湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

沅澧共同体2025年上学期高二期中考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，则“”的一个充分条件是 A． B． C． D． 3．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 A． B． C． D． 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．已知，则在复平面内所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在的展开式中，的系数是 A． B． C．20 D．40 7．在等差数列中，前项和为，若，则 A．18 B．33 C．36 D．40 8．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件满足，下列说法正确的是 A． B．事件与事件相互独立 C． D． 10．设函数，则下列选项正确的是 A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 11．如图，在四面体中，，，，，， 分别为棱上的动点，则下列选项正确的是 A．的最小值为 B． C．直线与面所成角为 D．四面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，且，则 . 13．已知函数，若，则的取值范围是 . 14．已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 在中，分别是角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求的值. 16．(本小题满分15分) 已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数在的最大值和最小值； (3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 18．(本小题满分17分) 在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 19．(本小题满分17分) 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 高二数学试题卷 第1 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$沅澧共同体2025年上学期高二期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 3 6 答案 B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 0.04 13.(4,6 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) (1)由(2a-C)cosB=bc0sC和正弦定理，可得2 sin Acos B-sinC cosB=sin B cosC2分 .'2sin Acos B=sinCcos B+sin B cosC=sin(B+C)=sinA. 4分 1 ,Ae(0,),.sinA≠0，∴.cosB= 2 5分 又：B∈0，)，B= 3 6分 (2)由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B, …7分 .49=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=169-3ac,解得a0=40,9分 由a+c=13可得a=13-c,代入上式可得(13-C)C=40,11分 解得：c=5或c=8(此时a=5<c,不合题意，舍去) 12分 所以a=8,C=5.13分 16.(本小题满分15分) (1)f'(x)=x2+(b+2)x+b+ce,因为f(x)在点P处的切线方程为2x+y-1=0.…2分 所以有f(0)=b+c=-2,f(0)=c=1.… .4分 所以解得b=-3,c=1. 5分 (2)由(1)可得f(x)=(x2-3x+1)e,f(x)=(x2-x-2)e2=(x-2)(+1)e.6分 当f(x)=0,x=-1或r=2 7分 数学参考答案第1页（共4页） (-0,-1) （-1,2) 2 (2,+0) f() + 0 0 f(田) 单调递增 5 单调递减 e 单调递增 e 所以f(x)在[-3，-和[2,3]上单调递增，[-12]上单调递减，又因为计算可得 -3)-19e3j-H)=j(2)=-c,j3)=c 9分 所以∫(y)在[-3,3]的最大值为C3,最小值为-e2.…10分 （3)由（2》可知，f儿国的极大值为-)-总，极小值为f2)=-e12分 当x(0,x2-3x+1）0,e>0,所以f（()>0,当x→时，f()→+o013分 所以当且仅当me(e.0小~得时，方程了=m恰有丙个不等实根15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)a1+(n+1)=2a.+n-1+n+1=2a+2n=2(an+川），…2分 又al=2,3分 数列{a+仍是以2为首项，2为公比的等比数列… 5分 (2)由(1)得：a+1=2×2=2,a.=2-n 9分 (3)由(2)得S=(2+22+2++2）-(1+2+3+…+川= 2(1-2）n(n+1) 13分 1-2 2 =21-2-nn+) LAAEAAEEA4644CA0LERA4ANEEAL6A844044RLABEEAEBAAEBAARAAAE64E884844A844064 2 18.(本小题满分17分) 解：(1)DA⊥AC,,PA⊥AC 2分 又PA⊥BC,AC∩BC=C,ACC平面ABC,BCC平面ABC,4分 PA平面ABC5分 (3)以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系， 6分 由∠DAB=150,AC⊥AD,∠BAC=60 PA=AB=3,AC=2,则A(0,00),P(0.0,3).C(5,10)B03,0),7分 故P元=-(N5,1-3=(0,03)BC=(5,-2,0）, 数学参考答案第2页（共4页） 设平面PAC的一个法向量为4=(，，)， 则 P0m=3x+y-3%=0,取n=-5,0) 11分 AP=32=0 设平面PBC的一个法向量为，=(，y2,32), P℃元=5，+y-3=0,故可取%-(255) 则 BC=3x-2v:=0 14分 设二面角A-PC-B的平面角为O, 则cos 2-1儿 10 20 故sim6=V390 20 16分 所以二面角A-PC-B的正弦值为V390 20 17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题意Q=FQ,则△Q里是等腰直角三角形，即得b=c,从而a2=2b…2分 又椭圆过点P(2.】则有合+分-1解得公2=6.公=34分 椭圆C的方程：上+少5分 63 (2) ①油(1)知椭圆C的方程为。士号1，设直线的方程：y=kK-2+1,6分 则l的方程是y=-k(-2)+1.令A(x,),B(x2,乃)， 7分 数学参考答案第3页（共4页） y=k(x-2)+1 的 可得(1+2k2)x2+(4-8k)x+8k2-8k-4=0 则有气x, 8k2-8k-4 1+2k2 8分 X=2x= 1+2:=k6-24152-4+1 4k2-4k-2 1+2k2 同理得书= 4k2+4k-2 -2k2+4k+1 1+2k 1+2k 9分 -2k2+4+1-2k2-4k+1 w=凸当。 ,1+21+22 8k 111s分 X:-X 42+4k-242-4k-2 1+2k2 1+2k2 即直线AB的斜率为定值，且定值为1…。 12分 4k2-4k-2-2k2-4k+1 42+4k-2-2k2+4k+1 ②由①知A 1+2k21+2k B 1+2k2 1+2k2 11分 128k2 128 则AB=V3-x)广+(y-)月 V1+2k) 4k2+ 1 14分 又+日之4，当且仅当京即当k=±号时等号成立。 2 】6分 所以Ms 4,即AB引的最大值为4………… 数学参考答案第4页（共4页）