精品解析：2025年内蒙古自治区赤峰通辽初中毕业生联考二模数学试题（4月）

25年初三年级4月份适应性检测 数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，我国战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前300年记作年，那么公元2025年应记作（　　） A. 年 B. 年 C. 2025年 D. 2325年 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反意义的量解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：公元前300年记作年， 公元前为“”，则公元后为“+”， 而公元2025年就是公元后2025年， 公元2025年应记作2025年． 故选：C． 2. 在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的知识及中心对称的概念得出结论即可． 【详解】解：根据题意知，A选项左视图为正方形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B选项左视图为圆，是中心对称图形，故该选项不符合题意； C选项左视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故该选项符合题意； D选项左视图为矩形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查左视图和中心对称的知识，熟练掌握三视图和中心对称的知识是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减计算即可． 【详解】解：，选项A计算正确，符合题意； ，选项B计算错误，不符合题意； ，选项C计算错误，不符合题意； ，选项D计算错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用等边三角形的性质求出度数，利用平行四边形性质可求的度数． 【详解】解：是等边三角形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 故选：D． 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 先把，代入，再进行无理数大小的估算即可求解． 【详解】解：当，时，， ， ，即该微观粒子的能量的值在8和9之间． 故选：D． 6. 如图，一只搬运食物的蚂蚁沿台阶的路线匀速行进（同一平面内）．在这个过程中，蚂蚁所处的高度随时间变化的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，蚂蚁爬台阶时高度逐渐增加，时高度不变，时高度逐渐增加，时高度不变．解答即可． 本题考查了函数图象的甄别，熟练掌握函数图象的判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：蚂蚁爬台阶时高度逐渐增加，时高度不变，时高度逐渐增加，时高度不变．故Ａ选项符合题意． 故选：A． 7. 如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（ ） A. 108° B. 109° C. 110° D. 112° 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由已知条件求得，由，得，继而求得，再根据三角形内角和性质，即可求得． 【详解】如解图，连接，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的关键． 8. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A. 此二次函数图象的对称轴是直线 B. C. 对于任意实数，均成立 D. 若点，在此二次函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，最值等知识判断解答即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， 故A错误． 对称轴是直线， ， ． 由图象，得， ， ， 故Ｂ错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， 故C正确． 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ， 故Ｄ错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，最值，系数符号得确定，熟练掌握抛物线性质是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 10. 敖汉拨面是赤峰的特色美食．制作过程中有一步是擀面，就是将面团放到木质面板上，用擀面杖把整个面团擀成长条状．将一定质量的面团擀成长条状时，长条的总长度（单位：）是长条横截面面积（单位：）的反比例函数，当长条横截面面积为时，长条的总长度为．则当长条的总长度为时，长条横截面面积为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】设与之间的函数解析式为．同一单位后将数据代入计算即可． 本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，熟练掌握解析式的确定是解题的关键． 【详解】解：，． 设与之间的函数解析式为． 将，代入， 得， ， 与之间的函数解析式为． 当时，， 解得，经检验，是分式方程的解且符合题意， 当长条的总长度为时，长条横截面面积为． 故答案为：30. 11. 如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，河对岸处的小明测得此时仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，若，则河流的宽度约为___________．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接．根据仰角，俯角，解直角三角形计算解答即可． 本题考查了仰角，俯角的计算，正确理解仰角，俯角的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． 由题意，得，，，， ． 易知， 四边形是矩形， ，． ，，， ， ， ， 河流的宽度约为． 12. 如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则______________． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明是线段的垂直平分线，得，，再证明，得，则，进而由勾股定理求出，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，点为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等腰直角三角形， ， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，分式的混合运算，解题的关键是要注意运算的顺序． （1）先证明算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减； （2）先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则化简． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 14. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． （3）本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）84，，40 （2）九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高， 理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可； （2）利用中位数进行决策解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【小问1详解】 解：∵84出现了4次，最多， ∴众数为， ∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89． ∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数， ∴中位数是， 根据题意，得， 故． 故答案为：84，，40． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的的概率是 【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 15. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 【答案】（1）种书架的单价为500元，种书架的单价为400元 （2）（，且是整数），购买种书架5个、种书架15个 【解析】 【分析】（1）设种书架的单价为元，种书架的单价为元． 由题意，得解答即可． （2）由题意，得，再解得，利用一次函数的性质，解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元． 由题意，得 解得 答：种书架的单价为500元，种书架的单价为400元． 【小问2详解】 由题意，得， 种书架的数量不少于种书架数量的， ，解得， 与的函数关系式为（，且是整数）． 对于（，且是整数），由可知随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时，， 费用最少时的购买方案是购买种书架5个、种书架15个． 16. 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是的直径， ， ． ，． ， ， ，即， ， 又点在上， 是的切线． （2） 证明：， ， ． 由（1）知，， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接．证明即可证明是的切线； （2）根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明； （3）根据解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ． 在中，，的半径为2，即， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 17. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． （1）求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． （2）设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． （3）为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，最大值 （3）的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴为直线，求出，再根据抛物线经过点，求出，然后代回，，写出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点坐标； （2）先求出，，的坐标，再利用轴对称的性质说明，，然后分“点不与点重合”、“点与点重合”说明最大值为，利用勾股定理求出即可； （3）先求出点的纵坐标，再设，可得出点的横坐标为，然后证明，列出比例式结合三角函数求出，从而可得的横坐标为1，再利用，得到关于的方程求解，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ． 又此抛物线经过点， ， ， 该抛物线的函数解析式为． 由于， 顶点坐标是． 【小问2详解】 在直线上存在一点，使有最大值． 如图1，连接并延长，交直线于点，在直线上任取一点，连接． 对于， 令，得或，，； 令，得，． 点关于直线的对称点为点， ，． 当点不与点重合时，， 当点与点重合时，，此时的值最大，即为的长． ，， ， 的最大值为． 【小问3详解】 如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则点的纵坐标为3． 设，则点的横坐标为． ，． 又， ， ． ， ， ． 点在直线（即直线）上， 点的横坐标为1， ，即， 或， 解得或或或， 点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25年初三年级4月份适应性检测 数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，我国战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前300年记作年，那么公元2025年应记作（　　） A. 年 B. 年 C. 2025年 D. 2325年 2. 在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 6. 如图，一只搬运食物的蚂蚁沿台阶的路线匀速行进（同一平面内）．在这个过程中，蚂蚁所处的高度随时间变化的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（ ） A. 108° B. 109° C. 110° D. 112° 8. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A. 此二次函数图象的对称轴是直线 B. C. 对于任意实数，均成立 D. 若点，在此二次函数图象上，则 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 10. 敖汉拨面是赤峰的特色美食．制作过程中有一步是擀面，就是将面团放到木质面板上，用擀面杖把整个面团擀成长条状．将一定质量的面团擀成长条状时，长条的总长度（单位：）是长条横截面面积（单位：）的反比例函数，当长条横截面面积为时，长条的总长度为．则当长条的总长度为时，长条横截面面积为___________． 11. 如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，河对岸处的小明测得此时仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，若，则河流的宽度约为___________．（参考数据：） 12. 如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则______________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． （3）本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 15. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 16. 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 17. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． （1）求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． （2）设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． （3）为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $