精品解析：广东省清远市2024-2025学年高一下学期期中联合学业质量监测考试数学试题

2024~2025学年度第二学期期中联合学业质量监测考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，结合复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以的虚部为， 故选：B 3. 在△ABC中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案. 【详解】解：. 故选：D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可. 【详解】由的图象可知， ，周期，故， 又且，可得， 故. 又根据函数图象的对称性可知 ， 所以， 所以 ， 故选：A. 5. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求AB的长，在 中，可求BC的长，进而由于，所以故可得山顶的海拔高度． 【详解】如图： ，， ， ∴在 中， ， 山顶的海拔高度 故选：C． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】由可得， 又，故， 进而， ， 故选：A 7. 已知是圆的弦，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 8. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可利用整体法，结合正弦函数的性质求解. 【详解】将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到， 再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数， 因为函数在上没有零点， 当时，， 所以或， 解得或， 当时，或， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. B. 当时，复数是纯虚数 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数是纯虚数， 所以，解得，故B正确； 因为是关于的方程的一个根，则另一根为， 由根与系数的关系可得，解得， 则，故C错误； 若复数满足， 由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示： 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确； 故选：BD. 10. 已知平面向量，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 若，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平行和垂直的坐标关系即可求解AB，根据数量积的坐标运算即可求解C,根据投影向量的计算公式即可求解D. 【详解】对于A, 若，则,故A正确， 对于B,若，则，故，B正确， 对于C, ，当时，， 而当时，此时共线且方向相同， 故与的夹角为锐角，则的取值范围为，C错误， 对于D, 时，则在上的投影向量是，故D正确， 故选：ABD 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解，根据正弦定理边角互化，结合二倍角公式即可求解B,根据正弦定理即可求解C，根据余弦定理以及不等式求解最值，即可根据面积公式求解D. 【详解】对于A, 得，故，A正确， 对于B,由可得,故，, 因此或，故或， 故三角形为等腰三角形或者直角三角形，B错误， 对于C，由于，故，故有两解，故C正确， 对于D,由可得, 故，，故，进而， 所以，当且仅当时取到等号， 故，故面积的最大值为，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式，结合数量积的性质即可求解. 【详解】由于 ， 故答案为： 13. 若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得，即可根据正切函数的性质求解. 【详解】的定义域需要满足，故， 因此或， 故定义域为， 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第一象限点的特征求解， （2）根据复数相等的充要条件，可得，即可利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 对应的点为， 故且，故， 【小问2详解】 ， 故，故，故， ，故当时，的最小值为 16. 已知，是两个不共线的向量. （1）若，，向量与相互垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直，即可根据数量积的运算律求解， （2）根据共线定理即可求解. 【小问1详解】 由于与相互垂直，故， 即，解得， 【小问2详解】 由于与共线，则存在实数，则， 故，解得， 17. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及二倍角公式以及诱导公式即可求解， （2）根据同角关系，根据余弦的差角公式求解即可. 【小问1详解】 由于，故，结合，故， 故 【小问2详解】 由，，故，， 由，可得， 故， 因为，故， 18. 已知向量，，令. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知当时，关于的方程有两个不等实根，求的取值范围和这两根之和； （3）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，，求周长的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为 （2），两个根之和为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算，结合和差角公式化简，即可利用周期公式以及整体法求解单调性；（2）利用整体法求解；（3）利用正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解. 【小问1详解】 ， 故周期为， 令，解得， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 若有两个实数根，所以， 由于，故； 【小问3详解】 由可得，故，故 ， 由于为锐角，故， 故， 故， 由于，故， 因此，故， 因此，故. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且. （1）求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）利用余弦定理以及中线的性质求得边长，进而利用余弦定理求解； （3）利用三角形面积公式，结合平面向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算，可得到关于系数的函数，利用分离常数法求值域即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，， 由余弦定理可得，， 所以，得，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 在中,, , 化简可得，因此 因此, 解得（负值舍去），进而，, 故中， 【小问3详解】 由题意，设. 则， ，. 为的中点，，即， 所以， 又三点共线，即. 所以 ， ，， ， 又由，可得， 所以， ，. 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中联合学业质量监测考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在△ABC中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 5. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知是圆的弦，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. B. 当时，复数是纯虚数 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 10. 已知平面向量，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 若，则在上的投影向量是 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则的取值范围是_________. 13. 若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为_________. 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 16. 已知，是两个不共线的向量. （1）若，，向量与相互垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值. 17. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知向量，，令. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知当时，关于的方程有两个不等实根，求的取值范围和这两根之和； （3）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，，求周长的取值范围. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且. （1）求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $