第1章 §3 不等式 3.1 不等式的性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“不等式的性质”核心知识点，以不等关系基本事实（作差法比较大小）为基础，系统梳理传递性、可加性、可乘性等性质，通过比较大小、性质应用、求取值范围三个探究点构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 该资料设计亮点显著，诊断分析通过判断正误辨析易错点，如“若a>b,c>d则ac>bd”的错误判断，培养数学思维中的推理意识。探究点结合例题与变式，如例3利用性质求x-y取值范围，强化数学语言表达。课中辅助教师引导学生探究，课后帮助学生回顾作差法等方法，有效查漏补缺。

§3　不等式 3.1　不等式的性质 【课前预习】 知识点二 >　>　<　>　>　< 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但a-c<b-d,故(1)错误. (2)取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则a>b,c>d,但ac<bd,故(2)错误. (3)∵b>0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正确. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)>　[解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b. (2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1), ∵x2-x+1=+≥>0, ∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x; 当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x; 当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x. 变式　B　[解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2)2=8>6,故a>c;b-c=(+)-(+)且(+)2=9+2>9+2=(+)2,故c>b.所以a>c>b,故选B. 探究点二 例2　(1)D　[解析] 因为a>b,所以a+c>b+c,故A不成立;当c=0时,ac=bc=0,故B不一定成立;当c=0时,=0,故C不一定成立;因为a>b,所以a-b>0,又c2≥0,所以(a-b)c2≥0,故D一定成立.故选D. (2)证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0, a-c>b-c>0,则(a-c)(b-c)>0,则>0, 所以·(a-c)>·(b-c)>0, 即>>0. 又c<0,所以>.故得证. 变式　(1)BCD　[解析] 对于A选项,当a=4,b=1,c=2,d=1时满足已知条件,但此时a-c>b-d,A选项错误;对于B选项,由不等式的同向可加性及a>b,c>d,可得a+c>b+d,B选项正确;对于C选项,由a>b>0,c>d>0,可得ac>bd>0,所以<,C选项正确;对于D选项,由a>b>0,c>d>0,可得(b+c)(b+d)>0,(a+c)(b+d)-(b+c)(a+d)=ad+bc-bd-ac=(a-b)(d-c)<0,所以>0,0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得<,D选项正确.故选BCD. (2)证明:-=. ∵>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0. 又∵x>y>0,∴bx>ay>0,x+a>0,y+b>0, ∴>0,∴>. 探究点三 例3　解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 变式　BC　[解析] 因为2≤x≤5,1<y≤3,所以3<x+y≤8,2<xy≤15,故A错误,B正确.因为-3≤-y<-1,所以-1≤x-y<4,故C正确.因为≤<1,所以≤<5,故D错误.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　不等式 3.1　不等式的性质 【学习目标】 1.通过具体情境,感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的. 2.掌握不等式的基本性质,运用基本性质比较两个实数的大小,掌握证明不等式的基本方法“作差法”. ◆ 知识点一　不等关系基本事实 关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b.反过来也成立. 这个基本事实可以表示为a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0. ◆ 知识点二　不等式的性质 序号 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a+c　　　　b+c  可逆 3 可乘性 a>b,c>0⇒ac　　　bc  c的符号 a>b,c<0⇒ac　　　bc  4 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c　　　　b+d  不可逆 (续表) 序号 别名 性质内容 注意 5 同向正值 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac　　　　bd  不可逆 a>b>0,c<d<0⇒ac　　　　bd  6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N+,n≥2 特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a>b,c>d,则a-c>b-d. (　 ) (2)若a>b,c>d,则ac>bd. (　 ) (3)若b>0,且>1,则a>b. (　 ) ◆ 探究点一　比较大小 例1 (1)[2024·中央民族大学附中高一月考] 设a=,b=3-,则a 　　　b.(填“>”或“<”)  (2)已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 已知a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a [素养小结] 作差法比较两个实数(或代数式)的大小的一般步骤为作差、变形、判断符号、得到结论.这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的方法技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.若变形后所得式子的符号不能确定,则需要通过分类讨论来进行大小的比较. ◆ 探究点二　不等式性质的应用 例2 (1)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+c<b+c B.ac>bc C.>0 D.(a-b)c2≥0 (2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>. 变式 (1)(多选题)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知a,b,c,d都是正数,且a>b,c>d,则下列关系式中正确的有 (　 ) A.a-c<b-d B.a+c>b+d C.< D.< (2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求证:>. [素养小结] 利用不等式的性质进行不等式的证明,常用方法有两种:一是通过作差、变形、判断符号来证明;二是从条件出发,结合不等式的性质,不断变形构造出所证不等式. ◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3 已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围; (2)求3x+2y的取值范围. 变式 (多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 设x,y为实数,满足2≤x≤5,1<y≤3,则下列结论正确的是 (　 ) A.3≤x+y≤8 B.2<xy≤15 C.-1≤x-y<4 D.<≤5 [素养小结] 在应用不等式的性质求范围时要注意,同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大取值范围.有时需建立待求代数式的整体与已知代数式的整体之间的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,从而求得待求代数式的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $