2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练 1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 2．如图，在平行四边形中，点，为对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 5．如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 6．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 7．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 8．如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 9．如图，于E，于F，若，平分； (1)求证：； (2)已知，，，求四边形的面积． 10．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，在中，，D 是边上的一点，过点A 作，交的延长线于点E，过点E作于点F，过点 D 作于点G，若． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 12．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接． (1)试说明：； (2)若，且，求的面积． 13．如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 14．如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 15．如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：． (2)求证：． 16．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，求证：． 17．已知：如图，四边形中，，是线段上一点，，分别平分和，的延长线与延长线相交于点． (1)求证； (2)若，，的面积为，的面积为，求的值． 18．如图，点为线段上任意一点（不与点、重合），分别以、为一腰在的同侧作等腰和等腰，，，与都是锐角，且，连接交于点，连接交于点，与相交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 19．如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 20．已知：如图，中，，过点A作，分别在上取点D、E，使，过点B作，垂足为G． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，过点C作，交于点F．求证：点F为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， （2）证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，则，再根据线段的和差可得，最后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 4．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 5．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和． （1）由为的角平分线，得到，推出，得到，从而可以得到垂直平分； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）首先推导出，过点C作，垂足为M，依据的面积为，求得，结合平分，，从而得到． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵过点A作交于F， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为M，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，等面积法求高，角平分线的性质定理等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，数形结合分析是关键． 7．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 8．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可； （2）过点作于点，利用角平分线的性质得到，利用三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ∵分别平分，于点， ∴， ∵，，且平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是192． 9．(1)见解析 (2)128 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ， 即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ； （2），，平分， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ． 11．(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据等角的余角相等可得，证明得，从而可证是等腰三角形； （2）由余角的性质证明，由角平方线的判定方法得，由得，进而可得． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分得到，根据平分得到即可得证； （2）设．由（1），得．利用已知建立方程解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴即为的平分线． 又∵， ∴． ∵是的平分线，， ∴， ∴． （2）解：设． 由（1），得． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 13．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； 过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； 根据三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ，， ， 由可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【详解】（1）证明：作，垂足为M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线性质求出，即可证明，即可得出答案； （2）证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接和， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵垂直平分边， ∴， ∵平分的外角，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分边， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行线的性质结合角平分线的有关计算可得，，由三角形的内角和定理及等角对等边可得，，然后由三线合一即可得证； （）过点作于点，于点，由角平分线的性质可得，利用可证得，于是可得，由（）可得，进而可得，利用三角形的面积公式分别表示出，，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，于点， ∵平分， ∴， 由（）可得：，， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）可得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，等角对等边，三线合一，角平分线的性质，线段的和与差，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 18．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理． 根据可证，利用可证； 过点作于，于，因为，所以，所以，因为，所以可得，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点在的平分线上，从而可得． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，   ； （2）证明：如下图所示，分别过点作于，于， 由知：， ，， ， ， ， 点在的平分线上， ． 19．(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形． （1）利用“”证明全等； （2）由得到，再得到，根据四边形内角和即可求解； （3）延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，先证明，得到，再证明，得到，故与重合，证明，则，故点F为的中点． 【详解】（1）证明：，，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， 即； （3）证明：延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴与重合， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$