2025年中考数学三轮冲刺训练一次函数中几何压轴题综合训练

2025年中考数学三轮冲刺训练 一次函数中几何压轴题综合训练 (1) 一次函数中等腰三角形存在性问题 1．直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； (2)若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 2．一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上．如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求一次函数的解析式； (2)求的长； (3)点为轴上一点．且满足是以为腰的等腰三角形，请直接写出点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且． (1)求的值； (2)点是直线上的一个动点，当的面积是时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点在第一象限，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； (2) 一次函数中面积相关问题训练 6．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 7．如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 9．如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． (4)一次函数中平行四边形存在性问题训练 10．如图，直线l是一次函数的图象，且经过点和点． (1)求直线l的表达式； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积； (3)设点P在y轴上，若的面积为，求点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知函数的图象与轴、轴分别交于点和点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，为直线上一点，作轴交直线于， (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点，点M，分别在直线和上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 14．直线 与x轴交于 A，与y轴交于 B，直线与y轴交于点C，与直线交于点D，过点 D 作轴于点 E． (1)求点 E的坐标； (2)P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线交于 M，N，设的长为d，P点的横坐标为t，请求出d与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 15．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． (1)求A点坐标及k，b的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为轴上一点，在坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形？若存在，求出所有符合条件的的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学三轮冲刺训练一次函数中几何压轴题综合训练》参考答案 1．(1)；， (2)，，． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，正确求出k的值是解题的关键， （1）根据待定系数法即可求得k的值，求得直线的解析式，然后根据坐标轴上点的坐标特征求得A、B的坐标； （2）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，由勾股定理即可求得Q的坐标． 【详解】（1）∵将点代入直线中，得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵直线与y轴交于点B，与x轴交于点A， 令，则． 解得， ∴点的坐标为． 令，则， ∴点的坐标为． （2）∵，， ∴． ∵点在轴上，设点的坐标为． 情况一：当时，，即． 解得， ∵， ∴． 情况二：当时，． 则或． 当时， 解得， ∴ ；当时， 解得， ∴． ∴综上所述：点Q坐标为，，． 2．(1) (2) (3)或或 【分析】（）利用待定系数法可求解析式； （）由勾股定理可求，由勾股定理可求，即可求解； （）设点，分和两种情况讨论可求解． 【详解】（1）解：∵和点在一次函数图象上， ∴， 解答， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵和点， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴，． 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）解：设点， ∵是以为腰的等腰三角形， 当时，则， ∴或， ∴点或； 当时， ∵， ∴， ∴点； 综上所述，点或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．(1)正比例函数关系式为；一次函数关系式为 (2)或或或 【分析】此题主要考查待定系数法求正比例函数和一次函数解析式、勾股定理、等腰三角形． （1）将代入可求正比例函数关系式，将，代入可求一次函数关系式； （2）设点，分别表示三边长度，再分情况列方程求出m，即可得答案． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得，， ∴正比例函数关系式为； 将，代入得： ， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：存在y轴上的点P，使为等腰三角形，理由如下： 设点，而，， ∴，，， ①当时，， ∴， ∴或， ②当时，， ∴或（舍去）， ∴， ③当时，， ∴， ∴， 综上所述，为等腰三角形，P坐标为或或或． 4．(1) (2)点的坐标为或 (3)，，，． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质． （1）确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出； （2）利用三角形的面积求出求出点坐标； （3）设出点，表示出，，计算出，分三种情况讨论计算即可得出点坐标． 【详解】（1）解：， ， 点在直线上， ， ； （2）由（1）知，， 直线解析式为， 点是第一象限内的直线上的一个动点， ， ， 解得或， 故点的坐标为或； （3）轴上存在一点，使等腰三角形；理由如下： 在①的条件下，且点在第一象限， 点的坐标为， 设点， ∴， ， ①当时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴舍去)或， ∴， ③当时， ∴， ∴， ∴ 综上所述，满足条件的所有点的坐标为，，，． 5．(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 6．(1)； (2)6． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可； （2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立两直线解析式得， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与y轴交于点B， 当时，， ∴点B的坐标为， ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 7．(1) (2)4 (3)点或 【分析】本题考查了一次函数的综合，考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称，求三角形的面积等知识，解题的关键是通过解方程组求点坐标． （1）设直线解析式为，将点，代入转化为方程组求解即可； （2）先求出点和点坐标，再根据求解即可； （3）过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点，利用待定系数法求出直线，通过解方程组求出点坐标，再求出点关于点的对称点即可得到此题答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 直线经过点，， ，解得 直线的函数表达式为； （2）直线交轴于点， 令，，， 点坐标为， 点与点关于轴对称， 点， ，． ， ， ． （3）在直线上存在一点，使得，理由如下： 过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点， 设直线为：， 将点代入上式，得， 直线的解析式为 直线经过点， 直线的解析式为， 解方程组得，， ， 设点关于点的对称点为， 的坐标为，此时， 点的坐标为或． 8．(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． 把点P坐标代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：∵：，：， 当，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ∵， ∴， ∴， ∴． 9．(1) (2)12 (3)能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 10．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点． （1）把点和点代入，求出k和b的值，即可解答； （2）先求出当时x的值，得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据三角形的面积公式，得出，再进行分类讨论：当点P在点A上方时，当点P在点A上方时，即可解答． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵的面积为， ∴， 解得：， 当点P在点A上方时，， 当点P在点A上方时，， 综上：或． 11．(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 12．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的判定和性质，解一元二次方程； （1）将代入中求出值，即得出点的坐标，结合点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则，分当，时，分别表示出点到的距离，的长，根据三角形的面积公式结合题意列出方程，解方程，即可求解． （3）设，，根据题意得出，然后分三种情况分析：①若，为对角线，则的中点即是的中点；②若，为对角线，则的中点即是的中点；③若，为对角线，则的中点即为的中点；分别列出方程组求解即可 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：设，则， ∴ 点到的距离为 当时，，点到的距离为 ∵， ∴ 解得：（舍去）或 当时，，点到的距离为 ∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述：或 ∴或 （3）设，， ∵，垂直x轴于F ∴, ①若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ②若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ③若，为对角线，则的中点即为的中点， ， 解得：， ∴， ∴； 综上可得，N的坐标为或． 13．(1) (2)； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出、两点坐标，由旋转的性质，得到，，，进而得出、两点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，且，则，联立直线和，求出点的坐标，再结合的面积列方程，求出的值即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，结合坐标中点公式，求出、的值，即可得到点P、Q的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图像与x、y轴交于点A、B， 令，则，令，则， ，， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为； （2）解：点M为线段上一点， 设点M的坐标为，且， ， 联立，解得：， ， 的面积为， ， ， ， 点M的坐标为； （3）解：点P是直线上一点，点Q是直线上一点， 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 四边形是平行四边形， 和为对角线， ， 解得：， ，， 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了旋转的性质，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，两直线的交点坐标，平行四边形的性质，坐标中点公式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 14．(1)点 (2)当时，，当时，； (3)当的值为0或4时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）联立方程组可求点坐标，即可求解； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式； （3）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（2）的关系式可得到关于的方程，可求得的值． 本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，利用方程思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线与直线交于点， ， ， 点， 轴， 点； （2）解：根据题意可以知道，点的横坐标为， 把代入中可得 ， 把代入中可得， ， 当时，， 当时，； （3）解：由题意可知， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， ，解得或， 即当的值为0或4时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 15．(1)，， (2)m＝或m＝ (3)存在，Q的坐标为：或或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形性质，菱形性质，勾股定理等，解题时要注意分类讨论，避免漏解． （1）待定系数法求函数解析式，将代入，，解方程即可，在中，令，解方程即可得点坐标； （2）以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：当时，四边形是平行四边形，由，建立方程求解，当时，四边形是平行四边形，由，建立方程求解； （3）以、、、四个点为顶点构成一个菱形，分两种情况：①当以为边，由，即可求得相应的点和坐标，②当以为对角线，根据菱形对角线互相垂直可建立方程求解． 【详解】（1）解：将代入，， 得：，，解得：，， 直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ； （2）解：设，则， 如图1，当时，， 四边形是平行四边形 即，解得：， 如图2，当时， 四边形是平行四边形 ，即，解得：， 或； （3）解：存在．如图3， ①当以为边时， 点， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形 ， 或， 或， 当与关于原点对称时，也存在满足条件的菱形， ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， 因此设，则， 在中， ， 解得：， ，则， 综上所述，符合条件的的坐标为：或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$