精品解析：2025年湖北省鄂州市中考一模数学试题

2025年湖北省鄂州市中考一模数学试题 （试卷满分：120分 考试用时：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 今年全国粮食总产量比去年增长了，若“”表示增长，则“”表示（ ） A. 减少 B. 增长 C. 减少 D. 增长 2. 下图所示的几何体是由若干个大小相同的小立方块搭成的，则这个几何体从左面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币时，硬币落下后正面朝上 B. 今天是星期一，明天是星期三 C. 从只装有白球的盒子里随机摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头，剪刀，布”游戏，对方出“剪刀” 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，内接于是是直径，C，D是圆上的点，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，，则当时，函数值（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不确定 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分） 11. 写出一个小于﹣3的整数：_____． 12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 13. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为5时，输出的的值为7．若输入的值为2时，则输出的值为______． 14. 计算：________. 15. 如图，点在等腰Rt的斜边上，以点为旋转中心将线段顺时针旋转度到线段处，连接交于点．若，则的长为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 18. 我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为，后，火箭直线到达Q处，此时地面处雷达站测得Q处的仰角为（参考数据：，） （1）求处距O处的长度； （2）求火箭从到Q处的平均速度． 19. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为小人数时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 下面是根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 20. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 21. 如图，在中，，平分交于点，作交于点，是的外接圆，交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知的半径为，，求的长． 22. 综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 23. 如图1，在平行四边形中，为延长线上一点，且交于点． （1）当时，求证：； （2）当时，用表示与的数量关系； （3）如图时，G为上一点，，相交于点，连接．若，且，求的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与轴，轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴的另一交点为． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值； （2）如图2，点在线段OC上，且．点在第四象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为S，点的横坐标为，求S关于的解析式； （3）在（2）条件下，若四边形的面积为44，且线段与抛物线相交，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省鄂州市中考一模数学试题 （试卷满分：120分 考试用时：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 今年全国粮食总产量比去年增长了，若“”表示增长，则“”表示（ ） A. 减少 B. 增长 C. 减少 D. 增长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用：根据“”表示增长，即可作答． 【详解】解：∵“”表示增长， ∴“”表示减少， 故选：A 2. 下图所示的几何体是由若干个大小相同的小立方块搭成的，则这个几何体从左面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看到的图形即可． 【详解】解：从左边看从左面看到的形状图是： 故选D． 【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，正确画出左视图是解题的关键． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， 故选：C． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】， ， ， 在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质并结合题目自身特点采取相应的解题步骤是解题的关键． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币时，硬币落下后正面朝上 B. 今天是星期一，明天是星期三 C. 从只装有白球的盒子里随机摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头，剪刀，布”游戏，对方出“剪刀” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．属于随机事件，故本选项不符合题意； B．属于不可能事件，故本选项不符合题意； C．属于必然事件，故本选项符合题意； D．属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选C． 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设设合伙人数为人，羊价为钱，根据羊的价格不变列出方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 8. 如图，内接于是是直径，C，D是圆上的点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用余弦定义求得，进而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵内接于是是直径， ∴，又， ∴，则， ∵， ∴， 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，旋转性质，先作出平面直角坐标系，根据旋转性质，得出，根据同角的余角相等，得出，得证，结合点，即可作答． 【详解】解：如图：过点P和分别作轴，作轴， 由点得，， 由旋转性质得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴的坐标为， 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，，则当时，函数值（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求得二次函数的开口方向和对称轴，以及图象与y轴的交点，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线，且与y轴负半轴相交， ∵当时，， 设该二次函数的图象与x轴相交与点A、点B（A在B的左边）， ∴，且， ∴当时，所对应的点在点B的右边， ∴函数值n小于0， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分） 11. 写出一个小于﹣3的整数：_____． 【答案】﹣4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是对有理数的大小比较的考查，任意一个＜-3的整数都满足要求． 【详解】小于﹣3的整数可以是﹣4， 故答案为﹣4（答案不唯一） 【点睛】此题考查有理数大小的比较，解题关键在于掌握其比较方法. 12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 13. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为5时，输出的的值为7．若输入的值为2时，则输出的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、求函数值，先根据已知求得b值，再求解y值即可． 【详解】解：∵输入的的值为5时，输出的的值为7，且 ∴将代入中，得，解得， 再将代入中，得， 则输入的值为2时，则输出的值为， 故答案为：． 14. 计算：________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式加减法法则计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 15. 如图，点在等腰Rt的斜边上，以点为旋转中心将线段顺时针旋转度到线段处，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中,利用等腰直角三角形的判定与性质求得，进而可利用勾股定理计算出，接着根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后证明，利用相似比可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 为等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， 在中，， 线段顺时针旋转到线段， ， 为等腰直角三角形， ，又， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，涉及绝对值、乘方、算术平方根、零指数幂运算，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】证明△ADF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180° ∴∠ADF=∠CBE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠E=∠F． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 18. 我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为，后，火箭直线到达Q处，此时地面处雷达站测得Q处的仰角为（参考数据：，） （1）求处距O处的长度； （2）求火箭从到Q处的平均速度． 【答案】（1） （2）约 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． （1）在中，利用余弦定义求解即可； （2）在、中，利用锐角定义分别求得，，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，在中，，， ∴， 答：处距O处的长度为； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴火箭从到Q处的平均速度为 19. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为小人数时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 下面是根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）本次调查了100名学生 （2）补全条形统计图如图所示： （3）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人 【解析】 【分析】（1）根据组人数和所占百分比，可以计算出本次调查的学生总人数； （2）先计算出睡觉时间少于8.5小时的学生人数，再补全统计图即可； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次调查了100名学生； 【小问2详解】 解：睡觉时间少于8.5小时的学生有：（名）， 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人． 20. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合是解题的关键． （1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可； （3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：直线过点， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 在点右边，即时，直线在双曲线上方， 所以不等式的解集是； 【小问3详解】 解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则． 直线的解析式为， 直线的解析式为． 由，解得， 点的坐标为； ，且点在点右边， 点纵坐标的取值范围是． 21. 如图，在中，，平分交于点，作交于点，是的外接圆，交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例求线段的长度． 连接，根据角平分线的性质和等边对等角可知，根据直角三角形两锐角互余可证，从而可证结论成立； 连接，首先利用相似三角形对应边成比例可求，根据可知，从而可求，根据圆周角定理可得，从而可证，根据平行线分线段成比例定理可知，从而可得：． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 的半径为， ， ∵是直径， ∴， 在和中， ，， ， ， 又，， ， ， 由可知， ， ∴， ， ， ， 解得：， 是的直径， ， ， ， ， 解得：． 22. 综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1），的长为；（2）；（3）当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆锥的侧面展开图，根据扇形的面积公式列函数关系式是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据扇形面积公式(l为扇形弧长，r为扇形的半径)求解即可； （3）把（2）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆锥体的侧面展开图是一个扇形， ∵，的长度为， ∴，的长为； （2）根据题意，与的函数表达式为， 即； （3）由得，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 23. 如图1，在平行四边形中，为延长线上一点，且交于点． （1）当时，求证：； （2）当时，用表示与的数量关系； （3）如图时，G为上一点，，相交于点，连接．若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：当时，为等腰三角形． 又为顶角的平分线， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）当时，为等腰三角形．结合为顶角的平分线，得到，则平行四边形为矩形，再证明，即可证明； （2）作于点G，于点N，由，得到，则，由，得到，设，则，再由，得到，即可得到，即可解题； （3）当时，由（1）知平行四边为矩形，证明，得到，得到，即，再证明，得到，则，由，则，设，则，在中，利用，得到，，最后在中，利用勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点M，于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴平行四边形为菱形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，由（1）知平行四边为矩形， 由易知， ∴， 又由（1）知， ， ∴，即， 如图，连接， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，则，设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，． 24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与轴，轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴的另一交点为． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值； （2）如图2，点在线段OC上，且．点在第四象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为S，点的横坐标为，求S关于的解析式； （3）在（2）条件下，若四边形的面积为44，且线段与抛物线相交，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴，求出点坐标，待定系数法求出m的值即可； （2）根据两直线平行，求出的解析式，进而求出点坐标，过点作轴，证明，进而用含的式子表示出的长，即可得到点坐标，利用梯形的面积减去三角形的面积表示出S关于t的解析式，即可； （3）先根据面积求出的值，进而得到的坐标，求出抛物线分别过时，点坐标，进而求出的范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， ∴， 过点作轴于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 即； 【小问3详解】 解：当时，， 整理，得， 解得：或（舍去）； ∴，， 当抛物线过点时，则：，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴，代入，得：， ∴； 当抛物线过点时，则两点重合， ∴，代入，得：， ∴； ∵与抛物线有交点， ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式，坐标系中两条平行线解析式之间的关系，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $