1.4.3 一元二次不等式的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.3 一元二次不等式的应用 1 1.利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题.（数学建模） 2.通过本节的学习,培养学生数学运算、数学建模等数学素养． 学习目标 2 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自 动刹车的工作原理是利用雷达测出车辆与前方 障碍物之间的距离，并结合车速计算刹车的时 间，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒 功能，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，分 别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间 ，相应的距离分别为 ，，，，当车速为（单位：米/秒），且 时，通过大数据统计 分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而发生变化，且 ）. 自主预习 3 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 距离/米 1.请写出报警距离（单位：米）与车速 （单位：米/秒）之间的函数关系式. [答案] 根据题意，得 ， 所以所求的函数关系式为 . 自主预习 4 2.若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度 应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时以下？ [答案] 因为要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，所以路况最 糟糕时也需满足条件，当时， ，即 ，解得 . 因为20米/秒 千米/时， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/时以下. 自主预习 5 1.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决 定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少 万立方米.为了既减少 木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则 的取值范围是( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意，可得，整理得 ，解得 ，故的取值范围是 . 自主预习 6 2.现有含盐量为的食盐水200克，若生产含盐量在以上、 以下的食盐水，需 要加入含盐量为的食盐水克，则 的取值范围是__________________． [解析] 由题意得，解得的取值范围是 ． 自主预习 7 3.2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关 代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入 不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该 商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万 元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.则该 商品改革后的销售量 至少应达到多少万件，才可能使改革后的销售收入不低于原收 入与总投入之和？此时该商品每件定价为多少元？ 自主预习 8 [解析] （1）设每件定价为元，依题意得 ， 整理得，解得 ， 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元． （2）依题意，当时，不等式 有解，等价于 当时， 有解． 因为，当且仅当，即 时等号成立，所以 ． 故当该商品改革后的销售量 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于 原收入与总投入之和，此时该商品每件定价为30元. 自主预习 9 探究实际应用 公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一 个柱子,恰好在水面中心,米,安置在柱子顶端 处的 喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下, 且在过 的任一平面上的抛物线路径如图所示. 为使水流形状漂亮,设计水流在离 的距离为1米处达到距水面最大高度,最大高度为 2.25米． 合作探究 10 问题1: 如图，如何确定水流在第一象限的轨迹的表达式？ [答案] 由题意可知,本题可借助抛物线这一数学模型求解,则水流所呈现的抛物线方程 为 ． 由题意,点的坐标为,把,代入方程解得 , 于是抛物线方程为 ． 合作探究 11 问题2: 如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少米,才能使喷出的水流不落到池外？ [答案] 结合问题1,令,得,解得, （不符合题 意,舍去）,所以水池半径至少为2.5米,才能使水流不落到池外． 合作探究 12 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下:（1）选取合适的字母表示题中的未知 数；（2）由题中给出的不等关系列出关于未知数的不等式（组）；（3）求解所列出 的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案． 合作探究 13 例 近年来，盲盒产品的大热带动我国潮玩经济的快速增长.某盲盒产品生产及销售公 司今年年初用98万元购进一批盲盒生产线后，预计每年有50万元的总收入.已知生产此 盲盒为正整数年所需的各种费用总计为 万元． （1）该公司第几年首次盈利？（总收入超过总支出，今年为第一年） （2）该公司年平均利润的最大值是多少？ 合作探究 14 [解析] （1）设利润为 万元，则 ， 由，整理得 ， 解得 ， 因为，所以 ，所以该公司第3年首次盈利． （2）由（1）得 ， 年平均利润 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以该公司年平均利润的最大值为12万元． 合作探究 15 方法总结 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中 的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 巩固训练 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税 率为10个百分点），计划可收购 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决 定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加 个百分点. （1）写出税收（单位：万元）关于 的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的，试确定 的取值范围. 合作探究 16 [解析] （1）依题意，降低税率后的税率为 ， 农产品的收购量为 万担， 收购总金额为 万元， 则税收 . （2）原计划税收为 （万元）. 依题意，得 ， 化简得 ， 解得 . 又， ， 的取值范围是 . 合作探究 17 1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高 售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证 每天的利润在320元以上，每件售价应为( ) . C A.12元 B.16元 C.12元到16元 D.10元到14元 [解析] 设售价为每件元，利润为，则 ， 依题意得，即 ，解得 ， 所以每件售价应为12元到16元． 随堂检测 18 2.某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件；若每件提价1元, 则每天卖出件数将减少一件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售 价的取值范围是________元.（结果用区间表示） [解析] 设每件衬衫提价元,则每件衬衫的售价为 元, 故每天出售衬衫的净收入为 . 由题可知,,整理得,解得 , , 每件衬衫的售价的取值范围是 元． 随堂检测 19 3.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏；若售价 每提高1元,日销售量将减少2盏.该文具店不打算降价，为了使出售这批台灯每天能获 得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格？ [解析] 设每盏台灯售价为元,则,并且日销售收入为 ,由题意知, 当时,有,解得 ． 所以为了使出售这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,这批台灯的销售价格应该 在 元. 随堂检测 20 $$