第3讲 等式与不等式的性质 - 2026届高考数学第一轮复习讲义

【2026届高三第一轮复习】 第3讲 等式与不等式的性质 导学案 授课班级：G23xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 理解等式和不等式的共性与差异. 2. 理解不等式的概念. 3. 掌握不等式的性质及其简单应用. 4. 理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2、 知识梳理 1. 不等式的定义 用不等号“ ， ， ， ， ”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式. 2. 两个实数大小比较方法 作差法： ；；. 作商法： 3.不等式的基本性质 （1）反对称性： ； （2）传递性：， ； （3）可加性： ；， ； （4）可乘性：， ；， ； ，； （5）乘方性质： ； （6）开方性质： . 3、 重要结论 1. 倒数的性质 ①， ； ② ； ③， ； ④或 . 2. 有关分数的性质 若， ，则 ①； ；②； . 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） . ( ) （2）若，则 . ( ) （3）若，则 . ( ) （4）若，则 . ( ) （5）若，则 . ( ) 【答案】（1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）× 2．［教材习题］设，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【解析】由， 则， 所以. 故选：A. 3．［教材习题］设，，，则下列不等式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【解析】A中，令，，，，满足，，但，故A错； B中，因为，所以由可加性，可得，所以，故B对； C中，令，，，，满足，，但，故C错； D中，令，，，，满足，，但，故D错． 故选：B 4． 已知为正实数．求证：. 【证明】因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 5．[教材习题改编] 已知，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，则， 又，所以，即的取值范围是. 故选：D 5、 题型剖析 题型一：比较两个数（式子）的大小 角度1：作差法、作商法比较大小 例题1（1）记，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以. 因为 ，所以. 因为 ，所以. 综上可知：. 故选：A. （2）若，则与的大小关系是( 　　) A． B． C． D． 【解析】， 若，则，，； 若，则，∴ 若则，∴. 故选：A 角度2：中间值法比较大小 （3）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为在上递增，则，又因为在定义域上递增，所以，又因为在区间上单调递减，则， 因此，所以. 故选：C 角度3：图象法比较大小 （3）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【解析】令，得，则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 角度4：单调性法比较大小（构造函数） （4）（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以为偶函数， 当时，则，所以. 令，则，令，解得；令0，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增. 令，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以，即， 所以，所以，即. 故选：D. 【通解通法】 比较两个数（式）的大小的常见方法： （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论. 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差； （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论； （3）中间值法：找到中间值作为桥梁，常用中间值：0、1、1/2、a^a等； （4）图象法：根据题意画出图象，借助图象比较大小； （5）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，将对应值对应到同一单调区间，根据函数的单调性得出大小关系. 跟练一：比较两个数（式子）的大小 跟练1（1）（2025·天津和平·二模 改编）已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【解析】，所以，，所以， 又，，故，所以. 综上，. 故选：D. （2）已知，，，则，，的大小关系为 ． 【解析】，，， 又，所以． 故答案为：． （3）（2024·云南贵州·二模）已知，，，则，， 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【解析】设，则，当时，，在 上递 增；当时，，在上递减，故 . 则，故 . 故选：B. （4）（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，，因为，，所以两边取对数整理可得，，所以，又，，，且，即，所以，，所以. 故选：D. 题型二：不等式性质的应用问题 例题2（1）（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（      ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则，等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC （2）（2025·河南·二模）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】A项，因为 是减函数，而，所以，故A对； B项，因为 在上单调递增，而，所以，故B对； C项，，∵，，，∴，即，故C错； D项，，因为，，，所以，即，故D对. 故选：ABD. 【通解通法】 不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略 （1）利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关 键，要注意不等式性质成立的前提条件. （2）与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断├ p⇒q┤和├ q⇒p┤ 是否正确，要注 意特殊值法的应用. （3）与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常 采用特殊值验证的方法. 跟练二：不等式的性质的应用问题 跟练2（24-25高三下·海南·阶段练习）（多选）已知，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误． 故选：AC 题型三：不等式性质求代数式取值范围 例题3（1）（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，得，， 所以． 故选：B． （2）（高三上·河北衡水·阶段练习）三个正数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵三个正数a，b，c，满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b， ∴12 ①，1②，由②得1 ③， ①+③得11≤2 ④， ④等价于，即，∴．故选：A． 【通解通法】 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 跟练三：不等式性质求代数式取值范围 跟练3 （1）已知，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】∵， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：D. （2）已知，则的取值范围为 . 【解析】令，则， ，解得，， ，， 两不等式相加可得，即的取值范围为． 故答案为：． 6、 走进高考 1．（2019·全国II卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】取，满足，，知A错，排除A； 因为，知B错，排除B； 取，满足，，知D错，排除D， 因为幂函数是增函数，，所以， 故选：C． 2．（2016·浙江·高考真题）已知，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】， 当时，，， 当时，， 观察各选项可知选D. 3．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误， ，选项B错误， ，选项D错误， 因为 选项C正确， 故选：C 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【2026届高三第一轮复习】 第3讲 等式与不等式的性质 导学案 授课班级：G23xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 理解等式和不等式的共性与差异. 2. 理解不等式的概念. 3. 掌握不等式的性质及其简单应用. 4. 理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2、 知识梳理 1. 不等式的定义 用不等号“ ， ， ， ， ”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做 . 2. 两个实数大小比较方法 作差法： ；； . 作商法： 3.不等式的基本性质 （1）反对称性： ； （2）传递性：， ； （3）可加性： ；， ； （4）可乘性：，；， ； ，； （5）乘方性质： ； （6）开方性质： . 3、 重要结论 1. 倒数的性质 ①， ； ② ； ③， ； ④或 . 2. 有关分数的性质 若， ，则 ①； ；②； . 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） . ( ) （2）若，则 . ( ) （3）若，则 . ( ) （4）若，则 . ( ) （5）若，则 . ( ) 2．［教材习题］设，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 3．［教材习题］设，，，则下列不等式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4． 已知为正实数．求证：. 5．[教材习题改编] 已知，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5、 题型剖析 题型一：比较两个数（式子）的大小 角度1：作差法、作商法比较大小 例题1（1）记，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2）若，则与的大小关系是( 　　) A． B． C． D． 角度2：中间值法比较大小 （3）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 角度3：图象法比较大小 （3）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 角度4：单调性法比较大小（构造函数） （4）（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【通解通法】 比较两个数（式）的大小的常见方法： （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论. 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差； （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论； （3）中间值法：找到中间值作为桥梁，常用中间值：0、1、1/2、a^a等； （4）图象法：根据题意画出图象，借助图象比较大小； （5）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，将对应值对应到同一单调区间，根据函数的单调性得出大小关系. 跟练一：比较两个数（式子）的大小 跟练1（1）（2025·天津和平·二模 改编）已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． （2）已知，，，则，，的大小关系为 ． （3）（2024·云南贵州·二模）已知，，，则，， 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. （4）（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：不等式性质的应用问题 例题2（1）（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（      ） A． B． C．若，则 D．若，则 （2）（2025·河南·二模）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【通解通法】 不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略 （1）利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关 键，要注意不等式性质成立的前提条件. （2）与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断├ p⇒q┤和├ q⇒p┤ 是否正确，要注 意特殊值法的应用. （3）与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常 采用特殊值验证的方法. 跟练二：不等式的性质的应用问题 跟练2（24-25高三下·海南·阶段练习）（多选）已知，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：不等式性质求代数式取值范围 例题3（1）（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． （2）（高三上·河北衡水·阶段练习）三个正数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【通解通法】 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 跟练三：不等式性质求代数式取值范围 跟练3 （1）已知，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． （2）已知，则的取值范围为 . 6、 走进高考 1．（2019·全国II卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2016·浙江·高考真题）已知，且.若，则（ ） A． B． C． D． 3．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则（ ） A． B． C． D． 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$