2025年中考数学复习--板块二十三 圆(二)方法研究——解答题

板块二十三 圆(二)方法研究——解答题 方法研究1 圆与勾股(一)单勾股 典例精讲 技巧一 作垂径构直角三角形 【例】 (2023武汉中考)如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径,∠ACB=2∠BAC. (1)求证:∠AOB=2∠BOC; (2)若AB=4,BC= ,求⊙O 的半径. 典题精练 技巧二 连直径所对的圆周角构直角三角形 1.(2024江岸区)如图,在△ABC 中,AB=AC,以AC 为直径作⊙O 交BC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交AB 于点E,延长BA 交⊙O 于点 F. (1)求证:DE⊥AB; (2)若 求⊙O 的直径. 技巧三 连弧的中点与圆心构直角三角形 2.(2024硚口区)如图,在⊙O 中, ,连接AC,BD,过点 B 作 交 DC的延长线于点E. (1)求证: (2)若 求⊙O的半径. 方法研究2 圆与勾股(二)双勾股 典例精讲 技巧一 连弧的中点与圆心构直角三角形 【例】 (2023武汉四调)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是. 的中点，过点C 作弦BD 的垂线，垂足为E. (1)求证:CE=DE; (2)若AD=DE=1,求AB 的长. 典题精练 技巧二 连直径所对的圆周角构直角三角形 1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC 于点D,交CA 的延长线于点E. (1)求证:BD=CD; (2)连接ED,若AC=5,ED=4,求 AE 的长. 技巧三 连过切点的半径构直角三角形 2.(2023武昌区)如图,在 中， 点O 在 AC 边上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D,交AC 于点E,在 BC 边上取一点F,连接 FD,使得 (1)求证:DF 为⊙O 的切线; (2)若A ,求⊙O 的半径. 方法研究3 圆与相似(一)构“A型”相似 典例精讲 【例】 (2024武昌区)如图,AB 为⊙O 的直径,过⊙O 上点C 的切线交AB 的延长线于点E,AD⊥EC 于点D,交⊙O 于点F,连接BC,CF. (1)求证:BC=CF; (2)若AD=3,DE=4,求 BE 的长. 典题精练 技巧一 连圆心与切点构“A型”相似 1.(2023硚口区)如图,以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交AC 于点D,且 D 为AC 的中点,作DG⊥BC 于点G,交 BA 的延长线于点 H. (1)求证:HG 是⊙O 的切线; (2)若 HA=2,HD=4,求CG 的长. 技巧二 连弧的中点与圆心构“A型”相似 2.如图,AB 为⊙O 的直径,弦 DC 的延长线交AB 的延长线于点E, (1)求证: (2)若 求 BE 的长. 方法研究 4 圆与相似(二)构“X型”相似 典例精讲 【例】 (2024江汉区)如图,AB 为⊙O的直径,P 为BA 延长线上一点,点C在⊙O上,连接PC,D 为半径OA 上一点,PD=PC,连接CD 并延长交⊙O于点E,且E 是. 的中点. (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若AB=10,5CD=4DE,求AC 的长. 典题精练 技巧一 连弧的中点与圆心构“X型”相似 1.(2023江岸区)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是. 的中点，连接AC并延长至点D，使( AC,E 是OB 上一点,且 CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F,AF 交⊙O 于点 H,连接 BH. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)当AB=8时,求 BH 的长. 技巧二 作垂线构“X型”相似 2.如图,AB 是⊙O 的直径, ,⊙O 的弦CD⊥AB 于点E,CD=6.过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 F,连接 BC. (1)求证:CB 平分 (2)G为 上一点,连接CG 交AB 于点 H.若 ,求 BH 的长. 方法研究5 圆与相似(三)构“射影型”相似 典例精讲 类型一 连直径所对的圆周角构“射影型”相似 【例】 (2020武汉中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E. (1)求证:AD平分∠BAE; (2)若CD=DE,求 sin∠BAC 的值. 典题精练 类型二 连圆心与切点构“射影型”相似 1.(2024宿迁)如图,在⊙O中,AB 是直径,CD 是弦,且AB⊥CD,垂足为E, 在 BA 的延长线上取一点F,连接CB,CF,使∠FCD=2∠B. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)求 EF 的长. 类型三 作垂线构“射影型”相似 2.(2024湖北模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 交AB 于点 F, ，垂足为E， BC=10. (1)求证:△DBE∽△ABC; (2)若AC=CF,求 AF 和ED 的长. 方法研究6 圆与相似(四)构其他相似 典例精讲 类型一 构“仿A”型相似 【例】 (2024通辽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆与AB 相切于点 D，连接CD. (1)求证:∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径. 典题精练 类型二 构“旋转”型相似 1.(2023成都)如图,以△ABC 的边AC 为直径作⊙O,交 BC 边于点D,过点 C 作( 交⊙O 于点E,连接AD,DE,且∠B=∠ADE. (1)求证:AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB 和DE 的长. 类型三 构“仿射影”型相似 2.(2024罗湖区)如图,AB 为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为AC的中点,过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于E，交AB 的延长线于F，连接EA. (1)求证:EA 与⊙O 相切; (2)若CE=3,CF=2,求⊙O的半径. 方法研究7 圆与三角函数(一)用直角 典例精讲 技巧一 定义+勾股 【例】 (2023东西湖区)如图,在△ABC中,AB=AC,AC 是⊙O 的弦,D为AC的中点,连接OD,OA,分别交CB 于点E,F,且OE=OF. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 求 BF 的长. 典题精练 技巧二 勾股+三角函数 1.(2024东湖高新区)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在AC 边上,以AD 为直径作⊙O交BD 的延长线于点E,且CE=BC. (1)求证:CE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为3, 求 AB 的长. 技巧三 相似+三角函数 2.(2024湖北模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,连接AC,BC,过点C 作⊙O 的切线,交AB 的延长线于点 D,OF⊥BC 于点E,交CD 于点 F. (1)求证:∠BCD=∠BOE; (2)若 求 BD 的长. 方法研究8 圆与三角函数(二)构直角 典例精讲 技巧一 连过切点的半径构直角三角形 【例】 (2024江岸区)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,连接BC,取 的中点D,过点 D 作⊙O 的切线,交AB 的延长线于点E,连接AD,CD,CD与AB 交于点F. (1)求证:∠ABC=2∠OAD; (2)当 时，求 的值. 典题精练 技巧二 作垂线构直角三角形 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8,点 C 在 BO 延长线上,且 (1)求⊙O 的半径; (2)求∠BAC 的正切值. 技巧三 连弧的中点与圆心构直角三角形 2.(2023 江汉区)如图,在⊙O中,AB 为直径,EF 为弦,连接AF,BE 交于点 P,且 F为 的中点. (1)求证: (2)若 求 sin∠ABE 的值. 方法研究9 圆与三角函数(三)转直角 典例精讲 技巧一 圆外角转圆心角 【例1】 (2024武汉中考)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边 BC 的中点,腰AC 与半圆O相切于点 D,底边 BC 与半圆O 交于E,F 两点. (1)求证:AB 与半圆O 相切; (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC 的值. 技巧二 弦切角转圆外角 【例2】 (2024孝感)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O外一点, ,连接OC,DF 是AC 的垂直平分线,垂足为E,交OC 于点F,连接AD,CD,且 (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若CD=5,OF=3,求 cos∠DAC 的值. 技巧三 圆外角转圆周角 【例3】 (2024甘肃)如图,AB 是⊙O 的直径, 点 E 在AD的延长线上，且 ∠AEB. (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)当⊙O的半径为2,BC=3时,求 tan∠AEB 的值. 典题精练 技巧四 圆周角转圆周角 1.(2024武昌区)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB 于点D. (1)求证:AO平分∠BAC; (2)若 求 AC 和CD 的长. 技巧五 圆周角转圆心角 2.(2024广西)如图,已知⊙O 是 的外接圆， D,E 分别是BC,AC 的中点,连接DE 并延长至点F，使 连接AF. (1)求证：四边形ABDF 是平行四边形； (2)求证:AF 与⊙O 相切; (3)若 求⊙O的半径. 技巧六 弦切角转圆心角 3.(2023江岸区)如图,⊙O 与矩形ABCD 的 BC 边相切于点M,且经过 CD 边上的点 N, (1)求证:CD 与⊙O 相切; (2)⊙O 与AB 交于点 E,连接 EM.若 ⊙O的半径为5，求AD 的长. 方法研究10 求与圆相关的阴影面积 典例精讲 技巧一 和差法求阴影面积 【例】 (2024武汉三调)如图,AB 是半圆O的直径,D 是. 中点，过点D 作AC 的垂线，垂足为 E,交 AB 的延长线于点 F. (1)求证:EF 是半圆O 的切线; (2)若 BF=2,∠F=30°,求阴影部分的面积. 典题精练 技巧二 等积转化求阴影面积 1.(2024黄石)如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O上AB 同侧的两点, 交 BC的延长线于点E,且 BD 平分∠ABE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若∠ABC=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积. 技巧三 割补法求阴影面积 2.如图,将⊙O 沿弦AB 折叠, 恰经过圆心O. (1)求证: (2)若 求阴影部分的面积. 板块二十三 圆(二)方法研究———解答题 方法研究1 圆与勾股(一)单勾股——2023武汉中考热点典例精讲 技巧一 作垂径构直角三角形 【例】 (2023武汉中考)如图,OA,OB,OC 都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC. (1)求证:∠AOB=2∠BOC; (2)若AB=4,BC= ,求⊙O 的半径. 解:( (2)过点 O 作半径OD⊥AB 于点 E,连接BD.∴AE=BE.∵∠AOB=2∠BOC, ∠DOB= ∠AOB,∴∠DOB=∠BOC,∴BD=BC.∵AB=4,BC= ,∴BE=2, 在Rt△BDE中, 在 Rt△BOE 中,∠OEB=90°, 解得 即⊙O 的半径是 典题精练 技巧二 连直径所对的圆周角构直角三角形 1.(2024江岸区)如图,在△ABC 中,AB=AC,以AC 为直径作⊙O交BC 于点D,过点 D 作⊙O 的切线,交AB 于点E,延长 BA 交⊙O 于点 F. (1)求证:DE⊥AB; (2)若 求⊙O 的直径. 解:(1)连接OD,则OD=OC,∴∠ODC=∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴AB∥OD,∵DE 与⊙O 相切于点 D,∴DE⊥OD,∴∠BED=∠ODE=90°,∴DE⊥AB; (2)连接CF,∵AC是⊙O 的直径,. 解得AC=10或AC=-6(不符合题意,舍去),∴⊙O的直径为10. 技巧三 连弧的中点与圆心构直角三角形 2.(2024硚口区)如图,在⊙O 中, 连接AC,BD,过点 B 作BE∥AC 交DC 的延长线于点E. (1)求证:∠D=∠E; (2)若 求⊙O的半径. 解:(1)∵BE∥AC,∴∠E=∠ACD,∵AD=BC,∴∠ACD=∠D,∴∠D=∠E; (2)由(1)知,∠E=∠BDC,∴BD=BE=8,连接OC 交BD 于点H,连接OD, 在 Rt△CHD 中,( ,设OD=OC=r,在Rt△OHD 中,由勾股定理，得( 解得r=5,即⊙O 的半径为5. 方法研究2 圆与勾股(二)双勾股 典例精讲 技巧一 连弧的中点与圆心构直角三角形 【例】 (2023武汉四调)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是. 的中点，过点C 作弦BD的垂线，垂足为E. (1)求证:CE=DE; (2)若AD=DE=1,求AB 的长. 解:(1)连接OC,CD.∵C 是 的中点,AB 是直径,∴∠BOC=90°,∴∠CDB= 又∵CE⊥BD,∴∠CED=90°,∴∠CDE=∠DCE=45°,∴CE=DE; (2)连接BC,设BE=x.∵AB 是直径,∴∠ADB=90°,在 Rt△ABD 中, 在 Rt△CEB 中, 解得 (舍去), 典题精练 技巧二 连直径所对的圆周角构直角三角形 1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC 于点D,交CA 的延长线于点E. (1)求证:BD=CD; (2)连接ED,若AC=5,ED=4,求AE 的长. 解:(1)连接AD.∵AB 为直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴BD=DC; (2)连接BE,则∠AEB=90°.∵BD=CD,∴BC=2ED=8.设AE=x,则CE=x+5,在Rt△ABE 和 Rt△CBE 中,°. , 即AE 的长为 技巧三 连过切点的半径构直角三角形 2.(2023武昌区)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O 在AC 边上,以OA 为半径的半圆O交AB 于点D,交AC 于点E,在 BC 边上取一点F,连接FD,使得DF=BF. (1)求证:DF 为⊙O 的切线; (2)若AC=6,BC=4,CF=1,求⊙O的半径. 解:(1)连接OD,则OD=OA,∴∠ODA=∠A.∵DF=BF,∴∠FDB=∠B.∵∠C=90°,∴∠ODA+∠FDB=∠A+∠B=90°,∴∠ODF=180°-(∠ODA+∠FDB)=90°,∴DF⊥OD.∵OD 是⊙O 的半径,∴DF 是⊙O 的切线; (2)连接OF,设半圆O的半径为r.∵AC=6,BC=4,CF=1,∴DF=BF=BC-CF=4-1=3,OC=AC- -1²,解得 ∴⊙O的半径是 方法研究3 圆与相似(一)构“A型”相似 典例精讲 【例】 (2024武昌区)如图,AB 为⊙O 的直径,过⊙O 上点C 的切线交AB 的延长线于点E,AD⊥EC 于点D,交⊙O 于点F,连接BC,CF. (1)求证:BC=CF; (2)若AD=3,DE=4,求 BE 的长. 解:(1)连接OC,BF,BF 交OC 于点H. ∵ED切⊙O 于点C,∴CO⊥ED,∵AD⊥EC,∴CO∥AD. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AFB=∠OHB=90°, ∴OH⊥BF,∴BC=CF,∴BC=CF; (2)在Rt△ADE 中,∵AD=3,DE=4,根据勾股定理,得AE=5. ∵CO∥AD,∴△EOC∽△EAD ,∴EC=OCD,设⊙O的半径为r,∴OE=5-r, 典题精练 技巧一 连圆心与切点构“A型”相似 1.(2023硚口区)如图,以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交AC 于点D,且 D 为AC 的中点,作DG⊥BC 于点G,交 BA 的延长线于点 H. (1)求证:HG 是⊙O 的切线; (2)若 HA=2,HD=4,求CG 的长. 解:(1)连接OD.∵AD=DC,AO=OB,∴OD 是△ABC的中位线,∴OD∥BC,OD= BC.∵DG⊥BC,∴OD⊥HG.∵OD 是⊙O 的半径,∴直线 HG 是⊙O 的切线； (2)设OA=OD=r,则OH=r+2.在 Rt△HOD 中,∠ODH=90°,由勾股定理,得OD²+DH²=OH²,∴r²+4²=(r+2)²,解得r=3,∴OA=OD=3,OH=5,∴BH=8.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.∵OD∥BC,∴∠ODA=∠C=∠OAD,∴BC=BA=6.∵OD∥BC, 技巧二 连弧的中点与圆心构“A型”相似 2.如图,AB 为⊙O 的直径,弦DC 的延长线交AB 的延长线于点E,∠BDC+2∠ABD=90°. (1)求证: (2)若 求 BE 的长. 解:(1)连接OD 交AC于点H,则∠AOD=2∠ABD, ∴∠AOD+∠BDC=2∠ABD+∠BDC=90°. ∵∠BDC=∠BAC,∴∠AOD+∠BAC=90°, ∴OD⊥AC,∴AD=CD; (2)连接BC,则∠ACB=90°,∴OD∥BC.由(1)知 设OA=OD=r,则OH=r-2,∴在 Rt△AOH 中,( 即 方法研究 4 圆与相似(二)构“X型”相似 典例精讲 【例】 (2024江汉区)如图,AB 为⊙O 的直径,P 为BA 延长线上一点,点C 在⊙O上,连接PC,D为半径OA 上一点,PD=PC,连接CD 并延长交⊙O 于点E,且E是 的中点. (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若AB=10,5CD=4DE,求AC 的长. 解:(1)连接OE.∵OC=OE,∴∠CEO=∠OCE.∵E 是 的中点， BE,∴∠AOE =∠BOE =90°,∴∠CEO+∠ODE =90°. ∵ PC = PD,∴∠PCD=∠PDC,∵∠PDC=∠ODE,∴∠PCD=∠ODE,∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠E=90°,∴OC⊥PC,∵OC 是⊙O 的半径,∴PC 是⊙O 的切线; (2)过点C 作CH⊥AB 于点H.∵OE⊥AB,∴∠CHD=∠EOD=90°. E, 典题精练 技巧一 连弧的中点与圆心构“X型”相似 1.(2023江岸区)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是. 的中点，连接 AC 并延长至点D，使 CD=AC,E 是OB 上一点,且 CE 的延长线交DB 的延长线于点F,AF 交⊙O 于点 H,连接 BH. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)当AB=8时,求 BH 的长. 解:(1)连接OC.∵AB 是⊙O 的直径,C 是 的中点,∴∠AOC=90°. ∵OA=OB,CD=AC,∴OC 是△ABD 是中位线,∴OC∥BD, ∴∠ABD=∠AOC=90°,∴AB⊥BD.∵OB 是半径,∴BD 是⊙O的切线; 在Rt△ABF 中, 根据勾股定理，得AF=10. ∵S△ABF= AB·BF= AF·BH,∴AB·BF=AF·BH,∴8×6=10BH,∴BH=4.8. 技巧二 作垂线构“X型”相似 2.如图,AB 是⊙O 的直径, ,⊙O 的弦CD⊥AB 于点E,CD=6.过点C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 F,连接 BC. (1)求证:CB平分∠DCF; (2)G为 上一点,连接CG 交AB 于点 H.若CH=3GH,求 BH 的长. 解:(1)略; (2)连接OC,OG,过点 G 作GM⊥AB 于点 M.∵CD⊥AB,∴CE= 证△GMH∽△CEH, 设 MH = x,则 HE = 3x, ∴OH = 3x --1,OM =4x --1.在Rt△OGM 中,O 解得x=1(负值舍去), 方法研究5 圆与相似(三)构“射影型”相似 典例精讲 类型一 连直径所对的圆周角构“射影型”相似 【例】 (2020武汉中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E. (1)求证:AD平分∠BAE; (2)若CD=DE,求 sin∠BAC 的值. 解：(1)连接OD，即可证得结论； (2)连接BD.易证 Rt△ADE≌Rt△BCD,∴AD=BC.设AD=BC=a,CD=x,则AC=AD+CD=a+x,易证 Rt△BCD∽Rt△ACB,∴BC²=CD·AC,即 解得 (负值已舍)， 典题精练 类型二 连圆心与切点构“射影型”相似 1.(2024宿迁)如图,在⊙O中,AB 是直径,CD 是弦,且AB⊥CD,垂足为E,AB=20,CD=12,在 BA 的延长线上取一点F,连接CB,CF,使∠FCD=2∠B. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)求 EF 的长. 解:(1)连接OC.证明略; .∵∠OCF=∠OEC=90°,∠COE=∠FOC,∴△OCE∽△OFC,∴OF=OC, 类型三 作垂线构“射影型”相似 2.(2024湖北模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 交AB 于点F,BE⊥CD,垂足为E,AC=5,BC=10. (1)求证:△DBE∽△ABC; (2)若AC=CF,求AF 和ED 的长. 解:(1)略; (2)过点C作CG⊥AB,垂足为G.∵∠ACB=90°,AC=5,BC=10, ∴AB=√AC²+BC²= ²+10²=5 .∵CG⊥AB,∴∠AGC=∠ACB=90°, 又∠A=∠A ,∴△ACG∽△ABC,∴AC=4GAC,即 ∵AC=CF,∴FG=AG= ,∠CAF=∠CFA,∴AF=2 .∵∠CFA=∠BFD, -2 =3 ∠CAF=∠BDF,∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF,∴BD=BF=AB-AF=5 ∵△DBE∽△ABC,∴BDB=DEAC,即 方法研究6 圆与相似(四)构其他相似 典例精讲 类型一 构“仿A”型相似 【例】 (2024通辽)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,O为AC边上一点,以点O 为圆心,OC为半径作圆与AB 相切于点 D，连接CD. (1)求证:∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径. 解:(1)连接OD.∵AB 为⊙O 的切线,∴OD⊥AB,∴∠ODA=∠ODB=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠COD=180°,∵∠AOD+∠COD=180°, ∴∠ABC=∠AOD.∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD; (2)设⊙O 的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r,在Rt△ACB 中, ∵∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB,∴△AOD∽△ABC,∴ODC=AD,即 解得r=3,即⊙O的半径为3. 典题精练 类型二 构“旋转”型相似 1.(2023成都)如图,以△ABC 的边AC 为直径作⊙O,交 BC 边于点D,过点C 作CE∥AB 交⊙O于点E,连接AD,DE,且∠B=∠ADE. (1)求证:AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB 和DE 的长. 解:(1)略; (2)连接AE.∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴ADB=DE. ∵AC为⊙O 的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴tanB=ADD=2,∴AD=2BD. ∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3.∵AD²+CD²=AC²,∴(2BD)²+3²=(BD+3)², 解得BD=2或BD=0(舍去),∴ 3=5. 类型三 构“仿射影”型相似 2.(2024罗湖区)如图,AB 为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为AC的中点,过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于E，交AB 的延长线于F，连接EA. (1)求证:EA 与⊙O 相切; (2)若CE=3,CF=2,求⊙O的半径. 解:(1)连接OC.∵EF为切线,∴∠OCE=90°,∵D 为AC的中点,∴OE⊥AC, ∴EC=EA,∴∠ECA=∠EAC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC, ∴∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=90°,即∠EAO=90°,∴EA 与⊙O 相切; (2)连接BC.∵AB 为直径,∴∠BCA=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°. ∵EF 为切线,∴∠BCF+∠BCO=90°,且∠BCO=∠CBA,∴∠BCF=∠CAF, 由(1)知EA 为⊙O 切线,则 EA=EC=3,EF=EC+FC=5,在 Rt△AEF 中,可求得 解得BF=1,∴AB=AF-BF=3,∴⊙O 的半径为 方法研究7 圆与三角函数(一)用直角 典例精讲 技巧一 定义+勾股 【例】 (2023东西湖区)如图,在△ABC中,AB=AC,AC是⊙O 的弦,D为AC的中点,连接OD,OA,分别交CB 于点E,F,且OE=OF. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 求 BF 的长. 解:(1)略; (2)在 Rt△AOD 中, 设AD=3x,则OA=5x,∴OD= √OA²-AD²=√(5x)²-(3x)²=4x.∵OE=OF=3,∴DE=4x-3,AF=5x-3.∵AC=2AD=6x, 解得x=1,∴AF=2,AB=6, ∴在 Rt△ABF 中, 典题精练 技巧二 勾股十三角函数 1.(2024东湖高新区)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在AC 边上,以AD 为直径作⊙O交BD 的延长线于点E,且CE=BC. (1)求证:CE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为3, 求 AB 的长. 解:(1)连接OE,∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED=∠BDC,∵CE=CB,∴∠CED=∠CBD,∵∠ACB=90°,∴∠CBD+∠BDC=90°,∴∠OED+∠DEC=∠OEC=90°,即OE⊥EC,且点 E 在圆上,∴CE 是⊙O 的切线; 设CD=x,则BC=2x,∴CE=BC=2x, 即( 不合题意舍去)，( ∴AC=3+3+2=8,BC=CE=4,∴AB=√AC²+BC²=4 技巧三 相似十三角函数 2.(2024湖北模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O上一点,连接AC,BC,过点C 作⊙O的切线,交AB 的延长线于点 D,OF⊥BC 于点E,交CD 于点 F. (1)求证:∠BCD=∠BOE; (2)若 求 BD 的长. 解:(1)连接OC.∵CD 是⊙O的切线,∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°,∵OF⊥BC,∴∠BOE+∠OBC=90°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠BCD=∠BOE; (2) ∵AB 为⊙O 的直径, 设BD=x,则AD=10+x,由(1)得∠BCD=∠CAD,又∠D=∠D,∴△BCD∽△CAD,∴BCCD=CD= 即 整理得9(10+x)=16x,解得 ∴BD 的长为 方法研究8 圆与三角函数(二)构直角 典例精讲 技巧一 连过切点的半径构直角三角形 【例】 (2024江岸区)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,连接BC,取 的中点D,过点 D 作⊙O的切线,交AB 的延长线于点E,连接AD,CD,CD与AB交于点F. (1)求证:∠ABC=2∠OAD; (2)当 时，求 的值. 解:(1)连接AC,连接DO并延长交AC 于点H,证DH∥BC, ∴∠ABC=∠BOD=2∠OAD; (2)设OA=OB=OD=r,∵DE 是⊙O 的切线,∴∠ODE=90°, 由勾股定理，得 证AC∥DE, ∴∠BAC=∠E,在 Rt△ABC 中, 根据勾股定理，得 典题精练 技巧二 作垂线构直角三角形 1.如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,点 C 在 BO 延长线上,且 (1)求⊙O 的半径; (2)求∠BAC 的正切值. 解:(1)过点O 作OD⊥AB 于点D.⊙O 的半径为5;(解答过程略) (2)过点C 作CE⊥AB,垂足为 E 在 Rt△BCE 中, .在 Rt△ACE 中. 技巧三 连弧的中点与圆心构直角三角形 2.(2023江汉区)如图,在⊙O中,AB 为直径,EF 为弦,连接AF,BE 交于点 P,且 F 为. 的中点. (1)求证:△FBP∽△FAB; (2)若 求 sin∠ABE 的值. 解:(1)略; (3) 连接OF,交 EB 于点M.∵EF=BF,∴EF=BF,∠FBM=∠A,∴OF⊥BE.∵AB 是直径, 设 BF=3a,则AF=4a,由勾股定理, 在Rt△BFM 中, 在Rt△BMO 中, 方法研究9 圆与三角函数(三)转直角 技巧一 圆外角转圆心角 【例1】 (2024武汉中考)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边 BC 的中点,腰AC 与半圆O相切于点 D，底边 BC 与半圆O交于E，F 两点. (1)求证:AB 与半圆O 相切; (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC 的值. 解:(1)连接OA,OD,过点O 作ON⊥AB 于点 N. ∵△ABC为等腰三角形,O 是底边BC的中点,∴AO 平分∠BAC. ∵AC 与半圆O 相切于点D,∴OD⊥AC. ∵ON⊥AB,∴ON=OD,∴AB 与半圆O相切; (2)由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC,∴∠AOC=∠ODC=90°, ∴∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=90°,∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90°, ∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠co D=ODC. 又∵OF=OD,CF=2,∴OC=OF+FC=OD+2.∵在Rt△ODC 中,( ,解得OD=3,∴OC=5,∴sin∠OAC=sin∠co D=OC= 技巧二 弦切角转圆外角 【例2】 (2024孝感)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 外一点,AC=BC,连接OC,DF 是AC 的垂直平分线,垂足为E,交OC 于点F,连接AD,CD,且∠DCA=∠OCA. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若CD=5,OF=3,求 cos∠DAC 的值. 解:(1)略; (2)连接AF,∵DF 是AC 的垂直平分线,∴AD=CD,AF=CF,∠DEC=∠FEC=90°,∴∠CDE+∠DCA=90°,∠CFE+∠OCA=90°,∵∠DCA=∠OCA,∴∠CDE=∠CFE,∴CD=CF,∴AD=CD=AF=CF=5,∴四边形AFCD 是菱形. ∵OF=3,∠AOC=90°,∴OC=OF+CF=8,OA=√AF²-OF²=4,∴AC=√OA²+OC²= 技巧三 圆外角转圆周角 【例3】 (2024甘肃)如图,AB 是⊙O 的直径, 点 E 在 AD 的延长线上,且∠ADC=∠AEB. (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)当⊙O的半径为2,BC=3时,求 tan∠AEB 的值. 解:(1)连接BD,OC,OD,证CD∥BE,AB⊥BE 即可; (2)∵⊙O的半径为2,∴AB=2×2=4,∵AB 是⊙O 的直径, ∴ ∵AC=AC,∴∠ADC=∠ABC,∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC,∴tan∠AEB=tan∠ABC= 典题精练 技巧四 圆周角转圆周角 1.(2024武昌区)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO 的延长线交AB 于点D. (1)求证:AO平分∠BAC; (2)若 求 AC 和CD 的长. 解:(1)延长AO 交BC于点H,连接BO.∵AB=AC,OB=OC, ∴A,O在线段BC的垂直平分线上,∴AO⊥BC,又∵AB=AC,∴AO 平分∠BAC; (2)延长CD 交⊙O 于点E,连接BE,则CE 是⊙O 的直径,∴∠EBC=90°, OD∽△BED, 即 解得 即BE∥OH, ∵OC=OE,∴OH 是△CEB 的中位线 ∴AH=10+8=18,在 Rt△ACH 中,A 技巧五 圆周角转圆心角 2.(2024广西)如图,已知⊙O是△ABC 的外接圆,AB=AC. D,E分别是BC,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使EF=DE,连接AF. (1)求证：四边形 ABDF 是平行四边形； (2)求证:AF 与⊙O 相切; (3)若 求⊙O 的半径. 解:(1)∵D,E 分别是BC,AC的中点,∴BD=CD,AE=CE.又∵∠AEF=∠CED,DE=EF,∴△AEF≌△CED,∴AF=CD,∠F=∠EDC,∴AF=BD,AF∥BD,∴四边形ABDF 是平行四边形； (2)连接AD.∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD过圆心. ∵AF∥BD,∴AF⊥AD.∵OA 为半径,∴AF 与⊙O 相切; (3)连接OB,OC.∵OB=OC,OD⊥BC,∴∠BOD=∠COD= ∠BOC=∠BAC,∴tan∠BOD= ∴在 Rt△BOD 中, D为BC 的中点, ∴⊙O 的半径为10. 技巧六 弦切角转圆心角 3.(2023江岸区)如图,⊙O 与矩形ABCD 的 BC 边相切于点M,且经过 CD 边上的点 N,CM=CN. (1)求证:CD 与⊙O 相切; (2)⊙O 与AB 交于点 E,连接 EM.若 ⊙O的半径为5，求AD的长. 解:(1)连接OM,ON,OC,证△OMC≌△ONC,得∠ONC=∠OMC=90°即可; (2)过点O作OH⊥EM 于点H,则MH=EH.∵∠EMB+∠OME=90°,∠OME+∠HOM=90°, ∴∠HOM=∠EMB,∴tan∠HOM=tan∠EMB= 在 Rt△HOM 中. ∴设HM=t,则( 即 解得 在 Rt△EMB 中, ∴设EB=x,BM=2x,∴EM= x, 即 解得x=2,∴BM=4.∵∠OMC=∠MCN=∠ONC=90°,∴四边形OMCN 为矩形. ∵OM=ON,∴四边形OMCN 为正方形,∴MC=OM=5,∴BC=BM+MC=4+5=9,∴AD=BC=9. 方法研究10 求与圆相关的阴影面积 典例精讲 技巧一 和差法求阴影面积 【例】 (2024武汉三调)如图,AB 是半圆O的直径,D 是. 中点，过点D 作AC 的垂线，垂足为 E,交 AB 的延长线于点 F. (1)求证:EF 是半圆O的切线; (2)若BF=2,∠F=30°,求阴影部分的面积. 解:(1)略; (2)连接OC,CD,AD,∵∠F=30°,∠ODF=90°,∴OD=OB= OF, ∴BF=OB=2,OF=4,∠DOF=60°,∴∠COD=∠DOF=60°, ∴∠AOC=60°,又∵OA=OC,∴△AOC 为等边三角形,∴∠CAO=60°, ∴DE=AE·tan30°= ,∵∠DCO=∠AOC=60°,∴CD∥AB,故 典题精练 技巧二 等积转化求阴影面积 1.(2024黄石)如图,AB 是⊙O的直径,C,D 是⊙O上AB 同侧的两点,DE⊥BC交BC 的延长线于点E,且 BD 平分∠ABE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若∠ABC=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积. 解:(1)略; (2)连接OC,CD,OD.∵AB 是⊙O 的直径,AB=6,∴OB=OD=3. 又· ∵OB=OC=OD,∴△OBC 和△OCD 都是等边三角形,∴∠OCD=∠BOC=60°. 技巧三 割补法求阴影面积 2.如图,将⊙O沿弦AB 折叠, 恰经过圆心O. (1)求证:∠ABO=30°; (2)若 求阴影部分的面积. 解:(1)过点O作AB 的垂线并延长,垂足为C,交⊙O 于点D,∵将⊙O 沿弦AB 折叠, 恰经过圆心O. (2)连接AO,AD,根据垂径定理,得 ∴∠AOD=60°,∵OA=OD,∴△AOD 是等边三角形,∴∠D=60°,在 Rt△AOC 中, 设 解得r=2,∵AC=BC,∠OCB=∠ACD=90°,OC=CD, ∴△ACD≌△BCO(SAS),∴阴影部分的面积 学科网（北京）股份有限公司 $$