精品解析： 北京市第一六一中学分校2024—2025学年下学期期中考试七年级数学试题

2025北京一六一中分校初一（下）期中 数学 考 生 须 知 1．本试题共4页，满分100分，选做题10分，考试时间100分钟． 2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效． 3．在答题纸上，用2B铅笔填涂，用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题纸交回． 第Ⅰ卷（主卷部分，共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 16的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标中，点 关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 6. 如图，下列四个条件中能判定的有（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 7. 在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 8. 某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为 A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，将沿直线向右平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④S四边形ABEO=S四边形CFDO其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，下表是他俩在微信中的一段对话： ：小文，你下了625路公交车后，先向前走500米，再向右转走200米，就到游乐园门口了，我现在在游乐园门口等你呢！ ：小明，我按你说的路线走到了M超市，不是游乐园门口呀？ ：小文，你会走到M超市，是因为你下车后先向东走了，如果你先向北走就能到游乐园门口了． 根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ） A. 向北直走700米，再向西直走300米 B. 向北直走300米，再向西直走700米 C. 向北直走500米，再向西直走200米 D. 向南直走500米，再向西直走200米 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 在，，，，中，是无理数的数是__________． 12. 语句“x的3倍与10的和小于或等于7”用不等式表示为__________． 13. 的算术平方根是__________．的立方根是__________． 14. 已知，则_________． 15. 若点在y轴上，则点P的坐标为______． 16. 把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为、C分别在M、N的位置上，若，则 ______ ． 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，3)，线段AB∥x轴，且AB＝4，则点B的坐标为_______. 18. ，，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）=_________（用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_________时，这种产品的成本最低． 三、计算题（本题共28分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） （3） （4） 21. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1） （2） 四、解答题（22题5分，23题5分，24题6分，25题7分，26题6分，27题7分） 22. 已知，如图，，分别平分与，且．试说明：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：分别平分与， ，( ) ， ． ， （等量代换） ( ) 23. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． （1）求证：； （2）OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 24. 在下图的直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度可以得到； （2）在坐标系中画出及平移后的； （3）的面积为 ． 25. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车．经市场调查发现，如果购进2辆A型车和1辆B型车，需要66万元；如果购进2辆A型车和2辆B型车，需要96万元． （1）求A型、B型电动汽车的单价； （2）该店最终决定本月购进这两种电动汽车共20辆，但是总费用不超过500万元，那么该店最少需要购进A型电动汽车多少辆？ 26. 已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． （1）若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． （2）若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，． （1）若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积” ； （2）点在x轴上，若三点的“矩面积”为，直接写出点的坐标 ； （3）点， ①若三点的“矩面积”为，直接写出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围 ． 第Ⅱ卷（选做题部分，共10分） 解答题： 28. 对有序数对定义“运算”：，其中a、b为常数，f运算的结果也是一个有序数对．在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点规定“F变换”：点在F变换下的对应点即为坐标为的点A′． （1）当，时， ； （2）若点在“F变换”下的对应点是它本身，求a、b的值． 29. 如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． （1）当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． （2）在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． （3）点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京一六一中分校初一（下）期中 数学 考 生 须 知 1．本试题共4页，满分100分，选做题10分，考试时间100分钟． 2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效． 3．在答题纸上，用2B铅笔填涂，用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题纸交回． 第Ⅰ卷（主卷部分，共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 16的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根为4，即， 故选：A． 【点睛】本题考查算术平方根，解师生关键是掌握一个正数的平方根有两个，其中正的那个平方根叫做算术平方根，特别地，0的算术平方根是0． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先求出不等式的解集； 然后结合数轴的相关知识将相应的解集画在数轴上，注意实心点和空心圆的区别． 【详解】解：解不等式得， 不等式的解集为， 在数轴上表示为， 故选：D． 3. 在平面直角坐标中，点 关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标中，点 关于x轴对称的点的坐标为， 故选：B． 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式变形错误，不符合题意； B、由可得，原式变形错误，不符合题意； C、由可得，则，原式变形正确，符合题意； D、由可得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识，难度不大． 利用平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误，符合题意． 故选：D． 6. 如图，下列四个条件中能判定的有（ ） ①；②；③；④ A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 7. 在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可 【详解】把代入①得，等式左边不等于右边，不成立； 把代入②得，等式左边等于右边，成立； 把代入③得，等式左边不等于右边，不成立； 把代入④得，等式左边等于右边，成立； ∴只能由②和④组合 故选C 【点睛】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的关键． 8. 某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是关键．根据若每组7人，余3人，可得；每组8人缺5人，可得，即得答案． 【详解】解：根据题意列方程组为 ． 故选：D． 9. 如图，在中，，，，，将沿直线向右平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④S四边形ABEO=S四边形CFDO其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据平移的性质，对各个结论进行逐一判定即可． 【详解】解：①∵将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AC∥DF，AC=DF=4； ②∵AB=DE=3，BC=EF=5，AD=BE=CF=2，∠BAC=∠EDF=90°， ∴ED⊥DF； ③四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=3+5+2+4+2=16； ④∵S△ABC=S△DEF， ∴S△ABC-S△OEC=S△DEF-S△OEC， ∴S四边形ABEO=S四边形CFDO. 即结论正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，注意掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．同时也考查了平移的距离以及图形的面积． 10. 周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，下表是他俩在微信中的一段对话： ：小文，你下了625路公交车后，先向前走500米，再向右转走200米，就到游乐园门口了，我现在在游乐园门口等你呢！ ：小明，我按你说的路线走到了M超市，不是游乐园门口呀？ ：小文，你会走到M超市，是因为你下车后先向东走了，如果你先向北走就能到游乐园门口了． 根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ） A. 向北直走700米，再向西直走300米 B. 向北直走300米，再向西直走700米 C. 向北直走500米，再向西直走200米 D. 向南直走500米，再向西直走200米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的应用，根据题意可知小文从M超市向北走200米，再向西走500米可以到达下车点，再根据题意可得从下车点到达游乐园的路线，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，小文从M超市向北走200米，再向西走500米可以到达下车点，再向北走500米，向东走200米可以到达游乐园， ∴小文从M超市向北走（米），向西直走（米）可以到达游乐园． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 在，，，，中，是无理数的数是__________． 【答案】，3π 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：在，，，，中，是无理数的数是，， 故答案为：，． 12. 语句“x的3倍与10的和小于或等于7”用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，表示出x的3倍与10的和即可得到答案． 【详解】解：语句“x的3倍与10的和小于或等于7”用不等式表示为， 故答案为：． 13. 的算术平方根是__________．的立方根是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 先求得，然后再算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：，的算术平方根是， 的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：． 14. 已知，则_________． 【答案】1.01 【解析】 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：， ； 故答案为：1.01． 【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 15. 若点在y轴上，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点，进而得出2-m=0，求出答案即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴2-m=0， 解得：m=2， 故， 则点P的坐标为（0，7）． 故答案为：（0，7）． 【点睛】本题主要考查了点的坐标特点，掌握“y轴上的点的横坐标为0”是解题关键． 16. 把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为、C分别在M、N的位置上，若，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质、翻折的性质、角的和差、平行线的性质，利用翻折的性质求得∠是解题的关键． 由长方形的性质可得，再由翻折的性质可得，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ (两直线平行,内错角相等)， (两直线平行,同旁内角互补)， 由折叠的性质可得： ， ∴ ∴ 故答案为 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，3)，线段AB∥x轴，且AB＝4，则点B的坐标为_______. 【答案】(－5，3)或(3，3) 【解析】 【分析】平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 【详解】∵点A的坐标为（-1，3），线段AB∥x轴，且AB=4 ∴点B的坐标为（-5，3）或（3，3）. 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征，即可完成. 18. ，，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）=_________（用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_________时，这种产品的成本最低． 【答案】 ①. ②. 1，5，1 【解析】 【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可． 【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数）， ∴， 故答案为：； 设总成本价为M元，根据题意，得， ∵均为正整数，， ∴， 当且仅当，时，成本最低，此时， 故， 故答案为：1，5，1． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 三、计算题（本题共28分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，算术平方根和立方根，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根以及立方根，再求和即可； （2）先去括号，求绝对值，再算二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、利用平方根解方程，立方根的定义等知识，解二元一次方程组的关键思想是消元，常见的消元方法有加减消元法和代入消元法． （1）利用代入消元法把方程代入方程，求出未知数的值，再把的值代入方程，求出未知数的值即可； （2）方程把方程中未知数的系数化为，用消去未知数，求出未知数的值，再把未知数的值代入方程，求出未知数的值即可； （3）把方程整理可得：，再两边同时开平方，即可得到方程的解； （4）方程两边同时乘以，可得：，两边同时开立方可得：，移项、合并同类项即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， 把方程代入方程， 可得：， 解得：， 把代入方程， 可得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 方程可得：， 可得：， 解得：， 把代入方程， 可得：， 解得：， 方程组的解为； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 两边直接开平方得：， 方程的解为：； 【小问4详解】 解：， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程两边同时开立方， 可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：． 21. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1） （2） 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1，然后在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：（1）移项合并，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为：； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 四、解答题（22题5分，23题5分，24题6分，25题7分，26题6分，27题7分） 22. 已知，如图，，分别平分与，且．试说明：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：分别平分与， ，( ) ， ． ， （等量代换） ( ) 【答案】角平分线定义；1；2；∠3；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，继而得到，得出，即可得到． 【详解】证明：分别平分与， ，(角平分线定义) ， ． ， （等量代换） (内错角相等，两直线平行)， 故答案为：角平分线定义；1；2；∠3；内错角相等，两直线平行． 23. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． （1）求证：； （2）OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 【答案】（1） 证明：∵与互余 ∴ 又∵ ∴ ∵ 又∵ ∴． （2）补全图形， ∠1=25° 【解析】 【分析】（1）根据与互余，，得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明； （2）根据平分交于点，得，又根据，求出的角度，再根据与互余，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分交于点 ∴ ∵ ∴在中， ∴ ∴ 又∵与互余 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的定义． 24. 在下图的直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度可以得到； （2）在坐标系中画出及平移后的； （3）的面积为 ． 【答案】（1）右，，上，； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记图形平移的性质是解题的关键． （1）平移的方向和距离与的顶点移动的方向和距离相同，据此可求得答案； （2）根据移动规律求出的坐标，再在坐标系中描出点，依次连接点和，和即为所求； （3）用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可以得到， 故答案为：右，，上，； 【小问2详解】 解：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可以得到， ， 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 25. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车．经市场调查发现，如果购进2辆A型车和1辆B型车，需要66万元；如果购进2辆A型车和2辆B型车，需要96万元． （1）求A型、B型电动汽车的单价； （2）该店最终决定本月购进这两种电动汽车共20辆，但是总费用不超过500万元，那么该店最少需要购进A型电动汽车多少辆？ 【答案】（1）A型电动汽车的单价是18万元，B型电动汽车的单价是30万元 （2）该店最少需要购进A型电动汽车9辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型电动汽车的单价是x万元，B型电动汽车的单价y万元，根据购进2辆A型车和1辆B型车，需要66万元；如果购进2辆A型车和2辆B型车，需要96万元建立方程组求解即可； （2）设该店需要购进A型电动汽车a辆，则该店需要购进B型电动汽车辆，根据购买总费用不超过500万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型电动汽车的单价是x万元，B型电动汽车的单价y万元， 由题意得，， 解：， 答：A型电动汽车的单价是18万元，B型电动汽车的单价是30万元； 【小问2详解】 解：设该店需要购进A型电动汽车a辆， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：该店最少需要购进A型电动汽车9辆． 26. 已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． （1）若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． （2）若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 27. 在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，． （1）若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积” ； （2）点在x轴上，若三点的“矩面积”为，直接写出点的坐标 ； （3）点， ①若三点的“矩面积”为，直接写出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围 ． 【答案】（1） （2）或 （3）① ；② 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，不等式组的解法，属于新定义题型，理解题意，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意求出，设，分两种情况：当时，当时；分别求出点坐标即可； （3）①根据题意得到三点的“矩面积”最小为，得到，解得； ②由题得，继而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：“水平底”，“铅垂高”， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 三点的“矩面积”为，点在x轴上， 三点的“铅垂高”， 三点的“水平底”， 设， 当时，， 解得， ； 当时， ， 解得；， ； 综上所述，点的坐标为或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①，， 三点的“矩面积”最小为 ， 解得； ②， ， ， ， ， 故答案为：． 第Ⅱ卷（选做题部分，共10分） 解答题： 28. 对有序数对定义“运算”：，其中a、b为常数，f运算的结果也是一个有序数对．在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点规定“F变换”：点在F变换下的对应点即为坐标为的点A′． （1）当，时， ； （2）若点在“F变换”下的对应点是它本身，求a、b的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题主要考查新定义运算： （1）根据“F变换”的定义计算即可； （2）根据“F变换”的定义列出方程组即可解决问题． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 29. 如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． （1）当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． （2）在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． （3）点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 【答案】（1） （2）不变， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交直线于点，得到，求出，即可得到； （2）不变化，理由如下，过点作，得到，得出，求出，即可得到答案； （3）延长交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质求出，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不变化，理由如下， 如图，过点作， ，， ， ， ，，，平分， 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $