福建省莆田市莆田第三中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

莆田三中2024-2025学年下学期期中 高一数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1．已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 4．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 5．如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（    ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 7．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根 10．下列说法正确的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则在上的投影向量为 C．在中，是的充要条件 D．在△ABC中，若，，，则△ABC有两解 11．如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 ． 13．如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则 14．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular  solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为    四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量，. (1)当时，求的值； (2)当，，求向量与的夹角. 16．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)判断直线PM与AA1的位置关系（直接写答案，不用证明） (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 17．设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. (1)求角的大小； (2)若锐角外接圆的半径为，求的取值范围． 18．已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 19．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田三中2024-2025学年下学期期中 高一数学 一、单选题 1．已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数除法运算求出，然后由复数的几何意义和共轭复数概念可得. 【详解】由得， 所以，对应点为，在第一象限. 故选：A 2．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 【答案】B 【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误.    BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 4．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解． 【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为． 故选：D. 5．如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 6．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（    ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得， ，故，所以，，，四点共面； 所以①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形； EF与GH必相交，设交点为M. 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点. 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上. 所以④正确，③错误； 故选：C. 7．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 8．在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 二、多选题 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根 【答案】AC 【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可 【详解】解：由，得， 所以，所以A正确， 复数的虚部为1，所以B错误， 复数的共轭复数，所以C正确， 因为，所以复数不是方程的一个根，所以D错误， 故选：AC 10．下列说法正确的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则在上的投影向量为 C．在中，是的充要条件 D．在△ABC中，若，，，则△ABC有两解 【答案】BCD 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； ，所以在上的投影向量为：，故B正确； 对于C中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，则，所以C正确； 对于D：若，，，由正弦定理得，，，故即可能是锐角也可能是钝角，故△ABC有两解，D正确. 故选：BCD. 11．如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：根据题意结合台体的结构特征运算求解；对于B：根据台体的体积公式运算求解，对于C：由圆台补成圆锥，结合圆锥的侧面展开图分析求解；对于D：做辅助线，分析可知，结合几何知识运算求解. 【详解】对于选项A：如图1，作交于点E，易得， 则，所以圆台的高为，故A正确； 对于选项B：圆台的体积为，故B错误； 对于选项C：由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角， M为AD的中点，连接CM，如图2， 可得，，，则， 此时到的距离为， 故从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确； 对于选项D：延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，为中点，是与交点，如图3， 过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4， 则，与相似， 可得，，解得， 由垂径定理知N为FH的中点， 则与相似，且都是等腰直角三角形， 所以，故D正确； 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据原几何图形的面积与直观图的面积之比可快速的计算出答案． 【详解】解：由直观图可得：原几何图形的面积与直观图的面积之比为：1 又∵正方形O'A'B'C'的边长为2cm， ∴正方形O'A'B'C'的面积为4cm2， 原图形的面积S=cm2， 【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直观图面积和原图面积之间关系，属基础题． 13．如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则 【答案】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，即可得. 【详解】由题设， . 故填： 14．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular  solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为    【答案】 ；； 【分析】根据该多面体结构特征即可求出表面积判断A，利用割补法求体积判断B，分别求解两平行平面的距离即可判断C，利用平面性质找到截面图形，利用正六边形由六个正三角形组成求面积判断D. 【详解】 该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为，所以； 根据平面性质知，过A、Q、G三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE， 故截面面积为. 四、解答题 15．已知向量，. (1)当时，求的值； (2)当，，求向量与的夹角. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）向量，，则， 由，可得， 即，即，解得或. （2）由，，则， 由，可得，解得， 所以，，， 又，所以. 16．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)判断直线PM与AA1的位置关系（直接写答案，不用证明） (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)直线PM与AA1异面；(2)证明见解析 (3) 【分析】（2）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明； （3）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明. 【详解】（2）∵直三棱柱中，为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， 故平面. （3）因为直三棱柱，则平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长， 又因为N，P分别为AC，BC的中点，且， 则. 17．设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. (1)求角的大小； (2)若锐角外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的差角公式，根据同角三角函数的商式，可得答案； （2）由余弦定理建立方程，根据完全平方公式以及基本不等式，可得答案； （3）由锐角三角形的性质，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函数的解析式，并由三角函数的恒等式，可得答案. 【详解】（1），，，； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 解得， 所以 ，又，所以， 所以， 所以的取值范围为． 18．已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得结果. （2）利用面积公式可得，根据余弦定理结合基本不等式可得结果. （3）根据条件可得，等式两边同时平方可求得的值. 【详解】（1）∵，，且 ， ∴，故， ∵，∴，故， ∵，∴. （2）∵的面积为，∴，即，故. 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意， ∴，即的最小值为. （3）    ∵为边上的中线，∴， ∴，即， ∴，即，解得或（舍）， 此时，为等边三角形，符合题意， ∴. 19．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可. （2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由得，再结合余弦定理可求出可得周长. （3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为，所以可化为， 由正弦定理可得，因为，所以， 因此，， 即，因为． 所以，故． （2）因为，所以的内角均小于，所以点P在的内部，且， 设， 因为， 整理得：， 由得， 即， 在中，由余弦定理得，即， 则，解得，所以的周长为． （3）在中，由余弦定理得： 将三个等式左右分别相加，， 由（2）知①， 在中，由余弦定理得，即②， 将①，②代入整理得，， 于是， 从而，， 由题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立． 因为，当且仅当时等号成立，故， 即实数n的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$