精品解析：2025年湖南省岳阳市湘一南湖学校中考 一模数学试题

湘一南湖学校2025年上学期八年级一模考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成（ ） A. 6组 B. 7组 C. 8组 D. 9组 6. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 10. 如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（ ） A. 18 B. 17 C. 15 D. 16 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 12. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 13. 关于x的一元二次方程有一个根是，则_________． 14. 点、是直线上的两点，则______（填“”或“”或“”）． 15. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 17. 年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为________ 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则___________．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是___________． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，答题64分，书写2分，写出必要的解答过程） 19. 解方程： 20. 计算： 21. 如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． （1）坐标原点应为______的位置． （2）在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） （3）图书馆的坐标是______； （4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 22. 如图，在中，，，平分，交于点． （1）求的周长； （2）若，求的度数． 23. 某校举行了“向海图强当先锋”国防教育知识竞赛，为了了解学生对国防教育知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对成绩进行了统计． 组别 成绩x/分 频数 频率 A 6 0.1 B 12 0.2 C m 0.25 D 18 n E 9 0.15 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）甲同学说：“我的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”则甲同学的成绩在哪个范围内？说明理由． 24. 【综合与实践】 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 （1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？ （2）求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； （3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图． （1）已知点的坐标为， ①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积； ②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式． （2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围． 26. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2025年上学期八年级一模考试 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可． 【详解】点A(2,4)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(−2,−4)， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数． 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 5. 一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成（ ） A. 6组 B. 7组 C. 8组 D. 9组 【答案】A 【解析】 【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：在样本数据中最大值为100，最小值为45，它们的差是， 已知组距为10，那么由于， 故可以分成6组． 故选：A． 【点睛】本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可． 6. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为， 故选：C 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法成为解题的关键． 根据作图过程可得，平分，如图：过F作，根据角平分线的性质定理可得，据此即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， 如图：过F作， ∵点到的距离为4， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，正确理解题意求出，，，的坐标，得到规律是解题的关键． 【详解】解：点的坐标是，的终结点为，点的终结点为，点的终结点为， 即， ，，， 点坐标每4个为一个循环， ， 点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标是， 故选：B． 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 10. 如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（ ） A. 18 B. 17 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键． 先利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式求得、、，再运用两点间的距离公式求得；再证明可得、，则，即D点纵坐标为4，易得，再根据可得，最后作差即可解答． 【详解】解：将代入得：， 反比例函数的解析式为∶ ， 将代入得∶， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶ ，解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∴ 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴D点纵坐标为4， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 12. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，根据频数总次数频率进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：名， 该班学会炒菜的学生有18名． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有一个根是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程解的概念，将代入一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程有一个根是， ，解得， 故答案为：． 14. 点、是直线上的两点，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的增减性，根据k值判断一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据一次函数中时，y随x增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随x增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为． 15. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 17. 年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 【详解】解：∵，， ∴ ∴正方形的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是的中点，即为的斜边上的中线， ∴． 故答案为：． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则___________．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是___________． 【答案】 ①. 384 ②. 82 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的运算和有理数的混合运算，根据题意可知，且，利用已知定义即可求得；设，则，可求得，结合题意可知能被5整除，则能被5整除，令，分情况计算求得满足条件的最大“过数”与最小“过数”并作差即可． 【详解】解：当，则， ∴， 设， 则， ， ∵与的个位数字之和能被5整除，且， ∴， 则能被5整除， 令， 当时，或或或； 当时，或或或或或或或； 当时，或或或； 满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是， 故答案为：384，82． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，答题64分，书写2分，写出必要的解答过程） 19. 解方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或． 所以该方程组的解为：或． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法是解题的关键．根据零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法法则即可求解． 【详解】解：原式 21. 如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． （1）坐标原点应为______的位置． （2）在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） （3）图书馆的坐标是______； （4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【答案】（1）高中楼 （2） 建立平面直角坐标系，如图所示： （3） （4） 解：宿舍楼如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据坐标系中的位置即可得到答案， （4）根据坐标系解答即可． 【小问1详解】 解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是， ∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置， 故答案为：高中楼 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由坐标系可知，图书馆的坐标为， 故答案为： 【小问4详解】 略 22. 如图，在中，，，平分，交于点． （1）求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形周长公式计算即可； （2）根据平行四边形的性质得到，得出，由平分得到，继而得到，求出结论． 【小问1详解】 解：在中，，， 的周长； 【小问2详解】 在中，， ， 平分，， ， ， 23. 某校举行了“向海图强当先锋”国防教育知识竞赛，为了了解学生对国防教育知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对成绩进行了统计． 组别 成绩x/分 频数 频率 A 6 0.1 B 12 0.2 C m 0.25 D 18 n E 9 0.15 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）甲同学说：“我的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”则甲同学的成绩在哪个范围内？说明理由． 【答案】（1）15；0.3 （2） 补全直方图为： （3）甲同学的成绩x应该是， 理由：一共由60组数据， ∴中位数应该是第30，31个数的平均数， ∵， ∴中位数落在C组， ∴甲同学的成绩x应该是． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方表和直方图，中位数． （1）用频数除以频率可得抽取的学生总数，将总数乘以C组的频率，即可得m，将D组的频数除以总数，即可得n． （2）由（1）中求得的m值即可补全直方图． （3）根据中位数的概念求解即可． 【小问1详解】 解：抽取调查的学生总数为，C组频数为，即，D组的频数为，即； 故答案为：15；0.3． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 【综合与实践】 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 （1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？ （2）求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； （3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 【答案】（1）压力F不变 （2）， （3） 这种摆放方式不安全． 理由：由已知， 此时， ∴这种摆放方式不安全． 【解析】 【分析】（1）根据表格当中所给数据分别计算出F的值，可知压强P与受力面积S的乘积不变，即压力F不变； （2）用待定系数法可得函数关系式，把代入关系式中，可得a的值； （3）先求出S，再代入函数关系式中求出P，然后与4000比较大小即可得到答案． 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数关系式． 【小问1详解】 由表中数据可知 当时，， 此时； 当时，， 此时； 当时，， 此时； 由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变． 【小问2详解】 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； 【小问3详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图． （1）已知点的坐标为， ①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积； ②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式． （2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①6；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，由，，可知“相关矩形”的边长分别为，进而可求面积；②由的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，可知正方形的边长为1，点坐标为或，然后利用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点M在点E处，点M在点F处，及点M在线段上判断点D所在的位置，即可判断出m的取值范围． 【小问1详解】 ①解：由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴“相关矩形”的边长分别为3，2， ∴面积为， ∴点，的“相关矩形”的面积为6； ②解：∵的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形， ∴正方形的边长为1，点坐标为或， 当时，设直线的表达式为， 将代入得，， ∴直线的表达式为； 当时，设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； 综上所述，直线表达式为或． 【小问2详解】 ①当点M与点E重合时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的坐标为， ， ②当点M与点F重合时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的坐标为， ， ③当点M在之间时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的纵坐标m在2和3或者0和1之间． 或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标等知识．理解题意，熟练掌握坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标是解题的关键． 26. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】（1） （2）； （3） 解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【解析】 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 【小问1详解】 解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了直线过定点，一元一次方程有无数解，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，平移，熟练掌握待定系数法，平移，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $