精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题 高一数学 2025.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上，并贴上条形码. 2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂)，非选择题一律在答题卡规定区域作答，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. （    ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则与的夹角为（     ）． A. B. C. D. 3. 下列区间中包含函数的零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 6. 已知，则下列结论不正确是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（     ） A. 2 B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（     ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（     ） A. 平面内两个非零向量与，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D. 若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 13. 在边长为的菱形中，，点为线段上的任意一点，则的最大值为_______． 14. 已知，都是锐角，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在等腰梯形中，是边的中点. （1）试用表示； （2）求的值. 16. 计算求值： （1）； （2）已知，均为锐角，，，求的值． 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 18. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为. （1）设的长为米，用表示； （2）求扶梯的长； （3）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 19. 材料1：在三角形中有一个非常重要定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： （1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； （2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； （3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题 高一数学 2025.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上，并贴上条形码. 2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂)，非选择题一律在答题卡规定区域作答，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的和差公式即可求解. 【详解】. 故选：. 2. 若向量，，则与的夹角为（     ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积和模长的坐标表示、向量的夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】，，， 所以，而 所以与夹角为. 故选：. 3. 下列区间中包含函数的零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】设，则该函数的定义域为， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数， 因为，， ，，， ，则， 由零点存在定理可知，函数的零点在区间内. 故选：C. 4. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和与差公式可求解. 【详解】方法一：因为，所以. 等式两边同时平方，得，即，解得. 所以. 方法二：. 故选:D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C 钝角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理得出，再由余弦定理得出，从而判断为钝角得出的形状. 【详解】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形. 故选：C 6. 已知，则下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可. 【详解】对于A：因为且，则，解得，A正确； 对于B：若，所以，解得，故B正确； 对于C：因为，则， 所以，解得或，故C正确； 对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量， 即且， 取满足题意，但是且不成立，故D错误. 故选：D 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 8. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（     ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，即可判断A，再由同角三角函数的基本关系求出，即可判断B，利用二倍角公式判断C，D. 【详解】对于A ：因为，所以，解得，故A正确； 对于B：因为，解得或，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D： 或，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法中正确的是（     ） A. 平面内两个非零向量与，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D. 若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可判断AC；根据投影向量的公式即可判断B；分析、、、四点共线与否即可判断D． 【详解】对于A，设，，则，故A错误； 对于B，向量在向量上投影向量为，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定相等，故C错误； 对于D，若，且点四点不共线， 则，、、、四点能构成平行四边形； 若，且点四点共线， 则，、、、四点不能构成平行四边形，故D正确； 故选：BD． 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 13. 在边长为的菱形中，，点为线段上的任意一点，则的最大值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，用表示出，转化成函数的最值问题求解． 【详解】解：以为轴，以为原点，建立平面直角坐标系如图， 设，则，，，，． ，．， 当时，取得最大值2． 故答案为：2． 14. 已知，都是锐角，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角. 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在等腰梯形中，是边的中点. （1）试用表示； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加、减法法则即可求解； （2）利用向量的线性运算，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由向量加法和减法可得：， ， 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为在等腰梯形中， 所以 即. 16. 计算求值： （1）； （2）已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. 【小问2详解】 因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 18. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为. （1）设的长为米，用表示； （2）求扶梯的长； （3）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）解直角三角形得，结合以及锐角三角函数的定义即可得解； （2）分别表示出，，，结合，由两角和的正切公式列式求解，并结合建议即可； （3）作于点，设，则，，表示出，，由两角差的正切公式得出的表达式，结合基本不等式的取等条件即可得解. 【小问1详解】 因为在直角三角形中，，，， 所以， 因为，点是的中点， 从而， 所以； 【小问2详解】 由（1）有，其中， 而在直角三角形中，， 又因为，， 所以， 即，解得或， 注意到，所以，（否则时，有，矛盾）， 所以扶梯的长度为10米； 小问3详解】 作于点，如图所示， 设，则，， 由（2）可知， ，， 当取最大值时，即取最大值， ， 等号成立当且仅当，所以此时. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是引入适当参数表示出，结合两角差的正切公式、基本不等式即可顺利得解. 19. 材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： （1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； （2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； （3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形中三角函数关系得到，证明出结论； （2）设出向量，转化为点到，，的距离之和最小问题，找到为的费马点，求出最小值； （3），设，，由得，在中，由余弦定理和勾股定理得到，由基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 因为为直径，所以， 在中，， 又，所以， 连接，同理在中，， 又，所以， 连接并延长，交圆于点，连接，则， 在中，， 又，所以， 又，所以， 即； 【小问2详解】 不妨设，， 则， 上式可以看成点到，，的距离之和， 显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点， 在上取点，此时，故， 同理，故，所以， 点即为的费马点， 所以， 则的最小值为； 【小问3详解】 由于为直角三角形，故， 设，， 由得， 在中，由余弦定理得 ， 同理，在中，由余弦定理得， 在中，， 因为， 所以， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以，解得或（舍去）， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$