精品解析：山东省烟台蓬莱区 2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（五四制）

蓬莱区2024—2025学年度第二学期中学业水平检测 初三数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 邻边相等 D. 对角线平分一组对角 6. 利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（ ） A. 2025 B. C. D. 9. 若，则（ ） A. 2007 B. 2008 C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 13. 已知：，则________． 14. 关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为_________． 15. 如图，矩形中，，点P、E分别在、上，则的最小值是______． 16. 如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为的中点，连接，若，，，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 用指定的方法解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（用适当的方法） 19. 先化简再求值：，其中． 20. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得：______（用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 21. 已知关于x的一元二次方程（其中）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； （2）当该方程有实数根时，求m的取值范围． 22. “当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 24. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2024—2025学年度第二学期中学业水平检测 初三数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：B 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断． 【详解】解：A. ,本选项不成立； B. ，本选项不成立； C. =，本选项不成立； D. ，本选项成立. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到，再由无理数估算得到，最后由不等式性质即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，且， ，即的值应在4和5之间， 故选：B． 5. 下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 邻边相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 6. 利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图作一个角等于已知角；尺规作图作角的平分线；尺规作图垂直平分线，利用作一个角等于已知角判断A，利用等腰三角形与角平分线角度转换判断B，利用菱形的性质判断C，利用垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：A．根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，不符合题意； B．此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，不符合题意； C．如图所示， 由题意可得， ∴四边形是菱形 ∴，不符合题意； D．作出线段的垂直平分线，无法证明平行，符合题意． 故选：D． 7. 今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．利用上映第三天的票房=上映第一天的票房×（1+每天票房的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选C． 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 9. 若，则（ ） A. 2007 B. 2008 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得：，即，则先去绝对值，移项后再平方即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， 即：， ，即， 故选B． 【点睛】本题考查了去绝对值及二次根式有意义的条件，熟练掌握去绝对值的方法及二次根式有意义的条件是解题的关键． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知：，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，令，原方程变形为，求出解后根据进行取舍即可． 【详解】解：令，原方程变形为， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 14. 关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，结合乘积为1的两数互为倒数，得到，求出的值，再根据根与系数的关系求出两根之和即可． 【详解】解：设的两个根为， 则：， ∵关于的方程的两实数根互为倒数， ∴， ∴， 当时，，此方程无解，不符合题意； 当时，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，点P、E分别在、上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接．证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接． ∵，， 由翻折可知，，，， ∵， 又∵， ∴的最小值就是线段的长， 在中，，，， 则， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 16. 如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为的中点，连接，若，，，则的长度为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理，全等三角形的判定及性质，由已知及正方形的性质可求，证明后可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 用指定的方法解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（用适当的方法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）把移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解即可； （2）首先找出方程中a、b和c的值，求出，进而代入求根公式求出方程的解即可； （3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴原式． 20. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得：______（用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）利用分母有理化的方式进行求解即可； （2）把各数进行分母有理化，从而可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知关于x的一元二次方程（其中）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； （2）当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【答案】（1），方程的另一个根为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入原方程得：， 解得： ∴原方程为 ∴ ∴或 解得， ∴方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：当该方程有实数根时， ， 解得：， ∵是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为． 22. “当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）此时每套辅导书的售价为30元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意列出y关于x的一次函数即可． （2）根据总利润为列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意可得： 整理得：， 解得：，， 要最大限度让利消费者， ， 答：此时每套辅导书的售价为30元． 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 【答案】（1）菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在和中，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 24. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3） 不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $