精品解析：福建省三明市大田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

大田县2024-2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线不平行，同位角不相等 C. 同位角不相等，两直线不平行 D. 两直线平行，同位角不相等 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 8 6. 如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（ ） A. 这四个数都等于 B. 至少有一个数大于 C. 至少有一个数不大于 D. 这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为：，与关于原点对称，坐标系中有一点，当P点在两直线与之间时（不包含两直线），a的取值范围是（ ） A. 所有实数 B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是____ 12. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，已知，，，则的坐标为________． 13. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 14. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为___． 15. 如图，在中，，，．将绕点O顺时针旋转一定的角度得到，使点恰在上，设交于点D，则________． 16. 如图，为的一条角平分线，且，E为延长线上的一点，，于点F．现给出以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示． 18. 如图，在四边形中，已知，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出将向右平移4个单位后得到的； （2）画出关于x轴对称的； （3）画出关于原点O对称的． 20. 解不等式组：，并写出所有整数解． 21. 如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． （1）若，求线段的长； （2）求证：垂直平分． 22. 某工厂需招聘一批工人，现有A，B两家劳务派遣公司均可提供该工厂所需工人，费用如下： A公司：工人的月工资4000元/人，每月另需固定支付管理费用20000元； B公司：工人的月工资4500元/人，无需另外支付管理费用． 该工厂计划选择A，B中的一家公司招聘工人，设共需招聘x名工人，若不计其他支出，选择A公司每月的总费用为元，选择B公司每月的总费用为元． （1）分别求，关于x的函数关系式； （2）要使每月支付的总费用较少，该工厂应选择哪家公司？说明理由． 23. 如图，在中，已知，． （1）求的度数； （2）已知E是上一点，满足． ①求作点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若D是中点，且线段交于点F，求证：． 24. 如图，在中，，，．点P从点A开始以每秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B开始以每秒的速度沿方向运动，当P，Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动的时间为t秒． （1）当时，求线段的长； （2）当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）是否存在t的值，使点P恰好在的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 25. 如图1，在中，，，．是边上的中线，D是线段上的动点，将绕点D顺时针旋转到，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）如图2，延长交于H，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大田县2024-2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，该选项错误，不符合题意； B、，则：，该选项错误，不符合题意； C、，则：，该选项错误，不符合题意； D、，则：，该选项正确，符合题意； 故选D． 3. 命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线不平行，同位角不相等 C. 同位角不相等，两直线不平行 D. 两直线平行，同位角不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为：同位角相等，两直线平行， 故选A． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点． 根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可． 【详解】解：∵ ∴ 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握性质和准确识图是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 6. 如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，三角形的内角和定理，根据平移的性质结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 7. 如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据等边对等角求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 9. 已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（ ） A. 这四个数都等于 B. 至少有一个数大于 C. 至少有一个数不大于 D. 这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为：，与关于原点对称，坐标系中有一点，当P点在两直线与之间时（不包含两直线），a的取值范围是（ ） A. 所有实数 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据对称性，求出的解析式，求出时，两个函数的函数值，根据P点在两直线与之间，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵直线的关系式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点为， ∵与关于原点对称， ∴两条直线平行，且与轴的交点为， ∴直线的解析式为：， 当时，两个函数的函数值为：，； ∵P点在两直线与之间（不包含两直线）， ∴， 解得：； 故选B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解简单不等式的能力，移项、合并同类项即可求解． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，已知，，，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与平移，根据点的平移规则得到线段的平移规则是解题的关键． 根据点A与点的平移规则可知线段与线段的平移规则进而解答即可． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标是， ∴点A向左平移3个单位长度， ∴线段向左平移3个单位长度，得到线段， ∵点， ∴点， 故答案为． 13. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合时，则时对应x的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，．将绕点O顺时针旋转一定的角度得到，使点恰在上，设交于点D，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余求出，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，再利用含有30度角的直角三角形的性质求得，从而可求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求得，然后可用勾股定理求得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转一定的角度得到，使点恰在上，设交于点D， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的判定与性质，含有30度角的直角三角形的性质，利用旋转的性质求角度或线段的长，勾股定理等知识点，解题的关键是利用有30度角的直角三角形的性质求出待求线段的长． 16. 如图，为的一条角平分线，且，E为延长线上的一点，，于点F．现给出以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据已知条件证明，即可判断②；进一步即可判断①；通过证明可得，结合①可知结论③正确；如图（见解析），过作交的延长线于点，先证明,再证明，进而通过线段的等量代换即可求得，即可判断④． 【详解】解：为的角平分线， ， ， ， ，， ， ， ②正确； ， 若，则； 根据已知条件无法证明，， 故①不正确； 为的角平分线， ， , ， , , , , , , , , ③正确； 如图，过作交的延长线于点， 是角平分线延长线上的点，且， ， 由③可知：， ， , 在和中， ， ， ， ， ． ④正确． 综上所述，②③④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示． 【答案】， 解集在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示解集．按照移项、合并同类项、系数化为1进行解答即可． 【详解】解： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 18. 如图，在四边形中，已知，．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵， ∴与是直角三角形， 在与中， ， ∴； ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．连接，证明，即可得证． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出将向右平移4个单位后得到的； （2）画出关于x轴对称的； （3）画出关于原点O对称的． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图即为所求； （3） 如图即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换，平移变换以及中心对称，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换和中心对称的性质； （1）根据点，，，向右平移4个单位得到平移后的对应点，，，顺次连接即可得到答案； （2）分别找到、、关于轴对称的对应点、、，顺次连接即可； （3）分别找到、、关于原点成中心对称的对应点、、，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解是：，0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，求不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，找到他们的公共部分，即为不等式组的解集，进一步求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集为：； 不等式组的整数解是：，0，1． 21. 如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． （1）若，求线段的长； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和三线合一是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，求出，再根据三线合一得到的长，最后在中，运用勾股定理求出的长． （2）先依据等腰三角形三线合一得出 ，用证明 ，得到， ，根据线段垂直平分线的判定得出结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； 【小问2详解】 略 22. 某工厂需招聘一批工人，现有A，B两家劳务派遣公司均可提供该工厂所需工人，费用如下： A公司：工人的月工资4000元/人，每月另需固定支付管理费用20000元； B公司：工人的月工资4500元/人，无需另外支付管理费用． 该工厂计划选择A，B中的一家公司招聘工人，设共需招聘x名工人，若不计其他支出，选择A公司每月的总费用为元，选择B公司每月的总费用为元． （1）分别求，关于x的函数关系式； （2）要使每月支付的总费用较少，该工厂应选择哪家公司？说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，工厂选择A，B两家公司的总费用相同；当时，工厂选择B家公司的总费用较少；当时，工厂选择A家公司的总费用较少 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据两个公式的计费方式，列出一次函数关系式即可； （2）分别求出时自变量的取值和取值范围，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：；； 【小问2详解】 解：由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得； 所以，当时，工厂选择A，B两家公司的总费用相同；当时，工厂选择B家公司的总费用较少；当时，工厂选择A家公司的总费用较少． 23. 如图，在中，已知，． （1）求的度数； （2）已知E是上一点，满足． ①求作点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若D是中点，且线段交于点F，求证：． 【答案】（1） （2） ①如图，即为所求； ∵， ∴，， ∴； ②证明：∵，D是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三线合一，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质： （1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）①尺规作图作即可；②证明，即可得证． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，．点P从点A开始以每秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B开始以每秒的速度沿方向运动，当P，Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动的时间为t秒． （1）当时，求线段的长； （2）当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）是否存在t的值，使点P恰好在的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）时，点P在线段的垂直平分线上 （3）存在， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，当时，，即可求出答案； （2）求出，，列方程求出答案即可； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴ 当时， ∴ 【小问2详解】 ∵点P在线段的垂直平分线上 ∴，， 如图所示． 运动t秒后， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得 当时，点P运动的路程：； 点Q运动的路程： ∴时，点P在线段的垂直平分线上． 【小问3详解】 存在，． ①当点Q在上时，如图： ∵点Q速度每秒 ∴ ∵点P在的垂直平分线上 ∴ ∵，与中相矛盾 ∴点Q在上时，点P不在的垂直平分线上． ②当点Q在上时，如图：垂直平分， 运动t秒后，， ∴ ∴ 又∵ ∴ 解得 25. 如图1，在中，，，．是边上的中线，D是线段上的动点，将绕点D顺时针旋转到，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）如图2，延长交于H，若，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：过D作，交延长线于F， 则； ∵， ∴， ∴， ∵AD绕D顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）根据等边对等角，三线合一，以及等角对等角，进行求解即可； （2）过D作，交延长线于F，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果； （3）过H作，垂足为M，设，在和中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过H作，垂足为M， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， 在中，， 在中，； ∵， ∴， ∴在中，， ， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $