精品解析：甘肃省武威第二中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

武威二中2024-2025学年度第一学期期末考试 高二 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方向向量得斜率，由点斜式化为一般式即可. 【详解】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为， 又它经过点，所以直线的方程为，即. 故选：B. 2. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据是方程的两根，利用等比数列的性质求得，再利用对数运算求解. 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∵数列为正项等比数列， ∴， ∴， 故选：A． 3. 设数列满足，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 4. 3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用组合数，结合插空法求随机排的方法、2个1不相邻的排法，再应用古典概型的求法求概率. 【详解】一行5个位置，其中3个放0，余下放置1，有种， 若2个1不相邻，即在3个放0的位置所成的4个空，选2个放置1，有种， 所以2个1不相邻的概率为. 故选：C 5. 经过向圆作切线，切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线； （2）当切线斜率存在时，设切线方程为， 由到切线距离为得， 此时切线方程为即. 故选：C 6. 某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、， 若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组， 则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种； 若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇， 只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种. 接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校， 因此，不同的安排方案种数为种. 故选：C. 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ） A. B. 24 C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径. 【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则， 所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由椭圆离心率公式求得，再利用椭圆和双曲线的定义，结合勾股定理得到，从而得解. 【详解】依题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为， 因为，则在中，， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第二象限， 因为，所以，则， 由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：， 则，则， 则，则，又，解得. 所以的离心率. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用共焦点的椭圆与双曲线的定义，推得两个离心率之间的关系，从而得解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．） 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 10. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到. 【详解】AB选项，由等差数列性质得到， 又，所以， 设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误； C选项，因为，，则的最大值为，C正确. D选项，因为，故，D错误. 故选：BD 11. 已知圆则下列说话正确的是（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在圆上，则 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据直线过定点，得到定点在圆内，进而即可A；圆心到直线的距离为，即可得到有4个点满足进而即可B；根据条件可知两圆外切，进而即可判断C；令，可得表示为直线截距的2倍，再根据直线与圆相切时，直线的截距取得最值，进而即可判断D正确. 【详解】对于A，由，则，即直线过定点， 又，则定点在圆内，所以圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，由圆的圆心到直线的距离为， 又圆的半径为3，则到直线的距离为1的两条直线都与圆相交，所以存在4个点满足，故B正确； 对于C，圆化简得到， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，故C正确； 对于D，令，则，则表示为直线截距的2倍， 又动点在圆上，则当直线与圆相切时，直线的截距取得最值， 则，解得，所以，故D正确． 故选：ABCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件利用二项式系数的性质求得，再利用二项展开式的通项公式求得的系数． 【详解】由条件可得，， 的展开式的通项公式， 令，解得，故的系数为. 故答案为：. 13. 已知点在圆上，点，当最大时，则线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如下图所示：当 最大时，与圆M相切， 连接，可知，,, 由勾股定理可得, 故答案为：. 14. 已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可知过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，只需圆心与定点距离即为点线距离，结合点线距离、两点距离公式列方程求值，进而写出的方程. 【详解】由可得， 由解得， 所以直线过定点， 由可知，圆心为，半径为5， 所以要使直线被圆截得的弦长最短，则圆心与定点距离即为点线距离， 所以，解得， 所以的方程为，整理得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求符合下列条件的曲线方程： （1）求过，，三点的圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同渐近线且过点的双曲线方程； （3）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点的抛物线的标准方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数求圆的方程即可； （2）根据共渐近线方程的特点设方程为，代入点求解； （3）设出抛物线方程，代入点求解. 【小问1详解】 设所求圆的方程为：，， 由圆经过，，三点， ∴，解得： 则所求圆的方程为：， 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 双曲线与有共同双曲线，可设为，如图， 由所求双曲线过点，则， 故双曲线方程为，即； 【小问3详解】 因为点在第二象限，如图， 所以设抛物线的标准方程为或. 又点在抛物线上，所以，， 即抛物线的标准方程为或. 16. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求的值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 【答案】（1）条件选择①或选择②， （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值． （2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值． 【小问1详解】 若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 【小问2详解】 由（1）可得， ①的二项展开式的中间项为． ②二项式展开式的通项公式为， 所以、、、、为正数，、、、为负数． 在中，令． 再令，可得， ∴． 17. 已知数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）累加法计算通项公式即可； （2）利用裂项相消法计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以，，，， 累加得， 因为，所以，故； 【小问2详解】 ， ． 18. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线焦点坐标即可得，可求出的方程为； （2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理可得，再求得过两点的切线方程并求出交点坐标为，由弦长公式和点到直线距离公式写出面积的表达式为，可得面积最小值. 【小问1详解】 由题意，抛物线的焦点为， 由双曲线可得， 即可得，解得， 所以的方程为 【小问2详解】 如图所示， 设，则， 联立方程组整理得， 所以，且， 所以 由，可得，则， 所以抛物线的过点的切线方程是， 将代入上式整理得， 同理可得抛物线的过点的切线方程为， 由解得， 所以， 所以到直线的距离， 所以的面积 ， 当时，， 所以面积的最小值为. 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 因为． 所以，① ，② ①-②得， 整理得， 因为．所以 【解析】 【分析】（1）根据求出； （2）错位相减法求和得到，结合，得到. 【小问1详解】 由题知，当时，，则． 又．① 当时，，② ①-②得， 所以． 当时，也适合． 综上，数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威二中2024-2025学年度第一学期期末考试 高二 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设数列满足，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 3 4. 3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 经过向圆作切线，切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ） A. B. 24 C. 32 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．） 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 10. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 11. 已知圆则下列说话正确的是（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在圆上，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为__________． 13. 已知点在圆上，点，当最大时，则线段的长度为_________． 14. 已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求符合下列条件的曲线方程： （1）求过，，三点的圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同渐近线且过点的双曲线方程； （3）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点的抛物线的标准方程. 16. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求的值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 17. 已知数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 19. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $