精品解析：2025年河北省邢台市平乡县县直中学中考二模数学试题

2025年名校计划 河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（拔高型） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算，则“□”中的运算符号为（ ） A. B. C. D. 2. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（ ） A. 减少5 B. 减少10 C. 增加6 D. 增加10 4. 下列计算结果与结果不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 8. 某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（ ） A. 18个 B. 10个 C. 9个 D. 8个 9. 如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（ ） A B. C. D. 10. 沧州市某天的气温随时间t的变化情况如图所示，设表示到，气温值的极差，则与t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在y轴上，，且轴，函数的图象过点，且与交于点D，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（ ） A. 甲的说法正确 B. 乙的说法正确 C. 丙的说法正确 D. 三人的说法都正确 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉琪参加了一个摸球抽奖游戏，一个不透明的盒子里有1个红球，3个白球，3个黄球，5个绿球，这些小球除颜色外完全相同，从箱子中摸出1球，摸到白球的概率为________． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是上一点，且，，两点分别是、上的动点，则的最小值为________． 15. 对于实数P，我们规定：用表示不大于最大整数，例如：，，…，则（其中“+”“-”依次相同）的值为________． 16. 如图，在中，，，是的底边上的高，且．线段是的中线，点P是线段上一点，连接．将线段绕点E逆时针旋转至点，交的延长线于点F，若点P为中点，，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）通过计算，说明出租车离A市多远？ （2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； （3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 18. 如图，是的直径，C，D是上两点，点C是的中点，过点C作的垂线，分别交与的延长线于点E和点F． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）若，通过计算比较的直径与劣弧的长度哪个更长． 19. 如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 20. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． 图1 图2 图3 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ） 图4 A． B． C． D． （3） 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 21. 眼睛是人类观察世界的重要器官，是人类从外界获取信息，与外界沟通的重要媒介，眼睛是心灵的窗口，每年6月6日是全国“爱眼日”，今年“爱眼日”的主题——爱眼、护眼、远离眼盲．某中学为了解本校学生视力健康状况，组织趣味数学小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 （1）有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是________． 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成统计表和一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 正常 轻度不良 中度不良 重度不良 人数 160 m n 56 三、分析应用数据 （2）调查视力数据的中位数所在类别为________类； （3）该校共有学生1800人，求出m，n的值并估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； （4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 22. 【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），称函数为一次函数的关联函数． 理解运用】 （1）例如：一次函数的关联函数为 若点在一次函数的关联函数的图象上，则m的值为________． （2）已知一次函数，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程： ①填表： x … 0 1 2 … y … … ②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的关联函数的图象； ③若，则y的取值范围为________． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年名校计划 河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（拔高型） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算，则“□”中的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴“□”中的运算符号为：．   故选：D ． 2. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意； B、由图可知：不是的中线，故不符合题意； C、由图可知：不是的中线，故不符合题意； D、由图可知：不是的中线，故不符合题意； 故选A． 3. 对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（ ） A. 减少5 B. 减少10 C. 增加6 D. 增加10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选C． 4. 下列计算结果与结果不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后可排除选项． 【详解】解：∵，，，， ∴结果不相同的是B选项； 故选B． 5. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出和，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角度数为：， 正方形的每个内角度数为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．   故选：C ． 6. 用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 7. 如图，一个由7个小正方体组成立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义分析，可知当拿走第二层的正方体后，俯视图不会发生变化，据此即可求解． 【详解】解：依题意，拿走第二层的正方体后，即①和④，俯视图不会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的定义，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 8. 某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（ ） A. 18个 B. 10个 C. 9个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 9. 如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的最值问题、切线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的最值问题、切线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；设半圆O与的边相切的切点为D，连接，过点O作于点F，交半圆O于点E，由题意易得，，，然后通过证明，得到，，进而根据圆的最值问题可求解． 【详解】解：设半圆O与的边相切的切点为D，连接，过点O作于点F，交半圆O于点E，如图所示： ∵，，， ∴， ∵直径为2的半圆O与的边相切的切点为D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点P与点F重合，点Q与点E重合时，有最小值，最小值为， 根据圆外的点到圆上的点距离为最大时，需经过圆心，所以当点P与B重合时，且Q也在线段上时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值和最小值之积为； 故选B． 10. 沧州市某天的气温随时间t的变化情况如图所示，设表示到，气温值的极差，则与t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从函数的图象获取信息；根据极差分析出的变化规律，再反映到函数图象上即可求出． 【详解】解：∵极差是该段时间内的最大值与最小值的差． ∴当t从0时到5时，极差逐渐增大； 当t从5时到10时，极差不变； 当t从10时到14时，极差逐渐增大； 当 t从14时到24时，极差不变， 所以的变化规律是先变大，然后一段时间不变，随后又变大，最后不发生变化， 反映到函数图象上是先上升，然后是一段平行于x轴的线段，再上升，最后是一段平行于x轴的线段． 故选：A． 11. 如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在y轴上，，且轴，函数的图象过点，且与交于点D，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合及等腰三角形的性质是解题的关键；过点A作于点E，由题意易得，然后可得，进而可得直线的解析式为，联立函数解析式可得点D坐标． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴， 过点A作于点E，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴； 故选A． 12. 如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（ ） A. 甲的说法正确 B. 乙的说法正确 C. 丙的说法正确 D. 三人的说法都正确 【答案】D 【解析】 【分析】延长，过点A作于点F，证明，得出，，，证明，得出，，，得出为直角三角形且，故甲说法正确；根据，，得出，故乙说法正确；根据，，即可证明，故丙说法正确． 【详解】解：延长，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴为直角三角形且，故甲说法正确； ∵，， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故丙说法正确； 综上分析可知：三个人的说法都正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉琪参加了一个摸球抽奖游戏，一个不透明盒子里有1个红球，3个白球，3个黄球，5个绿球，这些小球除颜色外完全相同，从箱子中摸出1球，摸到白球的概率为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式进行求解是解题的关键；由题意易得箱子中总共有12个球，其中白球有3个，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： 箱子中总共有个球，其中白球有3个，所以从箱子中摸出1个球，摸到白球的概率为； 故答案为． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是上一点，且，，两点分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短问题、矩形的性质、三角函数，熟练运用垂线段最短是解题的关键．先过点作交于点，过点作交于点，反向延长交于点，得到为所求，利用勾股定理可求的长，利用三角函数可求、的长即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， 又， 为等腰直角三角形， ，， 过点作交于点，过点作交于点，反向延长交于点， 此时为最小，， ， ，， ， ， 易得四边形为矩形， ，即， 故答案为：． 15. 对于实数P，我们规定：用表示不大于的最大整数，例如：，，…，则（其中“+”“-”依次相同）的值为________． 【答案】23 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是理解新定义；由题意易得，，，，……，，，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，，……，，……，，，， ∴ ； 故答案为23． 16. 如图，在中，，，是的底边上的高，且．线段是的中线，点P是线段上一点，连接．将线段绕点E逆时针旋转至点，交的延长线于点F，若点P为中点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握旋转的性质、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键；过点E作于点H，连接，过点F作于点G，由题意易得，，则有，然后可证，则，，进而通过及30度角的三角函数可进行求解． 【详解】解：过点E作于点H，连接，过点F作于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的底边上的高，且， ∴，， ∵点P为中点， ∴， ∵线段是的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则有， 在中，， 解得：， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）通过计算，说明出租车离A市多远？ （2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； （3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】（1）4千米 （2）6 （3）升 【解析】 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【小问1详解】 （千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； 【小问2详解】 ∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； 【小问3详解】 （升） ∴该出租车一天共耗油升． 18. 如图，是的直径，C，D是上两点，点C是的中点，过点C作的垂线，分别交与的延长线于点E和点F． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）若，通过计算比较的直径与劣弧的长度哪个更长． 【答案】（1）与相切，证明见解析 （2）劣弧的长度更长，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，证明，则，所以，即可证明是的切线； （2）设，在中根据勾股定理列方程求得，则，所以，可求得，即可根据弧长公式求出的长，然后与直径比较即可． 【小问1详解】 与相切． 证明：如图，连接，，则， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵是的半径，且， ∴是的切线； 【小问2详解】 设，则． 在中，根据勾股定理得， ∵，且， ∴， 解得r＝3， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长． ∵的直径为6，且， ∴劣弧的长度更长． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19. 如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 20. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． 图1 图2 图3 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ） 图4 A． B． C． D． （3） 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 【答案】（1）2； （2）C； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解． 【小问1详解】 解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形正方形， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴的值为：． 【小问2详解】 解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【小问3详解】 解： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2 所用卡纸总费用（单位：元） 58 根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： ∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图： ∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则 （个）， ∴所用卡纸总费用为： （元）． 21. 眼睛是人类观察世界的重要器官，是人类从外界获取信息，与外界沟通的重要媒介，眼睛是心灵的窗口，每年6月6日是全国“爱眼日”，今年“爱眼日”的主题——爱眼、护眼、远离眼盲．某中学为了解本校学生视力健康状况，组织趣味数学小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 （1）有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是________． 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成统计表和一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 正常 轻度不良 中度不良 重度不良 人数 160 m n 56 三、分析应用数据 （2）调查视力数据的中位数所在类别为________类； （3）该校共有学生1800人，求出m，n的值并估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； （4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 【答案】（1）方案三；（2）B；（3），该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数792名；（4）建议见详解 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、扇形统计图及调查统计，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由扇形统计图可知A、B两个类别的总和为，然后根据中位数的意义可进行求解； （3）根据统计表及扇形统计图可进行求解； （4）只要关于保护视力的建议都可以． 【详解】解：（1）有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是方案三； 故答案为方案三； （2）由扇形统计图可知：A、B两个类别的总和为，所以中位数所在的类别是B类； 故答案为B； （3）由题意得： ， ∴， ∴（名）； 答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数792名； （4）所提建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操． 22. 【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），称函数为一次函数的关联函数． 【理解运用】 （1）例如：一次函数的关联函数为 若点在一次函数的关联函数的图象上，则m的值为________． （2）已知一次函数，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程： ①填表： x … 0 1 2 … y … … ②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的关联函数的图象； ③若，则y的取值范围为________． 【答案】（1）5 （2）①见详解；②见详解；③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系和一次函数图像上点的坐标特征．正确的理解题意是解题的关键． （1）注意的取值范围，将代入即可求解； （2）①注意的取值范围，将表格内的值分别代入，求出的值填入即可； ②将①中得出的点坐标在平面直角坐标系中画出，然后连接即可； ③分别求出，，时，的值，结合图形即可求得对应的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得一次函数的关联函数为， 点在一次函数的关联函数的图象上，且， 把代入， 解得：， 故答案为：5． 【小问2详解】 解：① x … 0 1 2 … y … 5 2 2 5 … ② ③当时， ； 当时， ； 时， 当时， ； 时，， 时，． 故答案为：． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积； （2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接， 交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值； （3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在的劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点P在矩形内部以为直径的上运动， 连接， 交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值； （3）连接，作的外接圆，连接，如图3， ∵四边形是菱形， ∴米，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点H在的劣弧上运动， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，米，，过点O作于点M，如图， 则米， ∴米， ∴米， ∴米， 记与相交于点，则米， ∴米， ∵米， ∴最小值为的长，即的最小值为米 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为， 将代入解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． 【小问4详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$