精品解析：吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置） 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 6. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 10. 已知函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 存在正数，使得在上单调递增 C. 存在正数，使得在上单调递减 D. 直线是曲线的一条切线 11. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（  ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），给出以下说法： ①函数f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数； ②函数f（x）在区间（－1,1）上无单调性； ③函数f（x）在x＝－处取得极大值； ④函数f（x）在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________． 13. 已知函数，则的值为__________． 14. 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在上的最大值． 17. （1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 19. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置） 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 2. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 3. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 4. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求f(x)的导数，原问题等价于在上恒成立，据此即可求出a的范围. 【详解】∵，∴， ∵x∈时，， ∴若在内单调递减，则在上恒成立， 即得在恒成立，∴. 故选：C. 5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，求导得， 令，而，解得，此时， 曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离. 故选：B 6. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】令，，则， 故在上单调递减，结合，得， 由，得，即，则， 即的解集是， 故选：A 7. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为与有三个交点，导数研究的性质并确定极值，列不等式求参数范围. 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对a、b、c同时取自然对数可得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合对数函数的单调性即可求解. 【详解】对a、b、c同时取自然对数， 得， 即， 构造函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即， 所以，又函数在上单调递增， 故． 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 存在正数，使得在上单调递增 C. 存在正数，使得在上单调递减 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数求导，分析导函数的零点，求函数的单调区间，可判断ABC的真假，根据导数的几何意义，可判断D的真假. 【详解】，令，则，所以有两个极值点，A正确； 设，为的两个极值点，则，所以， 所以在和上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确； 因为，，所以曲线在处的切线方程为，D正确． 故选：ACD 11. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（  ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】解：设 由两曲线与分别求导得， 所以， 故在处切线为：，整理得：， 在处切线为，整理得：， 所以，解得， 构造函数，， 令，解得：，故在递增，在递减， 故， ∵正实数，∴的取值范围是， 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），给出以下说法： ①函数f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数； ②函数f（x）在区间（－1,1）上无单调性； ③函数f（x）在x＝－处取得极大值； ④函数f（x）在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________． 【答案】①④ 【解析】 【详解】试题分析：由图像可知当时,可得此时; 当时,可得此时; 当时,可得此时; 当时,可得此时, 综上可得或时;当或时． 所以函数在和上单调递增;在上单调递减．所以函数在处取的极小值． 所以正确的说法为①④． 考点：用导数研究函数的性质． 13. 已知函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】，，解得，故，故答案为. 14. 设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】如图：|MN|＝f(t)－g(t)＝t2－lnt(t>0)， 令h(t)＝t2－lnt(t>0)， 则h′(t)＝2t－＝， 令h′(t)>0，得t>， 令h′(t)<0，得0<t<， ∴h(t)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． ∴当t＝时，h(t)取最小值，即t＝时，|MN|取最小值． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】由导数的四则运算法则代入计算，即可求解（1）（2）（3），由复合函数的求导法则即可求解（4）. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 【小问4详解】 ， ． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1），；（2）13 【解析】 【分析】(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解； (2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案． 【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，， 所以，即， 又由，则， 而由切线的斜率可知，∴，即， 由，解得， ∴，． (2)由(1)知，则， 令，得或， 当变化时，，的变化情况如下表： －3 －2 1 ＋ 0 － 0 ＋ 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4 ∴的极大值为，极小值为， 又，，所以函数在上的最大值为13． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 17. （1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间；（2） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，根据可得在定义域上的单调性; （2）求导函数，分类讨论,确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值. 【详解】解：（1）函数的定义域为, 且, 当时，，即函数在定义域上为增函数， 的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由（1）知,, ①若，则，即在上恒成立, 此时在上为增函数, 在上的最小值为, , （舍去） ②若,则，即在上恒成立, 此时在上为减函数, ，（舍去）. ③若，令，得. 当时,,在上为减函数； 当时，，在上为增函数， ， 综上可知： 19. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解； （2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性. 【小问1详解】 ， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 ，， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $