1.3.1 不等式的性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §3 不等式 3.1 不等式的性质 1 1.了解不等式的意义,能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学抽象） 2.初步学会用作差法比较两个实数的大小或证明不等式.（数学运算） 3.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决问题.（数学运算） 4.能利用不等式的性质证明或判断.（逻辑推理） 学习目标 2 1.如果，那么 成立吗？ [答案] 成立. 2.如果，那么 成立吗？ [答案] 成立. 3.如果，，那么成立吗？ 呢？ [答案] 成立，不一定成立，但 成立． 4.如果，，那么 成立吗？ [答案] 不成立． 自主预习 3 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 与的差是非负实数，可表示为 .( ) × （2） 实数不大于，用不等式表示为 .( ) × （3） .( ) × （4） .( ) × 自主预习 4 2.已知 ，则下列选项正确的是( ) . B A. B. C. D. [解析] ，但，， ，C错误. ，，， ，B正确． ，但 ，D错误.故选B． 自主预习 5 3.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车、货物和 人的总质量 满足条件________． [解析] “限重40吨”是不超过40吨的意思． 自主预习 6 4.设，，则与 的大小关系是_______． [解析] 因为，所以（当且仅当 时取 等号）. 自主预习 7 探究1 用不等式（组）表示不等关系 问题1: 限速的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 不超过 ,用不等式如何表示？ [答案] . 问题2: 不等关系与不等式有何区别？ [答案] 不等关系强调的是量与量之间的关系,而不等式则是用来表示不等关系的式 子．不等关系是通过不等式来表示的． 合作探究 8 我们用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接________或________,以表示它们之 间的不等关系．含有这些________的式子叫作不等式． 两个数 代数式 不等号 合作探究 9 特别提醒： （1）不等关系强调的是关系,可用符号“ ”“ ”“”“ ”“ ”表示,而不等式则是 表示两者的不等关系,可用“”“”“”“”“ ”等式子表示,不等关系 是可以通过不等式来体现的. （2）不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高于,超 过 小于,低于,少 于 大于或等于,至少, 不低于 小于或等于,至多,不多 于,不超过 符号语言 合作探究 10 例1 某种杂志以每本3元的价格销售,可以售出1万本.若单价每提高0.5元,销售量就可能 相应减少1000本.若把提价后杂志的定价设为 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不 低于2万元呢？ 根据题意找出其中的不等关系,建立不等式. [解析] 提价后销售的总收入为 万元, 则不等关系“销售的总收入仍不低于2万元”可以表示为不等式 . 合作探究 11 方法总结 在数学的学习中,需具备的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实 际问题中的数量关系.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时,要注意以下几点： （1）先读懂题,设出未知量； （2）抓关键词,找到不等关系； （3）用不等式表示不等关系. 合作探究 12 巩固训练 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 ,要求菜园的 面积不小于,靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系. [解析] 因为墙长为,所以 , 菜园的另一条边长为 . 因此菜园面积,依题意有 , 即 , 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 合作探究 13 探究2 比较大小 在日常生活中，有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已 知克糖水中含有克糖，再添加 克糖（假设全部溶解）. 问题1: 你能将糖水变甜这一事实用一个不等式表示吗？ [答案] 能， . 问题2: 如何从理论上比较与 的大小？ [答案] 作差比较大小，因为 ，所以 ，又，所以,所以 . 合作探究 14 比较两个实数, 大小的依据 文字语言 符号表示 如果是正数,那么 ； 如果是负数,那么 ； 如果等于0,那么 . 反之亦然 合作探究 15 特别提醒： （1）上面的“ ”表示“等价于”,即可以互相推出． （2）“ ”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小, 二者结合起来是实数的运算性质与实数的大小之间的关系. 合作探究 16 例2 已知，均为正实数，试利用作差法比较与 的大小． [解析] ． 当时，，此时 ； 当时，，，此时 ． 综上所述，（当且仅当 时，等号成立）． 合作探究 17 方法总结 比较两个实数的大小,可以先求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般 步骤：作差 恒等变形 判断差的符号 下结论.作差后变形是比较大小的关键一步, 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式的积的形式. 合作探究 18 巩固训练 已知，比较与 的大小. [解析] . ,，又 ， ， . 合作探究 19 探究3 不等式的基本性质 问题1: 若,,则 ,正确吗？为什么？ [答案] 正确．,,,, ,即 , . 问题2: 若,则 ,正确吗？为什么？ [答案] 正确．,,,即 . 问题3: 若,则 ,正确吗？试举例说明． [答案] 不一定正确,若,,则当时正确,当 时不正确． 合作探究 20 不等式的性质 （1）___ （对称性）； （2）,___ （传递性）； （3）___ （可加性）； （4）,___,,___ ； （5）,___ ； （6）,___ ； （7）,,___ ； （8）,,___ . 合作探究 21 一、利用不等式的性质判断或证明 例3 （1）给出下列结论： ①若，，则 ； ②对于正数，，，若，则 . 其中正确结论的序号是____． ② 合作探究 22 （2）已知，.求证： ． [解析] （1）对于①，若，，，，则 ，① 错误； 对于②，对于正数，，，若，则，所以 ， 所以 ， 又，所以 ，②正确． 综上，正确结论的序号是②． 合作探究 23 （2）因为，所以 , 所以 ． 又因为，所以 , 所以，即 ， 所以 ． 合作探究 24 方法总结 （1）注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求： 一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． （2）应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条 件或跳步推导． 合作探究 25 二、利用不等式的性质求范围 例4 已知，.求和 的取值范围． [解析] ，，又 , ，即 . 又，，即 ． 故， ． 合作探究 26 【变式探究】 已知且，求 的取值范围． [解析] 令 ，，则， ． 由解得 , 又，， ， ． 合作探究 27 方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正且同向），但不能相减或相除， 应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形． 合作探究 28 巩固训练1 有下列四个不等式： ，，， ． 若 ，则不正确的不等式的个数是( ) . C A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由可得，所以，, 均不正确，④正确； 因为，，所以 成立，③正确.故不正确的不等式的个数为2． 合作探究 29 巩固训练2 已知，，则 的取值范围是_______． , [解析] 因为， ， 且 ， 所以结合不等式的性质可得 ． 合作探究 30 1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩不低于95分,文化课总分 高于380分,体 育成绩 超过45分,用不等式组表示就是( ) . D A. B. C. D. [解析] “不低于”即“ ”,“高于”即“ ”,“超过”即“ ”, 故,, . 随堂检测 31 2.若，，则与 的大小关系是( ) . D A. B. C. D. [解析] ， . 随堂检测 32 3.已知,,则 的取值范围是________. [解析] , , , , , . 随堂检测 33 4.已知，， ，求证： （1） ； （2） . [解析] （1）且， ， ，即 . （2）， . 又， ， ， . 随堂检测 34 $$