·一模）如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为； (2)． 【详解】（1）解：把点的坐标代入反比例函数()， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把点的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作， ， 点、的横坐标为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 解方程：， 整理得： 可得：(不符合题意，舍去)，， 点的横坐标为， ， 的面积为． 5．（2025·河南信阳·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式， 则； （2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； （3）解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式的解集为：或． （3）解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 考点二 四边形面积 1．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． (1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）探究一：证明：，， 的坐标是， 的坐标是：， 在线上， ， 又的横坐标是，把代入，则， 是的中点，即， 又， ， 在的平分线上，即平分； （2）探究二：解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得： 解得：或 舍去， 则的坐标是． 的横坐标是，则的横坐标是，则， 在中，当时， ，， 如图所示，作于点． 折叠 又 则， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 2．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S逐渐增大，见解析 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， 代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：根据题意，轴，轴，轴，轴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∵，则， ∴， ∴． （3）解：S逐渐增大，理由如下： ∵，， ∴随着m增大，减小，则S逐渐增大． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 4．（2025·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出的的取值范围______． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2)四边形的面积为 (3)或 【详解】（1）解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵ ∴ ∵， ， ， ， ∴ 将代入中， ， 解得：， ， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； （3）解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴即的x的取值范围是或． 故答案为：或或． 5．（2025·山东济南·二模）【阅读理解】对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，有最小值是______； （2）已知，则的最小值是______． （3）已知，若，求的最大值． （4）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，是双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    【答案】（1）4；（2）4；（3）；（4）160 【分析】本题考查了不等式的性质、算术平方根、反比例函数的应用等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）根据当时，，则，由此即可得； （2）先参照（1）求出的最小值，再根据即可得； （3）先求出，再求出的最小值，由此即可得； （4）连接，先利用待定系数法求出，再设点的坐标为，根据四边形的面积为，求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． （2）， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴的最小值是， 故答案为：4． （3） ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴有最大值． （4）如图，连接，    将点代入双曲线得：， ∴， ∵，轴于点，作轴于点， ∴， 设点的坐标为， ∴四边形的面积为 ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为16， ∴四边形的面积的最小值为． 6．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方， 又∵， ∴由图象可知． 故答案为：； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ，， 四边形的面积 ． 考点三 等腰三角形存在性问题 1．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 2．（2025·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及m的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点P在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：把代入可得，解得， 反比例函数的解析式为， 再把代入可得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， ， 为等腰三角形， 为的平分线， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，当时， 设， ， ， 解得（舍去）， 故， 如图，当时， 设， ， ， 解得（负数舍去）， 故， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【详解】（1）解：将代入，得： ， 反比例函数的解析式是， 将代入，得： ， 的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为： 或； （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或， 理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论: ①当时， 由，等腰三角形三线合一的性质可得： ， ， ； ②当时， 根据题意，可得：， 在中，由勾股定理可得：， , 解得：， ； ③当时， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，； 综上所述，点的坐标为：或或或． 4．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点的坐标为________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：把代入可得，解得， 反比例函数的解析式为， 再把代入可得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， ， 为等腰三角形， 为的平分线， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，当时， 设， ， ， 解得（舍去）， 故， 如图，当时， 设， ， ， 解得（负数舍去）， 故， 故答案为：或． 5．（2024·青海西宁·一模）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为； (2)或或或． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵点关于原点对称， ∴， 设， ∵是以为腰的等腰三角形， 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为； ，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： 、， 当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示： 把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线， 与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线， 当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则， 此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， 或． 考点四 直角三角形存在性问题 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：将代入， ， 即， 将代入， ， 直线的表达式为； （2）解：直线与反比例函数交于点A，B， 联立方程组得 解得， ， 过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，   ， ， ， 在中，当时，， ， 设直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D， ， 直线与x轴交于点G， ， ， ； （3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，   为的直径， ， 是的中点， ， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 综上所述，点E的坐标为或或或． 2．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵直线过两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为， ∴设，如图1：作轴于点D． ∵， ∴，即，解得：， ∴将代入得，解得：． ∵在双曲线上， ∴，解得：． ∴反比例函数的表达式为：． （2）解：①如图1：当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴． ∴， ∴在中，， ∴， ． ∴当，此时点P的坐标为． ②如图2，当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当，此时点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①4；②或 【详解】（1）解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 （2）解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 【答案】(1)15 (2)、、、 (3)或 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由，解得或， ∴，， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，，即， 设， ①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形， 有， 解得， ∴， 代入得， ∴反比例函数的表达式为，设，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当，则， ∴， 解得：或（舍）， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形， 有， 解得， ∴， 同上可求反比例函数的表达式为，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当时，此时点与点N重合， ∴， 综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）解：如图， 设点， ∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点， ∴， 当点E在上时，由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴； 当点E在上时，同理可得， 综上所述，的面积为或． 5．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， (2)①②存在，的坐标为或 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）①设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； ②存在，理由如下； 设点， 则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 即， 解得或． 故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形， 此时点的坐标为或． 6．（2024·四川成都·二模）如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点． (1)若，求反比例函数解析式； (2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标； (3)在（2）中的条件下，过点作，交于点（如图②，点为直线上的一个动点，连接，．是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，满足条件的点的坐标为，或，或，或， 【详解】（1）解：过点作于， ，， ，， 点坐标为，根据题意得： ，可得：， 反比例函数解析式：； （2）设，过点作轴于，过点作轴于点， 由平行四边形性质可证得， ， ，， ， ， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， 点，都在的图象上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，； （3）由（2）可知，，，，． 存在三种情况： 当时，在的两侧各有一点，如图，设交于点，则， 此时，， ，，，， 当时，如图，过点作于点，交于点． 由，可得 ，， 当时，同理可得，． 综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，或，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$反比例函数：三角形面积、四边形面积、等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题专项训练 反比例函数：三角形面积、四边形面积、等腰三角形存在性问题、 直角三角形存在性问题专项训练 考点一 三角形面积 1．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 2．（2025·山东东营·一模）如图，已知点，点是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积等于3，求点P的坐标； (3)求不等式的解集．（直接写出答案即可） 3．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 4．（2025·甘肃金昌·一模）如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 5．（2025·河南信阳·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 考点二 四边形面积 1．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． (1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 4．（2025·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出的的取值范围______． 5．（2025·山东济南·二模）【阅读理解】对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，有最小值是______； （2）已知，则的最小值是______． （3）已知，若，求的最大值． （4）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，是双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    6．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 考点三 等腰三角形存在性问题 1．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 2．（2025·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及m的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点P在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为________． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点的坐标为________． 5．（2024·青海西宁·一模）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 考点四 直角三角形存在性问题 1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 5．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·四川成都·二模）如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点． (1)若，求反比例函数解析式； (2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标； (3)在（2）中的条件下，过点作，交于点（如图②，点为直线上的一个动点，连接，．是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$