精品解析：湖北省部分省级示范高中2024～2025 学年下学期高二期中测试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2024~2025学年下学期期中测试 高二数学试卷 命题人：武汉市第十二中学 段玉慧 审题人：武汉市第二十三中学 何同海 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可. 【详解】由题意可知， 则. 故选：D 2. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的基本性质得出，再结合对数的运算性质可求得结果. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，且， 由等比数列的性质得， 因此，. 故选：B. 3. 系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 4. 函数在上单调递增的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，有极大值，即最大值，， 所以. 故选：A 5. 设函数的导函数，则数列的前100项和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的导函数可得，再利用裂项求和可求得结果. 【详解】由可得其导函数为， 又，可得，所以， 所以， 因此数列的前100项和为 . 故选：C 6. 已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到，解得， 代回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故B正确. 故选：B 7. 已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论. 【详解】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以. 故选：B 8. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于的自然数的平方有哪些，再列出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，最后算出这些数的排列数即可. 【详解】小于等于的自然数的平方有：，而 ， 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 所以一共有：个. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，局部元素相同法求排列数： 在对元素进行排列时，出现部分元素相同时，则要除以相同元素数量的全排列，以消除顺序，有多少就除多少； 思路点睛：解题时先求出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，再应用排列的相关知识求排列数，最后相加即为最后的答案； 关键点点睛：这道题考查排列及排列数问题，列出三种情况后能否求出其排列数是关键，故应对局部元素相同的排列数的求法加以巩固. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则计算即可. 【详解】由基本初等函数的导数公式可知，A正确； ，故B错误； ，故C正确； 令，则，则，， 则，故D错误； 故选：AC 10. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D. 【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列， 则有种排法，故A正确； 对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定， 则有种排法，故B正确； 对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列， 则有种排法，故C正确； 对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空， 则有种排法； 故选：ABC 11. 烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 数列的前n项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】写出前3项可判断A；利用累加法求出，继而可求出，判断B，利用作差法判断数列单调性可判断C；利用裂项相消求和可判断D. 【详解】A，由题意可知，显然，A错误； B，由题意可得， 则 ， 也适合，故， 所以 ，B正确； C，，则 ， 当时，， 即，故数列是递增数列，C正确； D，， 故数列的前n项和为 ，D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上， 因此，满足条件的四位数的个数为个. 故答案为：. 13. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质，结合等差数列前项和的性质即可求解. 【详解】由题意知， 由， 所以， 故答案为：4 14. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法令，可得，结合为偶函数可得，由，令可得，由为偶函数可得，再由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，有，所以， 因为为偶函数，所以， 由，令得，所以， 因为为偶函数，所以， 所以在点处的切线方程为， 即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，已知且． （1）求数列的通项公式； （2）在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）化简的表达式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的个数. 【小问1详解】 因为，即， 当时，可得，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得且， 所以，数列为首项为，公比为的等比数列，故. 【小问2详解】 由题可知： 所以集合 故集合中元素的个数为. 16. 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 （1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ （2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】（1）150 （2）14 【解析】 【分析】（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可； （2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可. 【小问1详解】 将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. 【小问2详解】 先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 17 已知． （1）求函数极值； （2）过点做曲线的切线l，求切线l的方程． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，得出函数单调性即可求得极值； （2）设切点为，求出切线方程代入点可求得切点坐标，即可得切线方程. 【小问1详解】 函数定义域为，， 当时，，则上单调递增，此时无极值； 当时，令，则，则在上单调递增； 令，则，则在上单调递减； 此时的极小值为，无极大值. 综合上述，当时，无极值； 当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 设直线与曲线的切点坐标为， 由（1）知，则在点处的切线斜率为， 故切线方程为，① 将点代入得 解得. 代回①得切线方程为. 18. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】（1）， （2）4231 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【小问1详解】 因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，， 两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 19. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导，借助于导函数的正负，即可判断函数的单调区间； （2）由是的两个不等实数根，由（1）知，构造新函数，利用函数的单调性分析证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，对函数求导得， 令，可得，此时，函数在上单调递减， 令，可得，此时，函数在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题知 不妨设，由（1）知， 要证，即证，即证， 又，即证， 令，其中， 则， 因为，则， 所以，，故函数在上为减函数， 又因为，所以对任意恒成立， 则，即，故成立. 接下来证明， 令，则，又， 即，所以， 要证，即证， 不等式两边取对数，即证， 即证，即证， 令，，则， 令，其中，则， 所以在上单调递减， 则当时，， 故当时，， 可得函数在上单调递减，可得， 即，所以， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省部分省级示范高中2024~2025学年下学期期中测试 高二数学试卷 命题人：武汉市第十二中学 段玉慧 审题人：武汉市第二十三中学 何同海 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A B. C. 1 D. 2. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上单调递增的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的导函数，则数列的前100项和是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 8. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 11. 烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（ ） A B. C. 数列是递增数列 D. 数列的前n项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 13. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则_______． 14. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，已知且． （1）求数列的通项公式； （2）在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数． 16. 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 （1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ （2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 17. 已知． （1）求函数的极值； （2）过点做曲线的切线l，求切线l的方程． 18. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 19. 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）若有两个不相等的实数根，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$