精品解析：重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

重庆一中高2025届高二下期中考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 2. 已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 5. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ） A. B. C. D. 7. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 22 D. 23 8. 某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ）附： A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中的系数为160 D. 展开式中无理项的系数之和为 10. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 假设经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的40%分位数为0.8 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变 11. 已知函数，则（ ） A. 的零点为 B. 的单调递增区间为 C. 当时，若恒成立，则 D. 当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则__________. 13. 对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是__________． 14. 已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求正整数，使得. 16. 已知点，在抛物线上. （1）若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离； （2）若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积. 17. 为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的. “生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%. 记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中. （1）证明：； （2）直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于. 附：，. 18. 定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值； （2）已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值； （3）已知点，点（是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．（注：函数在内单调递增，在内单调递减） 19. 情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等. （1）若，，求的分布列； （2）若，证明的数学期望与n无关； （3）若，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2025届高二下期中考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】由数据特征可直接判断. 【详解】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错； 平均数为，可能变，故B错； 中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确； 方差为，有可能变，故D错. 故选：C 2. 已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】在双曲线上任取点，则，利用两点之间距离公式和点到直线距离公式计算化简即得. 【详解】在双曲线上任一点，则， 则点到点和到直线的距离之比为： 故选:C. 3. 对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，结合指数函数的性质和充分必要条件的判断求解. 【详解】因为在函数的图象上，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列. 若，且，，则可能的情况由两种： （1）则，所以等比数列首项为负，公比，所以等比数列单调递增； （2）则，所以等比数列首项为正，公比，所以等比数列单调递增. 所以“”是“为递增数列”的充分条件. 若为递增数列，，又且， 所以：或 由； 由； 所以“”是“为递增数列”的必要条件. 故选：A 4. 甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案. 【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校： 第一步，从甲校选出2人，有种选择方式； 第二步，2人站在两边的站法种数有； 第三步，从乙校选出1人，有种选择方式； 第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有. 根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有. 根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有. 故选：B. 5. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 6. 互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解. 【详解】解：因为随机变量满足： 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 所以X，Y的分布列为： X 2 3 P Y 2 3 P 所以， ， 所以， 故选：C 7. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】由得，构造函数，利用导数求得的单调性，求得的取值范围，结合不等式的知识求得的最大值. 【详解】因为，，所以， 设，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以， ，又，， 要使得成立，只需，即， 所以正整数的最大值为23. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法.解题的关键是由变换得，构造函数，由的单调性得，结合不等式的知识求得的最大值. 8. 某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ）附： A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得：， 所以， 由，即， 又 所以的最大值为． 故选：A． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中的系数为160 D. 展开式中无理项的系数之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据各项系数和结赋值法得判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含的系数及无理项系数之和判断BCD. 【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误； 则， 又的展开式的通项为，， 所以展开式中的常数项为，B正确； 含的项为，其系数为160，C正确； 展开式中无理项的系数之和为，D错误. 故选：BC. 10. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 假设经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的40%分位数为0.8 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项： 根据回归直线必过点解得;对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；对于C选项：结合百分位数的定义即可求解； 对于D选项：根据相关系数的性质即可判断； 【详解】对于A选项：线性回归方程必过点，，，解得，所以选项A正确； 对于B选项：当时，可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确； 对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第2、3个数据的平均数，即第40百分位数为0.9，所以C选项错误； 对于D选项：因为相关系数为, 5组样本数据的相关系数为： ， 去掉样本中心点后相关系数为， 所以相关系数r不变,所以D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的零点为 B. 的单调递增区间为 C. 当时，若恒成立，则 D. 当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由辅助角公式变换后求正弦函数的零点可得A选项；由复合函数的单调性求出正弦函数的递增区间可得B选项；分离参数后构造函数求导，求最小值可得C选项；设出切点，利用导数的意义求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，再代入可得，得到都关于点对称，再利用对称性求出给定区间内的切点之和可得D选项. 【详解】A：，所以，故A正确； B：由复合函数的单调性可知，当，函数为递增函数，解得，故B错误； C：若恒成立，所以， 因为，当时，，此时取任意值， 当时，设，则画出中括号内的函数图像 由函数图像可知，在恒成立，所以单调递减， 所以，故，故C正确；（老师，请联系我一下，谢谢） D：因为，设切点坐标为， 则切线的斜率为，则切线方程为， 代入点可得， 两边同时除以可得， 令，所以都关于点对称， 则所有的切点关于对称， 当时共有对切点，每对和为，故所有切点的横坐标之和为，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： （1）复合函数的零点即为使函数等于零时方程的根； （2）带参数的函数不等式恒成立问题求参数范围时，可分离参数后构造函数求导，求出函数的最值与参数比较即可； （3）对于求曲线的切线方程时可求导后代入切点的横坐标求其斜率，由点斜式写出直线方程，再根据点在切线上代入切线方程得出具体的切线方程. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】因抽取的4人中女同学的人数为，每个女同学被抽到的可能性相同，结果有限，故符合超几何分布概率模型，利用包括的情形分别求概率再求和即得. 【详解】因 . 故答案为：. 13. 对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据值域个数，将定义域中的元素进行分组，求解所有的函数个数，再利用隔板法求函数为增函数的个数，再根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个， 若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数， 将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数， 将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数， 则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数； 若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数， 将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数， 将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数， 则共有个函数， 综上可知，共有个函数， 其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件， 当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数， 若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数， 综上可知，为增函数的函数有个函数， 所以为增函数的概率. 故答案为： 14. 已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程为，直线方程为，求出弦长，根据整理可得，由方程有唯一实数解可得，然后可得离心率. 【详解】由椭圆可知， 易知，直线与的斜率存在且不为0， 故可设直线方程为，直线方程为， 联立消元得， 解得， 同理，联立可解得， 由题知，， 所以，即， 整理得， 因为为上述方程的根， 所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程没有实数解，或者有两个相等的根. 当时，解得， 当时，解得，此时方程的根为1. 综上，. 所以，. 故答案为： 【点睛】求离心率的方法主要有： （1）定义法：根据题意求出a，c，然后由离心率公式直接求解； （2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得的关系式，利用消去，然后两边同时除以转化为关于的方程或不等式即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求正整数，使得. 【答案】（1）由已知条件可知，由于， 故， 则， 故数列是以1为公差的等差数列 （2） 【解析】 【分析】（1）推出，从而得到是以1为公差的等差数列，求出通项公式，得到； （2）利用同角三角函数关系结合得到，求出答案. 【小问1详解】 且首项为， 故， 即. 【小问2详解】 ， 由，得. 16. 已知点，在抛物线上. （1）若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离； （2）若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积. 【答案】（1）点到轴的最短距离为，点的坐标为或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义以及三角形的边长之间的不等式得到点到轴的最短距离，根据点到轴的最短距离可知三点共线，然后联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理即可求解； （2）由题意可得，且，设直线的方程为，联立方程，利用弦长公式求出，再根据直线和直线之间的距离等于，可求出，进而可得出答案. 【小问1详解】 由抛物线方程可知，其焦点，准线方程：， 从而，当且仅当三点共线时，不等式取等号， 设线段的中点为到轴的距离为， 由抛物线定义和梯形中位线性质可知，，即， 从而点到轴的最短距离为， 不妨设，且此时三点共线， 不妨设，，直线的方程为：， 由， 恒成立， 则，， 从而，即， 从而，即， 故点的坐标为或； 【小问2详解】 由题意可得，且， 设直线的方程为， 则直线和直线之间的距离， 联立，消得， ，所以， 设，， 则， 所以， 所以，解得或， 当时，，此时正方形的面积为， 当时，，此时正方形的面积为， 综上所述，正方形的面积为或. 17. 为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的. “生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%. 记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中. （1）证明：； （2）直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于. 附：，. 【答案】（1） 设，若前个人中没有人生日相同，则前个人中一定没有人生日相同. 从而， 所以 ， 所以； （2），证明如下： 首先有. 如果一个班上有不少于23人，设该班人数为，则. 此时，这个班上的人两两生日不同的概率满足 下面证明：. 要证明该不等式，只需要证明，即. 令，则当时，有. 所以在上递减，从而对任意的，有，即. 所以. 而，，故. 所以，这就证明了. 所以，从而这个班上至少有两人生日相同的概率. 【解析】 【分析】（1）易得，再根据条件概率公式即可得证； （2）利用条件概率公式即可求出，先求出前n人中没有人生日相同的概率，根据题中所给数据，结合导数工具证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值； （2）已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值； （3）已知点，点（是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．（注：函数在内单调递增，在内单调递减） 【答案】（1）2；1 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到的最大值； （3）根据题意，令，然后分别构造函数，即可得到，从而得到结果. 【小问1详解】 ， 则，即的最小值为2； ， 则，即的最小值为1. 【小问2详解】 当时，， 点为直线上一动点， 则当时， 即； 当时，， 即； 所以，又当时，， 当时，， 所以的最大值为5. 【小问3详解】 令，则，， ， 令，则在区间内成立， 则在区间内单调递增，则， 令，则在区间内成立， 则在区间内单调递减，则， 所以， 所以， 当且时，取得最小值， 故的最小值 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新概念问题，难度较大，解答问题的关键在于理解题中曼哈顿距离的定义，然后转化为所学知识求解问题. 19. 情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等. （1）若，，求的分布列； （2）若，证明的数学期望与n无关； （3）若，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）若，则，故这与无关. （3） 若，由，知， ， 所以； 若，，如果的每一位都是1，即，， 则，所以此时结论不一定成立. 【解析】 【分析】（1）先考虑每一位的变化情况的分布情况，然后计算整个数据对应的分布列； （2）设情报中包含的0和1的数量分别为，只需要证明，再结合即得结论； （3）先求出的公式，再根据相应的公式求解结论. 【小问1详解】 首先我们进行一些准备工作. 设情报中包含的0和1的数量分别为，则，. 对于单个数字0，设它在经过次传输之后，得到0和1的概率分别为， 则，，， 且由全概率公式得，. 从而， . 当时，有，，这里； 当时，由于，， 故， . 注意到，也适用于的情形， 所以，. 对于单个数字1，设它在经过次传输之后，得到1和0的概率分别为， 则同理有，， 事实上本质就是对调了. 由于情报中包含的0和1的数量分别为，故 ， 且. 回到原题. 在本小问的条件下，有，，， 从而， 故， ， ， ， 所以的分布列为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题的关键点在于使用全概率公式得到数列的递推式，再根据等比数列相关知识求出通项公式，从而得到的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $