江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（一）

江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（一） 注意事项： 1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个数中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 2．2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（    ） A．6 B．8 C． D．12 5．如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 8．饺子（本名杨宇）是80后编剧导演，执导的《哪吒之魔童闹海》再创新纪录，此片已达全球影史票房榜第五位，票房约15100000000元，用科学记数法表示15100000000为 ． 9．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是 cm2. 10．一个多边形的内角和与外角和的差为，则它是 边形． 11．若为的两根，则的值为 ． 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ． 13．在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 14．如图，在网格中有格点A、B、C，连接、，则 ． 15．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解不等式组． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，在四边形中，，，连接，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，．若，，则菱形的边长为_________． 20．小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 (1)路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； (2)求路线连续10天用时的平均数和方差； (3)经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 21．某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． (1)若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； (2)若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 22．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 23．如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 24．代数式，代数式． (1)当时，若，则的取值范围是_________； (2)若，，判断代数式与的大小，并说明理由； (3)将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 25．如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 26．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 27．如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D D B A 1．C 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的是， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 3．D 【分析】首先利用积的乘方，把括号里的每个因数分别乘方，可得；接下来利用幂的乘方法则进行计算，即可得到答案． 【详解】． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂运算的题目，解题的关键是掌握积的乘方以及幂的乘方法则． 4．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，先证明，可得出没然后根据三角形中线的性质可得出，根据勾股定理的逆定理可得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线，交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明，再证明，据此根据三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的度数为的度数的一半， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解． 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 7． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9．15π 【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为l， ∵r=3cm，h=4cm， ∴母线l=cm， ∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 10．九 【分析】根据题意，可知多边形的内角和为，多边形的外角和是，再根据内角和外角和列出方程，求出边数即可． 【详解】解：设这是一个n边形，则 ， 解得． 答：它的边数是九边形． 故答案为：九． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和，根据外角和的度数以及内角和度数之间的关系列出方程是解出本题关键． 11． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：因为为的两根， 所以，， 则， 所以， 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键． 根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得， ， 又∵， ， 则， ∴． 故答案为：2． 13．/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二次函数的最值问题，先把（是常数）变形，再对比求出，的值，最后进行相加，计算出最小值，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作于点E，过点B作于点D，由题意得：，，，然后利用面积法求出的长，从而在中利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 15．2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 16．或 【分析】本题考查了一次函数与轴对称，旋转变换，中点坐标公式，掌握待定系数法求一次函数的解析式以及几何变换是解题的关键． 根据题意得，连接，由旋转可知，绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，从而可求出点，进而可得直线m表达式为，联立直线m与直线l，可得交点，的中点，的中点坐标，则过两点的解析式即为直线的表达式，则过两点的解析式即为直线的表达式，由此即可求解． 【详解】解：设直线与轴交于点，令，则，令，则，如下图所示，，连接， ∵绕点逆时针旋转得到直线，则， 相当于绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点，延长交轴于点，过点作延长线于点，则四边形是矩形，，，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，则， ∴，，则， 同理，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 设直线表达式为，代入两点坐标， ∴， 解得， 故直线表达式为， 如图所示，设直线与直线的交点为，连接，设与对称轴直线交于点， 联立直线与直线，得， 解得，即直线与直线的交点坐标为， ∵， ∴，即的中点为， 同理，的中点坐标为，即， ∵将直线沿直线翻折与直线重合，如图所示， ∴直线经过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， 即， 解得， 即直线的函数表达式为； 当对称轴为直线时，直线过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为； 综上所述，直线的函数表达式为或， 故答案为：或． 17． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除号后面的分式的分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是四边形是平行四边形，再结合，邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形为菱形； （2）先利用菱形的性质得到，然后证明三角形和三角形全等得到的长度，再根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． （2）四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理 ， 又， ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、三角形相似的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，三角形的全等的判定与性质是解答的关键． 20．(1)； (2)平均数为；方差为 (3)建议选择路线B，理由见解析 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和方差，熟知相关中位数，众数，平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出平均数，再计算出方差即可； （3）路线B的中位数，平均数和众数都小于A对应的中位数，平均数和众数，据此可得结论． 【详解】（1）解：路线A连续10天的用时按照从低到高排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，处在第5名和第6名的时间分别为，， ∴路线连续10天用时的中位数是； ∵路线B中，用时为的天数最多， ∴路线连续10天用时的众数是； （2）解：平均数为， 方差为； （3）解：建议选择路线B，理由如下： 从平均数的角度看，路线A的平均数大于路线B的平均数；从中位数来看，路线B的中位数小于路线A的中位数；从众数来看，路线B的众数小于路线A的众数， 综上所述，路线B比路线A更节约时间，故建议选择路线B． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙两款的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有乙、丙、丁三款衬衫供选择，且每款衬衫被选择的概率相同， ∴从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率； （2）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四款衬衫， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙两款的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙两款的概率为． 22．每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 23． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 24．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由题意可证明，据此可得结论； （3）先求出，当时，，满足题意；当时，C是x的一次函数，据此讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，，， ∴， 解得； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，， ∴ ， ∴ 当时，，满足题意； 当时，则C的值随x增大而增大， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 当时，则C的值随x增大而减小， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 综上所述，． 25．(1)见解析 (2)①，；② 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 26．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 27．（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上， ∴， 又， ∴ ， ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$