精品解析：河南省洛阳市嵩县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷

2024一2025学年第二学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题.23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．则用科学记数法表示1个天文单位是（ ）千米． A. B. C. D. 3. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 中国有一句古话：民以食为天．如图，是我们吃饭用的瓷碗，关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 若不等式组的解集是的解集是，则不等式②可以是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　） A. 9 B. 12 C. 9 D. 18 7. 计算的式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 10. 题目：“如图，已知抛物线，点是轴上的一点，将点向右平移个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，直接写出的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 甲、丁答案合在一起才完整 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出单项式的一个同类项：________． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 13. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 14. 如图，在中，已知点，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限，的平分线交x轴于点P，把绕着点A按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则________，D点坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩/分 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中___________，并补全条形统计图； （2）被抽取的学生成绩的中位数落在___________组（填A，B，C，D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 18. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表： 木板面积 1 1.5 2 2.5 3 4 木板对地面的压强 600 400 300 240 200 150 （1）求P与S之间满足的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大? 19. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F． ①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． ②若， 则的长为 20. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 21. 某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 蛋白质 （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ （2）若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 22. 投石车（如图1）是利用杠杆原理抛射石弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出．图2是某数学兴趣小组研制的抛石车，研究发现：竖直向上抛出的石块的高度满足关系式，其中是石块运动的时间，是石块被抛出时的速度． （1）若在调试阶段设定，求石块被抛出的最大高度； （2）①若被抛出的石块能达到的最大高度为，则石块被抛出时的速度应该是多少？ ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到，则小辉认为：“两次达到高度为之间的间隔时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点． （1）如图1，当时，写出除和全等外的其他全等三角形： ． （2）如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． （3）旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024一2025学年第二学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题.23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，解题的关键是数形结合．根据数轴求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是， 故选：A． 2. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．则用科学记数法表示1个天文单位是（ ）千米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将149600000用科学记数法表示为：． 故选：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4. 中国有一句古话：民以食为天．如图，是我们吃饭用的瓷碗，关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为瓷碗的纵向剖面图，俯视图为同心圆，与左视图和主视图不相同； 故选：A． 5. 若不等式组的解集是的解集是，则不等式②可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个选项的解集，再与①组合，即可判断． 【详解】解：解不等式①，可得， A. 解不等式，可得，则不等式组的解集为，本选项符合题意； B. 解不等式，可得，则不等式组无解，本选项不符合题意； C. 解不等式，可得，则不等式组无解，本选项不符合题意； D. 解不等式，可得，则不等式组的解集为，本选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　） A. 9 B. 12 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的想知道的∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论 【详解】ABCD为平行四边形， 所以，AD∥BC， 所以，∠AEG＝∠EGF， 由折叠可知：∠GEF＝∠DEF＝60°， 所以，∠AEG＝60°， 所以，∠EGF＝60°， 所以，三有形EGF为等边三角形， 因为EF＝6， 所以，△GEF的周长为18 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，解题关键在于得出∠GEF=∠DEF=60° 7. 计算的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义知10个2相加可表示为，由乘方意义可得12个2相乘表示为，据此即可解答． 【详解】解：原式， 故选：A． 8. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作A、B、C、D，画树状图，得出所有等可能结果共有12种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于物理变化的有A、D，不属于物理变化的有B、C， 画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即AD、DA， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的概率是． 故选：D． 9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵四边形中，，， ∴， ∵车轮的直径为24英寸，约， ∴需要的铁皮面积约是， 故选A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 10. 题目：“如图，已知抛物线，点是轴上的一点，将点向右平移个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，直接写出的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 甲、丁答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是二次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． 因为线段与只有一个公共点，故分两种情况分类讨论即可． 【详解】解：当时，由于将点向右平移个单位长度得到点， ， 由于线段与只有一个公共点， 此时在抛物线上， ， 故， 当时，此时二次函数之间的间距小于等于， 故此时不在抛物线上， 要想有一个交点，故直线过抛物线顶点， 此时， 综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出单项式的一个同类项：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键；根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”求解即可． 【详解】解：单项式的一个同类项为， 故答案为：． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 13. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“一元二次方程的两个根分别为、，则，”进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x， ∵的一个根为1， ∴， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：2． 14. 如图，在中，已知点，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于点，连接交于点，首先根据勾股定理解得的长度，结合折叠的性质可得，，，，易得，在和中，由勾股定理解得，的长度；再证明，为等腰三角形，结合相似三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，连接交于点， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限，的平分线交x轴于点P，把绕着点A按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则________，D点坐标为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等边三角形的每一个角都是可得，然后根据对应边的夹角为旋转角求出，再判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据，的平分线交轴于点，，利用三角函数求出，从而得到，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：是等边三角形， 绕着点按逆时针方向旋转边与重合， 旋转角， 是等边三角形， 的坐标是的平分线交轴于点， 点D的坐标为； 故答案为∶；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）-2；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确进行运算是解题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可； （2）先把括号内的分母化为同分母，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 17. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩/分 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中___________，并补全条形统计图； （2）被抽取的学生成绩的中位数落在___________组（填A，B，C，D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2） （3）估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名 【解析】 【分析】本题考查了统计表、条形统计图、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用1减去其他四组所占的百分比即可得的值，先根据的条形统计图和统计表信息求出此次调查抽取的总人数，再乘以组所占百分比可得组的人数，据此补全条形统计图即可得； （2）根据中位数的定义求解即可得； （3）利用该校学生总人数乘以成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 此次调查抽取的总人数为（名）， 则组的人数为（名）， 图略； 【小问2详解】 解：将被抽取的学生成绩按从小到大进行排序后，第100个数和第101个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴排在第100个数和第101个数均在组， ∴被抽取的学生成绩的中位数落在组， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名． 18. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表： 木板面积 1 1.5 2 2.5 3 4 木板对地面的压强 600 400 300 240 200 150 （1）求P与S之间满足的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大? 【答案】（1）； （2）如图所示， （3）当压强不超过时，木板面积至少 【解析】 【分析】（1）由题意直接根据每一对值乘积为600，确定是反比例函数，可得函数关系式； （2）根据题意进行描点后即可作出函数的图象； （3）根据题意将代入解析式，进行运算即可求出s的值． 【详解】解：（1）， ； （2） 略 （3）当时，． 答：当压强不超过时，木板面积至少． 【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，要认真观察图象得出正确的结果． 19. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F． ①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． ②若， 则的长为 【答案】（1） 如图，直线l即为所求， ； （2）①直线与相切，理由： 如图，连接OD交BC于点G， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵是的半径， ∴直线与相切； ② 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法，D为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过D与该点作直线l即可； （2）①连接交于点G，证明四边形是矩形得，可证直线与相切； ②证明，结合可求出，，从而，利用锐角三角函数求出，可得半径，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长为∶． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，以及弧长公式，正确作出辅助线是解答本题的关键． 20. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【答案】（1）点距离地面的高度约为米 （2）宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸 【解析】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值． （1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出的长，后即可得到本题答案； （2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米）， ∴（米）， 答：点距离地面的高度约为2.5米； 【小问2详解】 解：根据题意四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米），（米）， ∴（米），， （米）， （米）， ， ∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸， 答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 21. 某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 蛋白质 （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ （2）若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 【答案】（1）选用甲种食品包，乙种食品包 （2）选用甲种食品1包，乙种食品6包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设选用甲种食品包，乙种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用甲种食品包，选用乙种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量正好是100克”列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：选用甲种食品包，乙种食品包． 【小问2详解】 设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得，整理得：， ∵，均为正整数， ∴只能取2，4，6， 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 故选用甲种食品1包，选用乙种食品6包． 22. 投石车（如图1）是利用杠杆原理抛射石弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出．图2是某数学兴趣小组研制的抛石车，研究发现：竖直向上抛出的石块的高度满足关系式，其中是石块运动的时间，是石块被抛出时的速度． （1）若在调试阶段设定，求石块被抛出的最大高度； （2）①若被抛出的石块能达到的最大高度为，则石块被抛出时的速度应该是多少？ ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到，则小辉认为：“两次达到高度为之间的间隔时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2）①， ②小辉的说法正确． 理由：由②得． 当时，，解得，． ∵， ∴小辉的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，再利用二次函数的性质，即可解答； （2）①根据二次函数的性质，即可解答； ②将代入抛物线，求解再相减即可． 【小问1详解】 解：由题意，知当时，． ∵， ∴抛物线的开口方向向下，有最大值， ∴当时，， 即当时，石块被抛出的高度最大，最大高度是； 【小问2详解】 解：①由知，抛物线的对称轴为直线． 当时，， 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）． ∴石块被抛出时的速度应该是． ②略． 23. 已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点． （1）如图1，当时，写出除和全等外的其他全等三角形： ． （2）如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． （3）旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到点四点共线，根据全等三角形的判定与性质即可得出答案； （2）分别过点作于点，交的延长线于点，证明 ，得到，设，则，进一步得到为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）分两种情况：①当点在上方时，②当点在下方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：分别过点作于点，交的延长线于点，如图： ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 设，则， ∵，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ②当点在下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $