1.4.2 一元二次不等式及其解法 课时1 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.2 一元二次不等式及其解法 课时1 一元二次不等式及其解法（一） 1 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系,了解函数的零点与方程 的根的关系.（数学抽象） 2.掌握用图象法解一元二次不等式.（直观想象） 3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. （数学运算） 学习目标 2 1.不等式 是一元二次不等式吗？ [答案] 不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2.一元二次不等式的一般形式中“ ”可以省略吗？ [答案] 不可以，若 ，则不等式不是二次不等式． 3.若二次函数的函数值大于零，如何求解 的取值范围？ [答案] 结合二次函数的图象求解，可得的取值范围为或 ． 自主预习 3 4.一元二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系？ [答案] 可以借助二次函数的图象进行分析，二次函数的图象与 轴的交点的横坐标就 是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与 轴的相关位置可确定一元二次不等 式的解集． 自主预习 4 1.不等式 的解集是( ) . A A.或 B.或 C. D. [解析] 由，得，解得或 ， 所以原不等式的解集为或 .故选A． 自主预习 5 2.不等式 的解集是_______________． [解析] 原不等式可化为，解得 ． 自主预习 6 3.不等式 的解集是___. [解析] 将不等式化为，因为对应方程的根的判别式 ，所以不等 式的解集为 . 自主预习 7 4.已知二次函数的图象如图所示，则不等式 的解集是_______． [解析] 由图可知，不等式的解集是 . 自主预习 8 探究1 一元二次不等式的有关概念 观察下列不等式： （1）；（2）；（3） . 问题1: 以上给出的3个不等式,它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ [答案] 它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2. 合作探究 9 问题2: 上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？ [答案] 形如，或,或 ，或 ,其中,,为常数,且 . 合作探究 10 1.一元二次不等式 我们把只含有______未知数,并且未知数的_____________的不等式,称为一元二次不等 式.一元二次不等式的一般形式是,或 ,或 ，或,其中,,均为常数,且 ． 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的_______,叫作这个一元二次不等式的____,其解的______,称为 这个一元二次不等式的______. 一个 最高次数是2 的值 解 集合 解集 合作探究 11 例1 给出下列关于的不等式：；； ； ；； .其中一定是一元二次不等 式的有( ) . D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 [解析] 根据一元二次不等式的定义知只有①②符合． 合作探究 12 方法总结 判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个, 未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0. 合作探究 13 巩固训练 给出下列关于 的不等式： ； ； ； . 其中一定为一元二次不等式的有( ) . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] ②④一定是一元二次不等式. 合作探究 14 探究2 一元二次不等式的解法 已知一元二次函数,一元二次方程 ,一元二次不等式 . 问题1: 试求二次函数的图象与 轴的交点的坐标. [答案] , . 问题2: 一元二次方程的根是什么？ [答案] , . 合作探究 15 问题3: 问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？ [答案] 函数图象与 轴的交点的横坐标为方程的根. 问题4: 根据上述问题和函数图象，你能得到一元二次不等式的解集吗？ [答案] 能，解集为或 . 合作探究 16 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 判别式 一元二次方程 的 根 有两个不相等的实数根 , 有两个相等的实 数根 没有实数根 二次函数 的 图象 ______________________________ ______________________________ _____________________________ 合作探究 17 判别式 的 解集 ___________________ 的 解集 或 续表 合作探究 18 例2 解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） . 先求出对应一元二次方程的根，再结合对应的二次函数图象写出不等式的解集. 合作探究 19 [解析] （1）对于方程，因为 ，所以它有两个不相等的实数根， 解得， . 又因为函数 的图象是开口向上的抛物线， 所以原不等式的解集是或 . （2）不等式可化为 ， 对于方程，因为 ，所以它有两个不相等的实数根，解得 ， . 又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是 . 合作探究 20 （3）因为方程的判别式，所以方程 无实数解. 又因为函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为 . 合作探究 21 方法总结 解一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式变形,使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的根的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实数根； （4）根据函数图象与 轴的相关位置写出不等式的解集． 合作探究 22 巩固训练 解下列不等式： （1） ； （2） ． 合作探究 23 [解析] （1）方程有两个相等的实数根 .作出函数 的图象，如图,由图可得原不等式的解集为 ． （2）原不等式可化为 ， ， 方程 无实数根， 原不等式的解集为 ． 合作探究 24 探究3 解含参数的一元二次不等式 问题1: 一元二次不等式的解集要写成什么形式？ [答案] 一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式. 问题2: 解不等式,第一步需要干什么？解不等式 呢？ [答案] 解不等式,第一步先把二次项系数化为正数,得 . 解不等式,由于不知道的正负,故需要分,, 这三种情 况进行讨论. 合作探究 25 解含参数的一元二次不等式的步骤：第一步,先处理二次项系数；第二步,通过分 解因式或求根的判别式来确定一元二次方程有没有根；第三步,若有根,比较根的大小， 写出解集，若无根,结合图象确定解集是还是 . 在此过程中,当参数的存在导致二次函数的开口方向、判别式的正负以及两根的大 小关系不确定时,需对参数分类讨论. 合作探究 26 例3 解关于的不等式： . 先求出方程的两根，，再通过比较 与 的大小得出不等式的解集. 合作探究 27 [解析] 原不等式转化为，对应的一元二次方程的根为 ， . ①当，即时，原不等式的解集为 ； ②当，即时，原不等式化为 ，无解； ③当，即时，原不等式的解集为 . 综上所述，当时，原不等式的解集为；当 时，原不等式 的解集为 ；当时，原不等式的解集为 . 合作探究 28 方法总结 解含参数的一元二次不等式的注意事项 （1）若二次项系数含有参数,则需对二次项系数与0的大小进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式 进行讨论； （3）若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论． 合作探究 29 巩固训练1 设，解关于的不等式： ． [解析] （1）当时，原不等式可化为，解得 ，即原不等式的解集 为 ． （2）当时，方程的两根分别为2和 ． ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为 ； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为 ； 合作探究 30 ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为 ； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为． 合作探究 31 巩固训练2 已知关于的不等式的解集为 ． （1）求， 的值； （2）解关于的不等式： ． [解析] （1）由题意知，不等式对应的方程的两个实数根分别为和 ， 由根与系数的关系得解得 合作探究 32 （2）由，知,不等式 可化为 ，即，解得 ，所以原不等式的解集为 ． 合作探究 33 1.不等式 的解集是( ) . B A.或 B.或 C. D. [解析] ，即 ， 解得或 ，故选B． 随堂检测 34 2.若不等式的解集为，则 的值为( ) . A A.3 B.1 C. D. [解析] 因为不等式的解集为 ，所以1和2为方程 的两个根，则有或所以，即 的值为3. 随堂检测 35 3.若方程有实数解，则 的取值范围是__________________． 或 [解析] 由方程有实数解，得 ，即 ， ，解得或 ． 随堂检测 36 4.解关于的不等式 . [解析] 方程的解为,,函数 的 图象开口向上. 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 . 随堂检测 37 $$