精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以时瞬时速度为. 故选：D 2. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答. 【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题， 所以组成该评审委员会的不同方式共有种. 故选：B 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. -55 B. 64 C. -80 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为，，， 令，得， 因此展开式中项的系数为. 故选：C 4. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4名学生分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法， 故选：C 5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 7. 林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 【答案】C 【解析】 【分析】利用先选后排及插空法，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种. 故选：C. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可. 【详解】由的图象可知时，， 则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确； 当时，，则单调递增，所以， 则处不能取得最大值，故D错误． 故选：ABC． 10. 现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A. 排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种 B. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种 C. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种 D. 全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生， 对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确； 对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确； 对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确； 对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾 可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法， 此时乙有种排法，共有种排法； （2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法， 共有种排法，综上可得，共有种不同排法，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的计算方法即可解答. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为 14. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动. （1）共有多少种不同的选法？ （2）既有男生又有女生的选法有多少种？ 【答案】（1）70 （2）65 【解析】 【分析】（1）直接由组合数公式求解即可． （2）分类讨论，选出4名同学分别为1男3女，2男2女和3男1女三种情况，即可得解． 【小问1详解】 从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动， 共有种不同的选法. 【小问2详解】 选出4名同学既有男生又有女生有三种情况： 有1名男同学和3名女同学，则有：种不同的选法． 有2名男同学和2名女同学，则有：种不同的选法． 有3名男同学和1名女同学，则有：种不同的选法． 所以既有男生又有女生的选法有种． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出导数，令导数在极值点处为0，得到，在验证在左右两边导函数异号，即可的结论； （2）由（1）中结论得到导数，然后令导数大于0，求得函数的增区间，从而得到函数的减区间，由此知道函数在已知区间上的单调性，由单调性求出最大值与最小值. 【小问1详解】 ， ∵函数处取得极值， ∴，即， 即， 当时，，当时，，符合题意， ∴. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 令，解得或； 令，解得； ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 则极大值，而，. 故函数在上的最大值和最小值分别为， ，. 17. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【答案】（1）6 （2）64 （3）常数项为960，二项式系数最大的项为 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解； （2）由二项式系数的性质可求解； （3）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，二项式系数最大的项为中间项即可求解. 【小问1详解】 展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. 【小问2详解】 展开式中各项的二项式系数和为. 【小问3详解】 设展开式中常数项第项， 即， 令，得， ， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 2. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. -55 B. 64 C. -80 D. 124 4. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 7. 林老师希望从中选2个不同字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 上单调递减 B. 有极小值 C. 有3个极值点 D. 处取得最大值 10. 现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A. 排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种 B. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种 C. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种 D. 全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________________(用数字作答). 13. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 14. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动. （1）共有多少种不同的选法？ （2）既有男生又有女生选法有多少种？ 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 17. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $