精品解析：2025年河南省鲁山县部分中学中招第一次模拟数学试卷

2025河南省鲁山县部分中学中招第一次模拟试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（ ） A. 155° B. 130° C. 150° D. 135° 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 4 10. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是__________． 12. 不等式组的正整数解的个数是__________． 13. 春节期间，小明和小亮分别从四部影片《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》、《蛟龙行动》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为__________． 14. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，为半径画弧交于点E，连接，作，垂足为F，则的值为__________． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转一周，在旋转过程中， ______ ，线段长度的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图所示，在的边上取一点D，连接，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，分别交，，于点E，O，F，连接，． （1）若，判断四边形的形状并说明理由； （2）在（1）的条件下，若，，，求四边形的面积． 18. 综合与实践 【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在C组； ②两园样本数据的中位数均在C组； 任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 20. 某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元． （1）求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润． 21. 如图，一小球（看作一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线可以用抛物线刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用直线刻画，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求和的值． （2）若小球落点为，求点坐标． （3）在斜坡上的点处有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 22. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图是自行车后轮及部分车架示意图，其中表示自行车后轮，，，为自行车车架，点，，均在上．已知与相切，与的延长线交于点，且，，与交于点，的半径为6． （1）求的度数； （2）求如图中阴影部分的面积． 23. 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）． （1）如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； （2）如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025河南省鲁山县部分中学中招第一次模拟试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】解：有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的反而小． 则， 所以在这四个数中，最小的数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键． 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 4. 如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（ ） A. 155° B. 130° C. 150° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可求出∠DCB＝25°，再根据角平分线的定义可求出∠ACD＝2∠DCB=50°，从而即可求出∠2的大小． 【详解】∵AB∥CD，∠1＝155°， ∴∠DCB＝180°-∠1＝25°． ∵BC为∠ACD的角平分线， ∴∠ACD＝2∠DCB=50°， ∴∠2＝180°-∠ACD=130°． 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及邻补角．利用数形结合的思想是解题关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程判别式．根据题意利用判别式“”来判断本题即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：C． 6. 如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接， 则， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角． 7. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 8. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ．   故选： D． 9. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】证出△GEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置， ∴AB∥EG， ∴△GEC∽△ABC， ∴， ∴， ∵BC=6， ∴EC=3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质；证明三角形相似是解题的关键． 10. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2得当时，点到达处，即，当时，点到达点处，即可求解． 【详解】解：当时，点到达处，即； 过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 则四边形为长方形， ， ， ， ， ， 当时，点到达点处，则， 则， 由勾股定理得，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为0是解题的关键． 根据掌握分式有意义，则分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 不等式组的正整数解的个数是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，判断解集内正整数的个数．本题考查求不等式的整数解，解答过程和解不等式是完全相同的过程，最后只需分析解集中的整数解即可 【详解】解：∵ ∴解不等式得：， ∴解不等式得：， ∴， ∴正整数解有 1，2，3，4共4个． 故答案为：4 13. 春节期间，小明和小亮分别从四部影片《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》、《蛟龙行动》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：分别记四部影片《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》、《蛟龙行动》为，画树状图如下： 一共有16种等可能情况，其中他们选择的影片相同有4种等可能的情况， ∴（他们选择的影片相同）． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，为半径画弧交于点E，连接，作，垂足为F，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求正切值．连接，由作图可得，从而在中，根据勾股定理求出，得到，又运用勾股定理在中，求出，根据等腰三角形的性质得到，进而求出，从而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：连接， 由作图可得， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴中，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转一周，在旋转过程中， ______ ，线段长度的最大值是______． 【答案】 ①. 90 ②. 7 【解析】 【分析】先证明 ，推出，再结合以及即可解答；由，点F在的外接圆上运动且直径为，由点到的距离为，可知弦在直径的下方，当与相切于点，取最大值，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 在 和中，, ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴． 如图，∵, ∴点F在的外接圆上运动且直径为， ∵，则， ∴由等腰直角三角形可知，点到的距离为，即弦在直径的下方，如图， ∵、两点在以为圆心，以3为半径的上， 当与相切于点，取最大值， 此时，， ∴四边形为正方形，， ， ∴的最大值为， 故答案为：90；7． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的计算，分式的混合计算，化简二次根式： （1）先计算零指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先计算分式乘法，再计算分式减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，在的边上取一点D，连接，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，分别交，，于点E，O，F，连接，． （1）若，判断四边形的形状并说明理由； （2）在（1）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质、菱形的判定、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等： （1）由作图知直线垂直平分，进而可得，，，由可得，等量代换得出，由等角对等边得出，进而可证； （2）过点D作于点H，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解直角三角形，求出，，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 由作图知直线垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点H， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 菱形面积． 18. 综合与实践 【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在C组； ②两园样本数据的中位数均在C组； 任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可． 【答案】任务1:40；任务2：6；任务3：②；任务4：乙园的苹果品质更优，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数、中位数、众数，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 任务1用200分别减去其它各组的频数可得a的值； 任务2根据加权平均数公式计算即可； 任务3分别根据中位数、众数的定义解答即可； 任务4根据统计图数据判断即可． 【详解】解：任务1：由题意得，； 任务2：， ∴乙园样本数据的平均数为6； 任务3：由统计图可知，甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故①结论错误； 两园样本数据的中位数均在C组，故②正确； 故答案为：②； 任务4：乙园的苹果品质更优， 理由：由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级苹果所占比例大于甲园， ∴可以认为乙园的苹果品质更优． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）找到直线在反比例函数上方时的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：当时，一次函数的值大于反比例函数的值． 20. 某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元． （1）求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润． 【答案】（1）A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元 （2）332元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用和一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元，由“订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元，由题意建立关于x的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元， 由题意，得， 解得， 答：A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元； 【小问2详解】 解：设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元， 由题意，得， ∴w随x的增大而增大， ∵A种书签不超过B种书签数量的一半， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：文具店所获最大利润为332元． 21. 如图，一小球（看作一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线可以用抛物线刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用直线刻画，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求和的值． （2）若小球落点为，求点的坐标． （3）在斜坡上的点处有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）小球能飞过这棵树，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用最高点的坐标与顶点横坐标的关系即可得到答案； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵小球到达的最高点的坐标为， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 令 ∴，． 当时，． ∴． 【小问3详解】 当时，． ∴． 当时，． 而， ∴小球可以飞过这棵树． 22. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图是自行车后轮及部分车架示意图，其中表示自行车后轮，，，为自行车车架，点，，均在上．已知与相切，与的延长线交于点，且，，与交于点，的半径为6． （1）求的度数； （2）求如图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的综合性质，熟练掌握圆的切线性质，扇形的面积公式等知识是解题关键． （1）连接，先求的，又由得，进而求得． （2）由阴影部分面积等于，据此求解即可； 【小问1详解】 连接， ∵与⊙O相切于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点作于点，连接OC，如图； ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴阴影部分的面积为． 23. 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）． （1）如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； （2）如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）先求出，由折叠，则即可得出结论； （2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可； ②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决． 【小问1详解】 解： 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：， 与是一组“奇妙角”； 【小问2详解】 解：①设， 由对折可得：， ， ， 与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图： ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图： ， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$