精品解析：2025年江苏省南通市启东市中考一模数学试题

2025年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 球 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判定几何体．根据主视图和左视图是矩形可判断是柱体，再根据俯视图是圆即可得出判断． 【详解】解：几何体的主视图和左视图都是矩形， 该几何体是柱体， 又俯视图是圆形， 该几何体是圆柱体， 故选：C． 3. 根据《南通市2024年国民经济和社会发展计划执行情况与2025年国民经济和社会发展计划草案的报告》可知：2024年南通乡村建设扎实推进，新建改造高标准农田300000亩．数据“300000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中， n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 计算，正确的结果是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 直接利用二次根式的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 如图，直线，直角的顶点在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补分析作答． 由可得，然后根据已知条件进行角的和差计算． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵直角的顶点在直线上，若， ∴， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 8. 如图，建筑物 和旗杆 的水平距离 为6m，在建筑物的顶端 测得旗杆顶部 的仰角为，旗杆底部 的俯角为，则旗杆 的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形 是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出 和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解：由题意得：四边形 是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：D． 9. 如图，在等边三角形中， 为 边上一点， 为边上一点，且，若 ，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可得到的边长，进而求出 的长．过点E作于点F，在中，通过解直角三角形求出 ，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的边长为，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为8， ∴， 过点E作于点F， ∴在中，， ∴． 故选：A． 10. 已知，且（ 是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个条件是解题的关键． 12. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 13. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8πcm2． 故答案是：. 【点睛】考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 14. 设、是方程的两个根，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中， ，分别以C、B为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点D，连接 、、 ．若，则______°． 【答案】25 【解析】 【分析】根据作图，得到，得到菱形 ，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形 是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 16. 在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 17. 某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为________． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，设的函数解析式分别为，利用待定系数法求出的函数解析式，再结合 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由图知，过点， 设的函数解析式分别为， 又过点，过点， ， 解得， 的函数解析式分别为， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多12， ， 解得， 故答案为：300． 18. 如图，在中， ，，，是 的中点．点从 点出发以向点 运动，点从 点出发以向点 运动，点是的中点，连接．点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点的运动时间为_______s． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，中点坐标公式，解一元二次方程，解题的关键是建立平面直角坐标系，数形结合．以点O为坐标原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，则，，根据中点坐标公式得出，设运动时间为，则，，根据中点坐标公式得出，根据两点间距离公式得出，求出结果即可． 【详解】解：以点O为坐标原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，， ∵是 的中点， ∴， 设运动时间为，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）6；（2），18 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，能正确根据实数和分式的运算法则进行化简是解此题的关键． （1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方法则计算； （2）先算完全平方，再算除法，最后合并同类项进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 20. 如图，点 ， ， ， 在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（） （2） 证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某市奥体中心有标号为①、②、③、④四个出入口．周日上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择一个出入口，开展志愿服务活动， （1）甲在③号出入口开展志愿服务的概率为_______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵有标识为①、②、③、④的四个出入口， ∴甲在③号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 22. 2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组： ．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 八年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）88；， （2） 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的约有490人 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到 的人数为 人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第 和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级 名学生竞赛成绩在 组的数据共有个，可以求出； （2）根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从七年级 名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分， ； 从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到 组的占， 八年级学生成绩达到 的人数为：， 八年级 名学生竞赛成绩在 组的数据是89，89，88，87，86，85，83， 八年级 名学生竞赛成绩在 组的人数为， 八年级 名学生竞赛成绩在 组和 组的共有人， 八年级 名学生竞赛成绩的中位数为， ； 八年级 名学生竞赛成绩在 组的人数为， 八年级 名学生竞赛成绩在 组的百分率为， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级参加竞赛的 人中达到优秀的有 人，占总人数的， 估计七年级的名学生达到优秀的有人， 八年级参加竞赛的 人中达到优秀的有， 估计八年级的名学生中达到优秀的有人， 估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 23. 如图， 是 的直径， 是的中点，过点 作，垂足为点 ． （1）求证：是 的切线； （2）若， 的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是半径， ∴是 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）通过圆心角定理和圆周角定理可证得，利用平行线的性质得，即可求解； （2）过 作于点 ，先证得是等边三角形，利用求出的长度和的值，通过即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过 作于点 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形面积的计算公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 24. 12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． （1）直接写出 与的函数关系式及 的范围（不违反交通法规）； （2）甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出 与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到 的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴ 的范围为； 【小问2详解】 解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 25. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数 ，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值, 由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【小问1详解】 解：若， ，顶点坐标； 【小问2详解】 把代入得： 把代入得：． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， 当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴点抛物线对称轴的左侧， 点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是， ∴． 综上，的值是． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片 裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图1，过点 作，垂足为点 ，交于点 ，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形 的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片 裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①②③； （2）证明：过点 作，垂足为点，交于点 ，连接，， 则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． （3）能，等腰三角形的腰长是或或． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的性质等知识． （1）根据三角形面积公式和矩形面积公式，计算即可判断； （2）过点 作，垂足为点，交于点 ，连接，，妨照例题证明即可； （3）分三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到，如图， ； ②小华：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； ③小红：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； 综上，①②③都符合题意； 故答案为：①②③； （2）略 （3）取 的中点 ，则； ∵，， ∴， ∴； 取 的中点 ，则； ∵，， ∴， ∴； 在 上取一点 ，使，则； ∴； 综上，等腰三角形的腰长是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业、升学模拟考试试卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 球 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 3. 根据《南通市2024年国民经济和社会发展计划执行情况与2025年国民经济和社会发展计划草案的报告》可知：2024年南通乡村建设扎实推进，新建改造高标准农田300000亩．数据“300000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算，正确的结果是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，直线，直角的顶点在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，建筑物 和旗杆 的水平距离 为6m，在建筑物的顶端 测得旗杆顶部 的仰角为，旗杆底部 的俯角为，则旗杆 的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 9. 如图，在等边三角形中， 为 边上一点， 为边上一点，且，若 ，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且（ 是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 分解因式：____________． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 14. 设、是方程的两个根，且，则_____． 15. 如图，在中， ，分别以C、B为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点D，连接 、、 ．若，则______°． 16. 在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 17. 某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为________． 18. 如图，在中， ，，，是 的中点．点从 点出发以向点 运动，点从 点出发以向点 运动，点是的中点，连接．点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点的运动时间为_______s． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点 ， ， ， 在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 21. 某市奥体中心有标号为①、②、③、④四个出入口．周日上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择一个出入口，开展志愿服务活动， （1）甲在③号出入口开展志愿服务的概率为_______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 22. 2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组： ．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 八年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 23. 如图， 是 的直径， 是的中点，过点 作，垂足为点 ． （1）求证：是 的切线； （2）若， 的半径为2，求图中阴影部分的面积． 24. 12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． （1）直接写出 与的函数关系式及 的范围（不违反交通法规）； （2）甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 25. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数 ，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片 裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在 上取一点 ，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图1，过点 作，垂足为点 ，交于点 ，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形 的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片 裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $