精品解析：2025年陕西省商洛市洛南县二模数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试模拟试题数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 正方体 C. 长方体 D. 圆锥 3. 如图，点在上，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 一个正比例函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 5. 如图，在中，于点，若，则的值是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 6. 如图，内接于是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 的倒数是_____． 9. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若直尺的下沿与边垂直于点A，与边交于点，则的度数为_________． 10. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设蛋白质、脂肪的含量分别为，则与的关系可以表示为___________． 11. 如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为___________． 12. 如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为___________． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 14. 解不等式组：． 15. 化简：． 16. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 18. 袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有两块试验田各10亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 19. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 20. 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，姚永用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点处，姚永在点处将绳子拉直，测得点到所在直线的距离为，在处测得定滑轮点的仰角为，姚永后退到点处，测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到点处，点在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：） 21. 咸阳博物院位于咸阳市渭城区，是一座集历史、艺术、科学为一体的综合性博物院，是了解咸阳历史文化的重要窗口，张萌一家周末从家出发，前往距家千米的咸阳博物院参观，如图表示张萌一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系． （1）求图中段与之间的函数关系式； （2）求张萌一家行驶几小时时，距离目的地40千米？ 22. 近年来，网约车十分流行，给人们的出行带来了便利，学生妙妙对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，收集了两家公司各10名司机的月收入情况（单位：千元），对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：“花小猪”网约车公司10名司机月收入是：，，，，，，，，，． 两家网约车公司司机月收入统计表 名称 平均数 中位数 众数 “花小猪” “滴滴” 根据所给信息，解答下列问题： （1）上述表格中：___________，___________； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 23. 如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求线段的长． 24. 古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶”（如图①），一般用于普通民居，建筑屋檐出了山墙，远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方，图②为一栋“悬山顶”式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线形落到院中地面上点处（可将点视为抛物线顶点），若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； （2）如图③，现有一个高为的圆柱形洗手池，洗手池的底部中心点到走廊的距离为，请通过计算说明下雨时雨水是否能正好落在洗手池的顶部中心点处． 25. 问题提出 （1）如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则的长为___________； 问题解决 （2）如图②，某小区有一个边长为的正方形（边为墙）活动区域，小区物业在墙的中点处安装一台监控器，该监控器的视角为，点为正方形边上的点，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方，若点为边上一动点． ①当时，求的长； ②当点在线段上运动时，连接，试探索的面积是否存在最值？若存在，请求出面积的最值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试模拟试题数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：，，是有理数，是无理数； 故选：C． 2. 如图是某一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 正方体 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据表面展开图中有1个扇形，1个圆，由此即可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：观察图形，可知表面展开图中有1个扇形，1个圆， ∴该几何体是圆锥， 故选：D． 3. 如图，点在上，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 一个正比例函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式、正比例函数图象上点的坐标特点，灵活运用待定系数法求得函数解析式是解答本题的关键．先用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后把点B的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为，代入 ∴ 解得： ∴正比例函数解析式为 将代入得 解得： 故选：D． 5. 如图，在中，于点，若，则的值是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．根据得出，勾股定理求得，进而求得，最后根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 6. 如图，内接于是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理． 利用圆内接四边形的性质定理得出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵， ， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，确定旋转后抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再根据增减性列不等式求的范围． 【详解】解：， 原抛物线开口向上，对称轴为直线， 将抛物线绕点旋转， 旋转后的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ． 故选：D． 第二部分（非选择题共99分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 8. 的倒数是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】的倒数是2， 故答案为：2 9. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若直尺的下沿与边垂直于点A，与边交于点，则的度数为_________． 【答案】##126度 【解析】 【分析】根据多边形内角和的求出正五边形每个内角，然后根据，得，求出，再利用三角形的外角性质即可解决问题．本题考查多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理和外角性质． 【详解】解：五边形是正五边形 ∴它的五个内角均相等， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设蛋白质、脂肪的含量分别为，则与的关系可以表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键．先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，列关系式即可． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何结合，先得，再结合的面积是，故，解得，则，即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积是8， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直接所对的弦是直径，弧、弦与圆周角的关系，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意得出在以为直径的圆上，进而根据得出则，然后根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，有理数的乘法，化简二次根式，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 14. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算括号里面的，然后把除法转化成乘法，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查分式混合运算的知识，解答本题的关键是知道分式混合运算的法则． 16. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示，点M即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，作出的角平分线交于，则点到的距离与到的距离相等，根据进而可得，即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：作出的角平分线交于， 点到的距离与到的距离相等， ， ， 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而由可证明，即可得证． 【详解】略 18. 袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有两块试验田各10亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 【答案】杂交水稻的亩产量为960千克 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据共收获水稻千克，列出方程并解出即可． 【详解】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克． 根据题意得，解得． 杂交水稻亩产量为千克 答：杂交水稻的亩产量为千克． 19. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“意”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“巳”和“如”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 20. 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，姚永用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点处，姚永在点处将绳子拉直，测得点到所在直线的距离为，在处测得定滑轮点的仰角为，姚永后退到点处，测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到点处，点在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】物体上升的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 依题意得，，，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，分别解，得出的长，由于绳子的总长不变，即，，然后根据即可求出物体上升的高度． 【详解】解：在中，，， 依题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 绳子的总长不变，即， ， ， 答：物体上升的高度约为． 21. 咸阳博物院位于咸阳市渭城区，是一座集历史、艺术、科学为一体的综合性博物院，是了解咸阳历史文化的重要窗口，张萌一家周末从家出发，前往距家千米的咸阳博物院参观，如图表示张萌一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系． （1）求图中段与之间的函数关系式； （2）求张萌一家行驶几小时时，距离目的地40千米？ 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中所求的函数解析式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设段图象的函数表达式为， 将，代入，得 ， 解得：， ∴段与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意，， 解得， ∴张萌一家行驶2小时，距离目的地40千米． 22. 近年来，网约车十分流行，给人们的出行带来了便利，学生妙妙对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，收集了两家公司各10名司机的月收入情况（单位：千元），对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：“花小猪”网约车公司10名司机月收入是：，，，，，，，，，． 两家网约车公司司机月收入统计表 名称 平均数 中位数 众数 “花小猪” “滴滴” 根据所给信息，解答下列问题： （1）上述表格中：___________，___________； （2）求的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）6； （2）； （3） 解：选“花小猪”，因为平均数一样，中位数、众数“花小猪”大于“滴滴”． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数、众数平均数的定义等统计的有关知识． （1）利用中位数、众数的定义分别计算即可求解； （2）利用平均数的定义计算即可； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：从扇形统计图知，“花小猪”网约车司机的收入人数最多的是6千元， 则； 从条形统计图知，“滴滴”网约车司机的收入的中位是千元， 则； 故答案为：6；； 【小问2详解】 解：“滴滴”网约车司机的收入的平均数为： ； 【小问3详解】 略 23. 如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． （1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 24. 古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶”（如图①），一般用于普通民居，建筑屋檐出了山墙，远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方，图②为一栋“悬山顶”式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线形落到院中地面上点处（可将点视为抛物线顶点），若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； （2）如图③，现有一个高为的圆柱形洗手池，洗手池的底部中心点到走廊的距离为，请通过计算说明下雨时雨水是否能正好落在洗手池的顶部中心点处． 【答案】（1） （2）下雨时雨水能正好落在洗手池的顶部中心点处 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数的性质是解题的关键． （1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到，顶点，利用待定系数法即可求出此时的函数解析式； （2）当时，即，求出方程的解，即可求出的长，比较即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意知，，顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（不合题意，舍去）． ∵洗手池的底部中心点到走廊的距离为， ∴下雨时雨水能正好落在洗手池的顶部中心点处． 25. 问题提出 （1）如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则的长为___________； 问题解决 （2）如图②，某小区有一个边长为的正方形（边为墙）活动区域，小区物业在墙的中点处安装一台监控器，该监控器的视角为，点为正方形边上的点，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方，若点为边上一动点． ①当时，求的长； ②当点在线段上运动时，连接，试探索的面积是否存在最值？若存在，请求出面积的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在，的面积的最小值为，最大值为； 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，根据，即可求出答案； （2）①根据题意画出图形，此时点在上，勾股定理求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②过点作于点，证明，得出，的面积为，当时，有最小值，进而得到的面积的最小值为，当点与点重合时，有最大值，进而得到面积的最大值为； 【详解】解：（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）①解：如图， ∵正方形的边长为，为的中点，， ∴m，m， 在中，m， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴m， ②解：存在， 如图，点作于点， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴m， ∵为的中点， ∴m， ∵ ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时，有最小值为m，则的面积的最小值为， 当点与点重合时，有最大值为，则面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $