精品解析：2025年陕西省咸阳市乾县关头九年制学校九年级中考第一次模考数学试题

2025年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 2与互为倒数 B. 2与互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确 B. 2与互为倒数，故选项B不正确； C. 0的相反数是0，故选项C正确； D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键． 2. 如图所示的几何体是由一些小立方体搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从上面观察几何体得到的平面图形即为答案． 【详解】从上面观察几何体，一行，且有3个正方形，如图所示． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得到的平面图形． 3. 如图，已知烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行得到的度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 4. 若满足不等式，则不可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，首先利用不等式的基本性质解不等式，求得的取值范围，在范围内取值即可．熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得， ∴不可能是0， 故选：D． 5. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 8. 已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大，从而得到因变量的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大， ∵<<1， ∴，即． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的提取公因式以及因式分解的计算，根据题意先提取公因式，然后再因式分解即可得出答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 10. 比较大小：4______（填入“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】比较两数的平方大小即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数大小比较：通过比较两实数的平方的大小来判断两实数的大小． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则等于______． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，则，即可求得，得出的面积的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，全等三角形的判定和性质，关键是求得的面积． 【详解】解：过点作轴于， ， ∵点B是的中点， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 根据反比例函数的几何意义得， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，是边的中点，是边的中点，是边上一动点，，，，则的周长最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的中位线，利用轴对称解决线段的和最短问题．易得是的中位线，得到，根据的周长，得到当最小时，的周长最小，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，为的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵中，是边的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵的周长，为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，为的长，则的周长最小， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法，负整数指数幂和立方根的意义，先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂和立方根的意义计算，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行平方差公式，单项式乘多项式的计算，再合并同类项化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 16. 化简分式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，已知BD是△ABC的一条中线，请利用尺规在AB边上找点P，使得△PBC与△DBC的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示：△PBC与△DBC的面积相等． 【解析】 【分析】由两个三角形底相同，故只需要高相等，故作PD∥BC交AB于P即可. 【详解】∵由两个三角形底相同，∴作PD∥BC即可得到△PBC与△DBC的面积相等. 如图所示：△PBC与△DBC的面积相等． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知三角形的面积公式. 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 19. 在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． （1）小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； （2）小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有12种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液（C）呈现蓝色，白醋溶液（B）、柠檬水溶液（D）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为． 20. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） 【答案】大船有3条，小船有5条 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设有条大船，则小船有条，根据大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设有条大船，则小船有条． 根据题意，得， 解得， ， 答：大船有3条，小船有5条． 21. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 【答案】路灯D距地面AE的高度为9.4米 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的长洁儿求出HF的长，解直角三角形DHF求出DH的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形， ∴CM=AG，HF=EG，HG=EF， ∵∠BCD=60°， ∴∠DCM=30°， 又∵∠CMD=90°， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴路灯D距地面AE的高度为9.4米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？ 【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克 （2）安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克， 由题意可得：， 解得， ， 答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果千克，则乙种水果购进千克，获得的利润为元， 由题意可得：， 随的增大而减小， 该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：安排购买甲种水果千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多． 23. 春节是中国最重要的传统节日之一，北方民间有春节吃饺子的习俗，在春节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包饺子”的实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级10名学生活动成绩扇形统计图 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分、 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生人数是____名，七年级活动成绩的众数为____分； （2）____，____； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，已知该校八年级共有学生600人，请估计该校八年级学生中有多少人的成绩能达到优秀． 【答案】（1）1，8 （2）2，3 （3）300人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求众数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用调查的人数乘以7分的学生所占的比例求出人数，利用众数的定义，求出众数即可； （2）根据中位数为8.5，得到第5个和第6个数据分别为8和9，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 的学生得到8分，数量最多，故众数为8分； 故答案为：1，8； 【小问2详解】 解：∵中位数为， ∴第5个和第6个数据分别为8和9， ∴，； ∴，； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校八年级学生中有300人的成绩能达到优秀． 24. 如图，在中，是的角平分线，交边于点，以点为圆心，为半径作与边相切，并交边于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为2，求的长． 【答案】（1） 证明：过点O作于点E． 与相切于点B， ， ， 平分，， ， 是的半径， 是的半径， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）过点O作于点E，由切线的性质得到，根据角平分线的性质得到，再根据切线的判定定理即可证明结论成立； （2）根据直角三角形的性质角平分线的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ， 在中，， ， ∵的半径为2， ， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得：． 25. 放学后，小明和小亮一起在学校操场上打篮球，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点建立平面直角坐标系，篮球在点正上方的点处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数表达式． （1）求的值； （2）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为，则球在飞过最高点后的下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】（1） （2）在球下落过程中小亮离小明的距离至少米才能顺利接住球． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）将点P的坐标代入，即可求出c的值； （2）求出时x的值，结合“在下落过程中接住球”，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得点P的坐标为， 将代入， 得； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ∵，且在下落过程中接球， ∴， ∴在球下落过程中小亮离小明的距离至少7米才能顺利接住球． 26. 如图，在矩形中，． （1）如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） （2）在（1）中，若，求矩形的面积； （3）如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】（1） 解：作矩形的位似矩形如图所示； ； （2）； （3）当时，S有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题型，主要考查了位似图形的画法，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题． （1）根据位似图形的定义，连接并延长与相交于P，过P作交于M，作交于Q，四边形即为矩形的位似图形； （2）先求出，然后根据，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解； （3）用x表示出，然后根据，再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ∴当时，S有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 2与互为倒数 B. 2与互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是 2. 如图所示的几何体是由一些小立方体搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 若满足不等式，则不可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：＝_____________． 10. 比较大小：4______（填入“”或“”号）． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则等于______． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为__________． 13. 如图，在中，是边的中点，是边的中点，是边上一动点，，，，则的周长最小值是___． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：； 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 化简分式：． 17. 如图，已知BD是△ABC的一条中线，请利用尺规在AB边上找点P，使得△PBC与△DBC的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 19. 在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． （1）小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； （2）小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 20. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） 21. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 22. 为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？ 23. 春节是中国最重要的传统节日之一，北方民间有春节吃饺子的习俗，在春节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包饺子”的实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级10名学生活动成绩扇形统计图 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分、 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生人数是____名，七年级活动成绩的众数为____分； （2）____，____； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，已知该校八年级共有学生600人，请估计该校八年级学生中有多少人的成绩能达到优秀． 24. 如图，在中，是的角平分线，交边于点，以点为圆心，为半径作与边相切，并交边于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，的半径为2，求的长． 25. 放学后，小明和小亮一起在学校操场上打篮球，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点建立平面直角坐标系，篮球在点正上方的点处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数表达式． （1）求的值； （2）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为，则球在飞过最高点后的下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．（结果保留整数．参考数据：） 26. 如图，在矩形中，． （1）如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） （2）在（1）中，若，求矩形的面积； （3）如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $