精品解析：2025年河南省周口市鹿邑县中考二模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 据网易手机网的信息显示，人工智能市场发展高歌猛进，预计2025年市场规模达到10457亿元，数据10457亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 监测天然气的浓度可以用图甲中的电路图来实现测试．已知电源电压，为定值电阻，电压表可作为气体浓度的显示装置，气敏电阻的阻值与气体浓度的关系如图乙所示，下列说法正确的是（ ） A. 气敏电阻的阻值是气体浓度的反比例函数 B. 当气体浓度为时，气敏电阻的阻值为 C. 要求将电压表示数为处标为气体浓度，电阻的阻值应为 D. 若长时间使用后，电源电压降低，则实际的气体浓度小于测量结果 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 13. 定义a⊗b＝2a+．则方程3⊗x＝4⊗2的解为x＝_____． 14. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 15. 如图，在菱形中，点、分别是、的中点，连接、．若，，则对角线的长为______，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： ②书写准确性： 小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的　　　，比较和的大小：　　　； （2）计算表格中b的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 19. 悟颖塔（图1）位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣（552-555）年间，塔身为实体，雄浑庄重，传说每年夏至日中午时没有影子，故又名无影塔．在学习了锐角三角函数后，某校数学兴趣小组的同学决定利用所学的知识测量悟颖塔的高度，如图2，在悟颖塔旁边有一个斜坡，在斜坡处测得点与悟颖塔底端处的距离为，坡度，在处测得悟颖塔顶端的仰角为，请根据相关数据求悟颖塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． （1）请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 21. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 22. 随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 23. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 2. 据网易手机网的信息显示，人工智能市场发展高歌猛进，预计2025年市场规模达到10457亿元，数据10457亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：10457亿． 故选B． 3. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是， 故选：B． 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 【详解】解：设河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆分别用A、B、C表示， 列表如下： 小明 小亮 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的结果数为1种， ∴小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是， 故答案为：D． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故选B． 10. 监测天然气的浓度可以用图甲中的电路图来实现测试．已知电源电压，为定值电阻，电压表可作为气体浓度的显示装置，气敏电阻的阻值与气体浓度的关系如图乙所示，下列说法正确的是（ ） A. 气敏电阻的阻值是气体浓度的反比例函数 B. 当气体浓度为时，气敏电阻的阻值为 C. 要求将电压表示数为处标为气体浓度，电阻的阻值应为 D. 若长时间使用后，电源电压降低，则实际的气体浓度小于测量结果 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了函数图象，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得气敏电阻的阻值与气体浓度的关系所对图象与坐标轴有交点，故气敏电阻的阻值不是气体浓度的反比例函数，故A错误； 根据图象可得当气体浓度为时，气敏电阻的阻值为，故B错误； 根据图2可知：当气体浓度增加时，的阻值将减小，电压表测量的是定值电阻两端的电压，因为电路中的总电阻减小，根据欧姆定律，电路中的电流增大，所以两端的电压增大，电压表的示数会增大． 要求将电压表示数为处标为气体浓度，此时，它两端的电压为， 电路中的电流为：； 定值电阻的阻值为：．故C正确； 若长时间使用后，电源电压降低，此时电路中的电流会偏小，则测量结果会小于实际的气体浓度．故D错误； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 13. 定义a⊗b＝2a+．则方程3⊗x＝4⊗2的解为x＝_____． 【答案】x＝ 【解析】 【分析】根据题中的新定义即可解得 【详解】解： 3⊗x＝2×3+， 4⊗2＝2×4+， ∵3⊗x＝4⊗2， ∴2×3+＝2×4+， 解得：x＝， 经检验，x＝是分式方程的根． 故答案为： 【点睛】此题考查了新定义的概念，解题的关键是理解新定义运算规则． 14. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 15. 如图，在菱形中，点、分别是、的中点，连接、．若，，则对角线的长为______，的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线性质等．延长，交于点M，连接，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交于点N，根据三角函数求出，，， ，利用勾股定理求出，，根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接， ∵四边形是菱形， ，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，则， ， ，， ∴； 在中 ， 即， ， ， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先逐项化简，再算加减； （2）括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： ②书写准确性： 小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的　　　，比较和的大小：　　　； （2）计算表格中b的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定． 【解析】 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）利用加权平均数的求法即可求解； （3）从平均分和方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3， 中位数为， 观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：小海书写准确性的平均数为（分）； 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【小问1详解】 解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 【小问2详解】 ∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 19. 悟颖塔（图1）位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣（552-555）年间，塔身为实体，雄浑庄重，传说每年夏至日中午时没有影子，故又名无影塔．在学习了锐角三角函数后，某校数学兴趣小组的同学决定利用所学的知识测量悟颖塔的高度，如图2，在悟颖塔旁边有一个斜坡，在斜坡处测得点与悟颖塔底端处的距离为，坡度，在处测得悟颖塔顶端的仰角为，请根据相关数据求悟颖塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，由坡度定义可得，设，在由勾股定理建立方程求出，即可求解，再解得到，最后由即可求解． 【详解】解：如图：过点作于点，由题意得， ∴， 斜坡的坡度， ∴， 设, ， 由勾股定理得：， 解得：， ， ，， ， ， 即悟颖塔的高度约为． 20. 如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． （1）请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 【答案】（1） 如图， （2）①是的切线， 证明：连接， 是的直径， ，即于点， ∵是半径， 是的切线， ② 【解析】 【分析】（1）根据步骤作图即可； （2）①连接，由直径所对圆周角为直角即可得出，即可证明是的切线． ②连接，由勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②连接， ，，， ， 为的垂直平分线， ，设，则， 在中， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理的推论，切线的判定．熟练掌握上述知识是解题关键． 21. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式 （2）水火箭距离地面的竖直高度米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， 【小问2详解】 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 22. 随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】（1）购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大载客量为万人． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； 【小问2详解】 解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 23. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $